Didžiojo ūkio teorema. Noriu studijuoti – neišspręstos problemos Neįrodytos teorijos
Straipsnio „Pierre'as Fermat ir jo „neįrodoma“ teorema autorius Levas Valentinovičius Rudy, perskaitęs publikaciją apie vieną iš 100 šiuolaikinės matematikos genijų, kuris dėl Ferma teoremos sprendimo buvo vadinamas genijumi, pasiūlė publikuoti. jo alternatyvią nuomonę šia tema. Į ką mes lengvai sureagavome ir publikuojame jo straipsnį be santrumpų.
Pierre'as de Fermat ir jo „neįrodoma“ teorema
Šiais metais sukanka 410 metų nuo didžiojo prancūzų matematiko Pierre'o de Fermat gimimo. Akademikas V.M. Tikhomirovas apie P. Fermat rašo: „Tik vienas matematikas buvo pagerbtas tuo, kad jo vardas tapo buitiniu vardu. Jeigu sakoma „fermatistas“, tai mes kalbame apie žmogų, iki beprotybės apsėstą kokios nors neįgyvendinamos idėjos. Tačiau šio žodžio negalima priskirti Pjerui de Ferma (1601–1665), vienam šviesiausių Prancūzijos protų.
P. Fermatas – nuostabaus likimo žmogus: vienas didžiausių matematikų pasaulyje, jis nebuvo „profesionalus“ matematikas. Fermatas pagal profesiją buvo teisininkas. Jis gavo puikų išsilavinimą, buvo puikus meno ir literatūros žinovas. Visą gyvenimą dirbo valstybės tarnyboje, pastaruosius 17 metų buvo Tulūzos parlamento patarėjas. Nesuinteresuota ir didinga meilė jį patraukė į matematiką, ir būtent šis mokslas davė jam viską, ką meilė gali duoti žmogui: apsvaigimą nuo grožio, malonumo ir laimės.
Straipsniuose ir susirašinėjime Fermatas suformulavo daug gražių teiginių, apie kuriuos rašė turįs jų įrodymų. Ir pamažu tokių neįrodytų teiginių vis mažėjo ir galiausiai liko tik vienas – jo paslaptingoji Didžioji teorema!
Tačiau tiems, kurie domisi matematika, Fermato vardas daug ką pasako, nepaisant jo Didžiosios teoremos. Jis buvo vienas įžvalgiausių savo meto protų, laikomas skaičių teorijos pradininku, labai prisidėjo plėtojant analitinę geometriją, matematinę analizę. Esame dėkingi Fermatui, kad atvėrė mums pasaulį, kupiną grožio ir paslapčių“ (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Keista, tačiau „dėkingumas“!? Matematinis pasaulis ir apsišvietusi žmonija nepaisė Fermato 410-ųjų metinių. Viskas kaip visada buvo tylu, ramu, kasdieniška... Nebuvo jokios fanfaros, pagiriamųjų kalbų, tostų. Iš visų pasaulio matematikų tik Fermatas buvo „pagerbtas“ tokia didele garbe, kad pavartojus žodį „fermatistas“ visi supranta, kad kalbame apie pusprotį, „beprotiškai apsėstą neįgyvendinamos idėjos“. rasti prarastą Ferma teoremos įrodymą!
Savo pastaboje apie Diofanto knygos paraštę Fermas rašė: „Radau tikrai nuostabų savo teiginio įrodymą, tačiau knygos paraštės per siauros, kad jas tilptų“. Taigi tai buvo „XVII amžiaus matematikos genijaus silpnumo akimirka“. Šis kvailys nesuprato, kad jis „klydo“, bet greičiausiai jis tiesiog „melavo“, „gudrus“.
Jei Fermatas teigė, jis turėjo įrodymų!? Žinių lygis buvo ne aukštesnis nei šiuolaikinio dešimtoko, bet jei koks inžinierius bando rasti šį įrodymą, tada iš jo išjuokiamas, paskelbiamas bepročiu. Ir visai kas kita, jei amerikietis 10-metis berniukas E. Wilesas „priima kaip pradinę hipotezę, kad Fermatas negalėjo išmanyti daug daugiau matematikos nei jis pats“ ir pradeda „įrodinėti“ šią „neįrodomą teoremą“. Žinoma, tik „genijus“ gali tai padaryti.
Atsitiktinai aptikau svetainę (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), kur Čitos valstybinio technikos universiteto studentas Kušenko V.V. apie Fermat rašo: „... Nedidelis Bomonto miestelis ir visi penki tūkstančiai jo gyventojų nepajėgia suvokti, kad čia gimė didysis Fermatas, paskutinis matematikas alchemikas, sprendęs ateinančių amžių tuščias problemas, tyliausias teismų kabliukas. , gudrus sfinksas, kankinęs žmoniją savo mįslėmis, atsargus ir gerai besielgiantis biurokratas, sukčius, intrigantas, namiškis, pavydus žmogus, puikus kompiliatorius, vienas iš keturių matematikos titanų... Ūkis beveik niekada neišvyko. Tulūzoje, kur jis apsigyveno vedęs parlamento patarėjos dukterį Louise de Long. Uošvio dėka jis pakilo į patarėjo laipsnį ir įgijo geidžiamą priešdėlį „de“. Trečiojo dvaro sūnus, praktiška turtingų raugintojų atžala, prikimšta lotyniško ir pranciškoniško pamaldumo, realiame gyvenime jis nekėlė sau grandiozinių užduočių ...
Savo neramiame amžiuje jis gyveno kruopščiai ir ramiai. Jis nerašė filosofinių traktatų, kaip Dekartas, nebuvo Prancūzijos karalių patikėtinis, kaip Vietas, nekovojo, nekeliavo, nekūrė matematinių būrelių, neturėjo studentų ir per savo gyvenimą nebuvo publikuotas ... Neradęs sąmoningų pretenzijų į vietą istorijoje, ūkis miršta 1665 m. sausio 12 d.
Buvau šokiruota, šokiruota... O kas buvo pirmasis "matematikas alchemikas"!? Kokios yra šios „neišvengiamos ateinančių amžių užduotys“? „Biurokratas, aferistas, intrigantas, namiškis, pavydus žmogus“... Kodėl šie žalieji jaunuoliai ir jaunuoliai turi tiek paniekos, paniekos, cinizmo žmogui, gyvenusiam 400 metų prieš juos!? Kokia šventvagystė, akivaizdi neteisybė!? Bet ne patys jaunuoliai visa tai sugalvojo!? Juos sugalvojo matematikai, „mokslų karaliai“, ta pati „žmonija“, kurią Fermato „gudrus sfinksas“ „kankino savo mįslėmis“.
Tačiau Fermatas negali prisiimti jokios atsakomybės už tai, kad arogantiški, bet vidutiniški palikuonys daugiau nei tris šimtus metų trenkė ragais į jo mokyklinę teoremą. Žemindami, spjaudydami ant Ferma, matematikai bando išsaugoti uniformos garbę!? Bet „garbės“ jau seniai nebuvo, net „uniformos“!? Fermato vaikų problema tapo didžiausia „išrinktosios, narsios“ matematikų armijos gėda pasaulyje!?
„Mokslų karaliai“ buvo sugėdinti dėl to, kad septynios matematikos „šviesuolių“ kartos negalėjo įrodyti mokyklinės teoremos, kurią 700 metų prieš Ferma įrodė ir P. Fermatas, ir arabų matematikas al-Khujandi!? Juos paniekino tai, kad, užuot pripažinę savo klaidas, pasmerkė P. Fermat kaip apgaviką ir ėmė kurstyti mitą apie jo teoremos „neįrodomumą“!? Matematikai paniekino save ir tuo, kad visą šimtmetį jie įnirtingai persekiojo matematikus mėgėjus, „mušdami į galvą savo mažesniems broliams“. Šis persekiojimas tapo gėdingiausiu matematikų poelgiu per visą mokslinės minties istoriją po to, kai Pitagoras nuskandino Hipasą! Juos paniekino ir tai, kad, prisidengdami Ferma teoremos „įrodymu“, nuslydo šviesuliai žmonijai abejotiną E. Wileso „kūrybą“, kurios „nesupranta“ net ryškiausi matematikos šviesuoliai!?
410-osios P. Fermato gimimo metinės neabejotinai yra pakankamai stiprus argumentas, kad matematikai pagaliau susiprotėtų ir nustotų mesti šešėlį ant tvoros ir atkurti gerą, sąžiningą didžiojo matematiko vardą. P. Fermat „nerado jokių sąmoningų pretenzijų į vietą istorijoje“, tačiau ši nevykėli ir kaprizinga ponia ją pati įrašė į savo metraščius savo glėbyje, tačiau išspjovė daugybę uolių ir uolių „pretendentų“ kaip kramtomąją gumą. Ir nieko negalima padaryti, tiesiog viena iš daugelio gražių jo teoremų amžiams įėjo į istoriją P. Fermat vardu.
Tačiau šis unikalus Fermato kūrinys visą šimtmetį buvo nustumtas po žeme, uždraustas ir tapo niekingiausia ir nekenčiamiausia užduotimi per visą matematikos istoriją. Tačiau atėjo laikas, kai šis matematikos „bjaurusis ančiukas“ virsta gražia gulbe! Nuostabi Fermato mįslė užsitarnavo teisę užimti deramą vietą matematinių žinių lobyne ir kiekvienoje pasaulio mokykloje šalia savo sesers – Pitagoro teoremos.
Tokia unikali, elegantiška problema tiesiog negali turėti gražių, elegantiškų sprendimų. Jei Pitagoro teorema turi 400 įrodymų, tai tegul Ferma teorema iš pradžių turi tik 4 paprastus įrodymus. Jie yra, pamažu jų daugės!? Tikiu, kad P. Fermat 410 metų jubiliejus yra pati tinkamiausia proga ar proga profesionaliems matematikams susivokti ir pagaliau sustabdyti šią beprasmę, absurdišką, varginančią ir absoliučiai nenaudingą mėgėjų „blokadą“!?
Jei sveikieji skaičiai n didesni už 2, lygtis x n + y n = z n neturi nulinių sprendinių natūraliaisiais skaičiais.
Tikriausiai prisimenate iš savo mokyklos laikų Pitagoro teorema: stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Taip pat galite prisiminti klasikinį stačiakampį trikampį su kraštinėmis, kurių ilgiai yra susiję kaip 3: 4: 5. Pitagoro teorema jam atrodo taip:
Tai pavyzdys, kaip išspręsti apibendrintą Pitagoro lygtį, kai sveikieji skaičiai nėra nuliniai n= 2. Paskutinė Fermato teorema (taip pat vadinama „paskutine Fermato teorema“ ir „paskutine Fermato teorema“) yra teiginys, kad vertėms n> 2 formos lygtys x n + y n = z n neturi natūraliųjų skaičių nulinių sprendinių.
Paskutinės Ferma teoremos istorija yra labai linksma ir pamokanti, ir ne tik matematikams. Pierre'as de Fermat prisidėjo prie įvairių matematikos sričių kūrimo, tačiau pagrindinė jo mokslinio paveldo dalis buvo paskelbta tik po mirties. Faktas yra tas, kad Ferma matematika buvo kažkas panašaus į pomėgį, o ne profesinį užsiėmimą. Jis susirašinėjo su žymiausiais savo laiko matematikais, bet nesiekė publikuoti savo darbų. Ferma moksliniai raštai dažniausiai randami privačios korespondencijos ir fragmentinių užrašų pavidalu, dažnai daromi įvairių knygų paraštėse. Jis yra paraštėse (antrojo Diofanto senovės graikų aritmetikos tomo). Pastaba. vertėjas) netrukus po matematiko mirties palikuonys atrado garsiosios teoremos formuluotę ir postscript:
« Radau tikrai nuostabų to įrodymą, bet šios paraštės jam per siauros.».
Deja, matyt, Fermatas niekada nesivargino užrašyti rasto „stebuklingo įrodymo“, o palikuonys nesėkmingai jo ieškojo daugiau nei tris šimtmečius. Iš viso Ferma skirtingo mokslinio paveldo, kuriame yra daug stebinančių teiginių, būtent Didžioji teorema atkakliai priešinosi sprendimui.
Kas nepasiėmė paskutinės Ferma teoremos įrodymo – viskas veltui! Kitas puikus prancūzų matematikas Renė Dekartas (René Descartes, 1596–1650) pavadino Fermat „pagyruokliu“, o anglų matematikas Johnas Wallisas (John Wallis, 1616–1703) – „prakeiktu prancūzu“. Tačiau pats Fermatas vis dėlto paliko savo teoremos įrodymą šiam atvejui n= 4. Su įrodymu už n= 3 išsprendė didysis XVIII amžiaus šveicarų-rusų matematikas Leonardas Euleris (1707–1783), po kurio nepavyko rasti įrodymų n> 4, juokaudamas pasiūlė atlikti kratą Fermato namuose, kad surastų pamestų įkalčių raktą. XIX amžiuje nauji skaičių teorijos metodai leido įrodyti teiginį daugeliui sveikųjų skaičių 200 ribose, bet vėlgi – ne visiems.
1908 m. už šią užduotį buvo įsteigta 100 000 DM premija. Prizinis fondas buvo paliktas vokiečių pramonininkui Pauliui Wolfskehlui, kuris, pasak legendos, ruošėsi nusižudyti, bet buvo taip nuviliotas paskutinės Ferma teoremos, kad apsigalvojo apie mirtį. Atsiradus pridedant mašinas, o vėliau ir kompiuterius, vertybių juosta nėmė kilti vis aukščiau – iki 617 iki Antrojo pasaulinio karo pradžios, iki 4001 1954 m., iki 125 000 1976 m. pabaigoje galingiausi Los Alamoso (Naujoji Meksika, JAV) karinių laboratorijų kompiuteriai buvo užprogramuoti Ferma problemai spręsti fone (panašiai kaip asmeninio kompiuterio ekrano užsklandos režimas). Taigi buvo galima parodyti, kad teorema yra teisinga neįtikėtinai didelėms reikšmėms x, y, z ir n, tačiau tai negali būti griežtas įrodymas, nes bet kuri iš toliau nurodytų reikšmių n arba natūraliųjų skaičių trigubai galėtų paneigti visą teoremą.
Galiausiai, 1994 m., anglų matematikas Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, g. 1953), dirbdamas Prinstone, paskelbė paskutinės Ferma teoremos įrodymą, kuris po kai kurių modifikacijų buvo laikomas baigtiniu. Įrodinėjimas užtruko daugiau nei šimtą žurnalo puslapių ir buvo pagrįstas šiuolaikinės aukštosios matematikos aparatu, kuris nebuvo sukurtas Fermato laikais. Taigi, ką Fermatas norėjo pasakyti knygos paraštėse palikdamas pranešimą, kad rado įrodymą? Dauguma matematikų, su kuriais kalbėjausi šia tema, pažymėjo, kad per šimtmečius buvo daugiau nei pakankamai neteisingų paskutinės Ferma teoremos įrodymų ir kad tikėtina, kad pats Fermatas rado panašų įrodymą, bet neįžvelgė klaidos. tai. Tačiau gali būti, kad vis dar yra trumpas ir elegantiškas paskutinės Ferma teoremos įrodymas, kurio dar niekas nerado. Tikrai galima pasakyti tik viena: šiandien mes tikrai žinome, kad teorema yra teisinga. Manau, kad dauguma matematikų be išlygų sutiktų su Andrew Wiles'u, kuris savo įrodyme pažymėjo: „Dabar pagaliau mano protas yra ramus“.
Pasaulyje nėra tiek daug žmonių, kurie niekada nėra girdėję apie Paskutinę Ferma teoremą – galbūt tai vienintelė matematinė problema, kuri tapo taip plačiai žinoma ir tapo tikra legenda. Jis minimas daugelyje knygų ir filmų, o pagrindinis beveik visų paminėjimų kontekstas yra teoremos įrodyti neįmanoma.
Taip, ši teorema yra labai garsi ir tam tikra prasme tapo „stabu“, kurį garbina matematikai mėgėjai ir profesionalai, tačiau mažai kas žino, kad jos įrodymas buvo rastas, ir tai įvyko dar 1995 m. Bet pirmiausia pirmiausia.
Taigi, paskutinė Ferma teorema (dažnai vadinama paskutine Ferma teorema), kurią 1637 m. suformulavo genialus prancūzų matematikas Pierre'as Fermat, yra labai paprasta savo esme ir suprantama bet kuriam vidurinį išsilavinimą turinčiam žmogui. Sakoma, kad formulė a n laipsnio + b laipsnio n \u003d c laipsnio n neturi natūralių (ty ne trupmeninių) sprendinių n> 2. Viskas atrodo paprasta ir aišku , tačiau geriausi matematikai ir paprasti mėgėjai daugiau nei tris su puse šimtmečio kovojo ieškodami sprendimo.
Kodėl ji tokia garsi? Dabar išsiaiškinkime...
Ar mažai yra patikrintų, neįrodytų ir dar neįrodytų teoremų? Reikalas tas, kad paskutinė Ferma teorema yra didžiausias kontrastas tarp formuluotės paprastumo ir įrodymo sudėtingumo. Paskutinė Ferma teorema yra neįtikėtinai sudėtinga užduotis, tačiau jos formuluotę gali suprasti kiekvienas, turintis 5 klases vidurinėje mokykloje, tačiau tai toli gražu ne kiekvienas profesionalus matematikas. Nei fizikoje, nei chemijoje, nei biologijoje, nei toje pačioje matematikoje nėra nė vienos problemos, kuri būtų taip paprastai suformuluota, bet taip ilgai liko neišspręsta. 2. Iš ko jis susideda?
Pradėkime nuo pitagoriečių kelnių Formuluotė tikrai paprasta – iš pirmo žvilgsnio. Kaip žinome nuo vaikystės, „Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių“. Užduotis atrodo tokia paprasta, nes ji buvo pagrįsta matematiniu teiginiu, kurį visi žino – Pitagoro teorema: bet kuriame stačiakampiame trikampyje ant hipotenuzės pastatytas kvadratas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai.
V amžiuje prieš Kristų. Pitagoras įkūrė pitagoriečių broliją. Pitagoriečiai, be kita ko, tyrinėjo sveikųjų skaičių trigubus, atitinkančius lygtį x²+y²=z². Jie įrodė, kad yra be galo daug Pitagoro trigubų ir gavo bendras jų radimo formules. Tikriausiai jie bandė ieškoti trigubų ir aukštesnių laipsnių. Įsitikinę, kad tai nepavyko, pitagoriečiai atsisakė savo bergždžių bandymų. Brolijos nariai buvo daugiau filosofai ir estetai nei matematikai.
Tai yra, nesunku pasiimti skaičių rinkinį, kuris puikiai tenkina lygybę x² + y² = z²
Pradedant nuo 3, 4, 5 - iš tikrųjų pradinės mokyklos mokinys supranta, kad 9 + 16 = 25.
Arba 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Puiku.
Na, pasirodo, ne. Čia ir prasideda triukas. Paprastumas yra akivaizdus, nes sunku įrodyti ne kažko buvimą, o, priešingai, nebuvimą. Kai reikia įrodyti, kad sprendimas yra, galima ir reikia tiesiog pateikti šį sprendimą.
Nebuvimą įrodyti sunkiau: pavyzdžiui, kažkas sako: tokia ir tokia lygtis neturi sprendinių. Įmesti jį į balą? lengva: bam – ir štai, sprendimas! (pateikite sprendimą). Ir viskas, priešininkas nugalėtas. Kaip įrodyti nebuvimą?
Sakyti: „Aš neradau tokių sprendimų“? O gal blogai ieškojote? O jei jie yra, tik labai dideli, na tokie, kad net itin galingam kompiuteriui dar neužtenka jėgų? Štai kas yra sunku.
Vaizdine forma tai galima parodyti taip: jei paimsime du tinkamo dydžio kvadratus ir išardysime juos į vienetinius kvadratus, tada iš šios vienetinių kvadratų krūvos gaunamas trečias kvadratas (2 pav.):
Ir darykime tą patį su trečiuoju matmeniu (3 pav.) – jis neveikia. Nepakanka kubelių arba lieka papildomų:
Tačiau XVII amžiaus matematikas prancūzas Pierre'as de Fermat entuziastingai tyrinėjo bendrąją lygtį x n + y n \u003d z n. Ir galiausiai jis padarė išvadą: n>2 sveikųjų skaičių sprendimai neegzistuoja. Fermato įrodymas negrįžtamai prarastas. Rankraščiai dega! Liko tik jo pastaba Diofanto „Aritmetikoje“: „Radau tikrai nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros, kad tai tilptų“.
Tiesą sakant, teorema be įrodymo vadinama hipoteze. Tačiau Fermatas garsėja kaip niekada neklysta. Net jei jis nepaliko jokių teiginių įrodymų, vėliau tai buvo patvirtinta. Be to, Fermatas įrodė savo tezę, kai n=4. Taigi prancūzų matematiko hipotezė įėjo į istoriją kaip paskutinė Ferma teorema.
Po Fermato tokie puikūs protai kaip Leonhardas Euleris dirbo ieškodami įrodymų (1770 m. jis pasiūlė n = 3 sprendimą),
Adrien Legendre ir Johann Dirichlet (šie mokslininkai kartu rado n = 5 įrodymą 1825 m.), Gabriel Lame (kuris rado n = 7 įrodymą) ir daugelis kitų. Praėjusio amžiaus 80-ųjų viduryje tapo aišku, kad mokslo pasaulis artėja prie galutinio Ferma'o teoremos sprendimo, tačiau tik 1993 m. matematikai pamatė ir patikėjo, kad trijų šimtmečių saga rasti įrodymą Paskutinė Ferma teorema buvo beveik baigta.
Nesunku parodyti, kad pakanka įrodyti Ferma teoremą tik pirminiam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Sudėtiniam n įrodymas lieka galioti. Tačiau pirminių skaičių yra be galo daug...
1825 m., naudodamos Sophie Germain metodą, moterys matematikės, Dirichlet ir Legendre nepriklausomai įrodė teoremą, kai n=5. 1839 m. prancūzas Gabrielis Lame'as tuo pačiu metodu parodė teoremos n=7 teisingumą. Palaipsniui teorema buvo įrodyta beveik visiems n mažiau nei šimtas.
Galiausiai vokiečių matematikas Ernstas Kummeris nuostabiu tyrimu parodė, kad XIX amžiaus matematikos metodai negali įrodyti teoremos bendra forma. 1847 metais už Ferma teoremos įrodymą įsteigta Prancūzijos mokslų akademijos premija liko nepaskirta.
1907 metais turtingas vokiečių pramonininkas Paulas Wolfskelis dėl nelaimingos meilės nusprendė atimti gyvybę. Kaip tikras vokietis, jis nustatė savižudybės datą ir laiką: tiksliai vidurnaktį. Paskutinę dieną jis sudarė testamentą ir parašė laiškus draugams ir artimiesiems. Verslas baigėsi prieš vidurnaktį. Turiu pasakyti, kad Paulius domėjosi matematika. Neturėdamas ką veikti, jis nuėjo į biblioteką ir pradėjo skaityti garsųjį Kummero straipsnį. Staiga jam atrodė, kad Kummeris suklydo samprotavimuose. Wolfskehl, su pieštuku rankoje, pradėjo analizuoti šią straipsnio dalį. Praėjo vidurnaktis, atėjo rytas. Įrodinėjimo spraga buvo užpildyta. Ir pati savižudybės priežastis dabar atrodė visiškai juokingai. Paulius suplėšė atsisveikinimo laiškus ir perrašė testamentą.
Netrukus jis mirė dėl natūralių priežasčių. Įpėdiniai buvo gerokai nustebinti: 100 000 markių (daugiau nei 1 000 000 dabartinių svarų sterlingų) buvo pervesta į Getingeno karališkosios mokslo draugijos sąskaitą, kuri tais pačiais metais paskelbė konkursą Volfskelio premijai gauti. 100 000 markių rėmėsi Ferma teoremos įrodymu. Už teoremos paneigimą neturėjo būti mokama nė pfeningo ...
Dauguma profesionalių matematikų laikė paskutinės Ferma teoremos įrodymo paieškas prarasta priežastimi ir ryžtingai atsisakė gaišti laiką tokiam bergždžiam pratimui. Tačiau mėgėjai linksminasi iki šlovės. Praėjus kelioms savaitėms po paskelbimo Getingeno universitetą užgriuvo „įkalčių“ lavina. Profesorius E. M. Landau, kurio pareiga buvo išanalizuoti atsiųstus įrodymus, išdalijo savo studentams korteles:
Gerbiamasis (-ai). . . . . . . .
Dėkojame už rankraštį, kurį atsiuntėte kartu su Ferma paskutinės teoremos įrodymu. Pirmoji klaida yra puslapyje ... eilutėje ... . Dėl to visas įrodymas netenka galios.
Profesorius E. M. Landau
1963 m. Paulas Cohenas, remdamasis Gödelio išvadomis, įrodė vienos iš dvidešimt trijų Hilberto problemų – kontinuumo hipotezės – neišsprendžiamumą. O jei paskutinė Ferma teorema taip pat neišsprendžiama?! Tačiau tikrieji Didžiosios teoremos fanatikai nė kiek nenuvylė. Kompiuterių atsiradimas netikėtai suteikė matematikams naują įrodinėjimo metodą. Po Antrojo pasaulinio karo programuotojų ir matematikų grupės įrodė paskutinę Fermato teoremą visoms n reikšmėms iki 500, vėliau iki 1000, o vėliau iki 10000.
Devintajame dešimtmetyje Samuelis Wagstaffas padidino ribą iki 25 000, o 90-aisiais matematikai teigė, kad paskutinė Ferma teorema buvo teisinga visoms n vertėms iki 4 mln. Bet jei net trilijoną trilijoną atima iš begalybės, jis netampa mažesnis. Matematikos neįtikina statistika. Įrodyti Didžiąją teoremą reiškė ją įrodyti VISIEMS n iki begalybės.
1954 m. du jauni draugai japonai matematikai ėmėsi modulinių formų studijų. Šios formos generuoja skaičių serijas, kurių kiekviena – savo seriją. Atsitiktinai Taniyama palygino šias serijas su elipsinėmis lygtimis sugeneruotomis serijomis. Jie sutapo! Tačiau modulinės formos yra geometriniai objektai, o elipsinės lygtys yra algebrinės. Tarp tokių skirtingų objektų niekada nerado ryšio.
Nepaisant to, po kruopštaus bandymo draugai iškėlė hipotezę: kiekviena elipsinė lygtis turi dvynį – modulinę formą ir atvirkščiai. Būtent ši hipotezė tapo visos matematikos tendencijos pagrindu, tačiau kol nebuvo įrodyta Taniyama-Shimura hipotezė, visas pastatas bet kurią akimirką gali sugriūti.
1984 m. Gerhardas Frey'us parodė, kad Ferma lygties sprendimas, jei toks yra, gali būti įtrauktas į kokią nors elipsinę lygtį. Po dvejų metų profesorius Kenas Ribetas įrodė, kad ši hipotetinė lygtis negali turėti atitikmens moduliniame pasaulyje. Nuo šiol paskutinė Fermato teorema buvo neatsiejamai susijusi su Taniyama-Shimura hipoteze. Įrodžius, kad bet kuri elipsinė kreivė yra modulinė, darome išvadą, kad nėra elipsės lygties su Ferma lygties sprendiniu, o paskutinė Ferma teorema būtų įrodyta iš karto. Tačiau trisdešimt metų nepavyko įrodyti Taniyama-Shimura hipotezės, o vilčių sulaukti sėkmės liko vis mažiau.
1963 m., kai jam buvo tik dešimt metų, Andrew Wilesas jau buvo susižavėjęs matematika. Sužinojęs apie Didžiąją teoremą, jis suprato, kad negali nuo jos nukrypti. Būdamas moksleivis, studentas, abiturientas, jis ruošėsi šiai užduočiai.
Sužinojęs apie Keno Ribeto išvadas, Wilesas ėmėsi įrodyti Taniyama-Shimura spėjimą. Jis nusprendė dirbti visiškai izoliuotas ir slaptas. „Supratau, kad viskas, kas yra susiję su paskutine Ferma teorema, per daug domina... Per daug žiūrovų sąmoningai trukdo siekti tikslo. Septyneri metai sunkaus darbo atsipirko, Wilesas pagaliau užbaigė Taniyama-Shimura spėlionių įrodymą.
1993 metais anglų matematikas Andrew Wilesas pristatė pasauliui savo paskutinės Ferma teoremos įrodymą (Wilesas perskaitė savo sensacingą pranešimą konferencijoje Sir Isaac Newton institute Kembridže.), kurio darbas truko daugiau nei septynerius metus.
Kol ažiotažas tęsėsi spaudoje, buvo pradėtas rimtas darbas tikrinant įrodymus. Kiekvienas įrodymas turi būti atidžiai išnagrinėtas, kad įrodymas būtų laikomas griežtu ir tiksliu. Wilesas praleido audringą vasarą laukdamas apžvalgininkų atsiliepimų, tikėdamasis, kad jis sulauks jų pritarimo. Rugpjūčio pabaigoje ekspertai priėmė nepakankamai pagrįstą nuosprendį.
Paaiškėjo, kad šiame sprendime yra šiurkšti klaida, nors apskritai tai tiesa. Wilesas nepasidavė, į pagalbą pasikvietė žinomą skaičių teorijos specialistą Richardą Taylorą ir jau 1994 metais paskelbė pataisytą ir papildytą teoremos įrodymą. Nuostabiausia, kad šis darbas matematikos žurnale „Annals of Mathematics“ užėmė net 130 (!) puslapių. Tačiau tuo istorija taip pat nesibaigė - paskutinis taškas buvo padėtas tik kitais metais, 1995 m., Kai buvo paskelbta galutinė ir „ideali“, matematiniu požiūriu, įrodymo versija.
„...praėjus pusei minutės nuo šventinės vakarienės jos gimtadienio proga, daviau Nadiai pilno įrodymo rankraštį“ (Andrew Wales). Ar minėjau, kad matematikai yra keisti žmonės?
Šį kartą dėl įrodymo abejonių nekilo. Du straipsniai buvo kruopščiai išanalizuoti ir 1995 m. gegužę buvo paskelbti „Annals of Mathematics“.
Nuo to momento praėjo daug laiko, tačiau visuomenėje vis dar gaji nuomonė apie paskutinės Ferma teoremos neišsprendžiamumą. Tačiau net ir tie, kurie žino apie rastą įrodymą, ir toliau dirba šia linkme – mažai kas patenkinti, kad Didžiajai teoremai reikia išspręsti 130 puslapių!
Todėl dabar tiek daug matematikų (dažniausiai mėgėjų, o ne profesionalių mokslininkų) jėgos metamos ieškant paprasto ir glausto įrodymo, tačiau šis kelias, greičiausiai, niekur nenuves...
šaltinis
1 Muradas:
Lygybę Zn = Xn + Yn laikėme Diofanto lygtimi arba Didžiąja Ferma teorema, ir tai yra lygties (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn sprendinys. Tada Zn =-(Xn + Yn) yra lygties (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn sprendimas. Šios lygtys ir sprendiniai yra susiję su sveikųjų skaičių savybėmis ir operacijomis su jais. Vadinasi, mes nežinome sveikųjų skaičių savybių?! Turėdami tokias ribotas žinias, tiesos neatskleisime.
Panagrinėkime sprendinius Zn = +(Xn + Yn) ir Zn =-(Xn + Yn), kai n = 1. Sveikieji skaičiai + Z sudaromi naudojant 10 skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Jie dalijasi iš 2 sveikųjų skaičių +X – lyginiai, paskutiniai dešinieji skaitmenys: 0, 2, 4, 6, 8 ir +Y – nelyginiai, paskutiniai dešinieji skaitmenys: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Skaičius Y = 5 - nelyginis ir X = 5 - lyginis skaičius yra: Z = 10. Tenkina lygtis: (Z - X) X = (Z - Y) Y, o sprendimas + Z = + X + Y= +(X + Y).
Sveikieji skaičiai -Z susideda iš lyginio -X ir nelyginio -Y sąjungos ir tenkina lygtį:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, o sprendimas -Z = - X - Y = - (X + Y).
Jei Z/X = Y arba Z/Y = X, tai Z = XY; Z / -X = -Y arba Z / -Y = -X, tada Z = (-X) (-Y). Dalyba tikrinama dauginant.
Vieno skaitmens teigiami ir neigiami skaičiai susideda iš 5 nelyginių ir 5 nelyginių skaičių.
Apsvarstykite atvejį n = 2. Tada Z2 = X2 + Y2 yra lygties (Z2 – X2) sprendinys X2 = (Z2 – Y2) Y2 ir Z2 = -(X2 + Y2) yra lygties (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Laikėme, kad Z2 = X2 + Y2 yra Pitagoro teorema, o tada sprendimas Z2 = -(X2 + Y2) yra ta pati teorema. Žinome, kad kvadrato įstrižainė padalija jį į 2 dalis, kur įstrižainė yra hipotenuzė. Tada galioja lygybės: Z2 = X2 + Y2 ir Z2 = -(X2 + Y2), kur X ir Y yra kojos. Ir daugiau sprendinių R2 = X2 + Y2 ir R2 =- (X2 + Y2) yra apskritimai, centrai yra kvadratinės koordinačių sistemos pradžia ir kurių spindulys R. Jie gali būti parašyti kaip (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , kur n yra teigiami ir neigiami sveikieji skaičiai ir yra 3 skaičiai iš eilės. Taip pat sprendimai yra 2 bitų XY skaičiai, kurie prasideda 00 ir baigiasi 99 ir yra 102 = 10x10 ir skaičiuojami 1 šimtmetis = 100 metų.
Apsvarstykite sprendinius, kai n = 3. Tada Z3 = X3 + Y3 yra lygties (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 sprendiniai.
3 bitų skaičiai XYZ prasideda nuo 000 ir baigiasi 999 ir yra 103 = 10x10x10 = 1000 metų = 10 amžių
Iš 1000 vienodo dydžio ir spalvos kubelių galima pagaminti apie 10 rubiką. Apsvarstykite rubiką, kurio eilės +103=+1000 - raudona ir -103=-1000 - mėlyna. Jie susideda iš 103 = 1000 kubelių. Išskaidžius ir sudėjus kubelius į vieną eilę arba vieną ant kito, be tarpų, gauname horizontalų arba vertikalų segmentą, kurio ilgis 2000. Rubikas yra didelis kubas, dengtas mažais kubeliais, pradedant nuo dydžio 1butto = 10st. -21, ir jūs negalite prie jo pridėti ar atimti vieno kubo.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Kiekvienas sveikas skaičius yra 1. Pridėkite 1 (vienetus) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 ir sandaugas:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Šias operacijas galima atlikti 20 bitų skaičiuotuvais.
Yra žinoma, kad +(n3 - n) visada dalijasi iš +6, o - (n3 - n) dalijasi iš -6. Žinome, kad n3 - n = (n-1)n(n+1). Tai yra 3 iš eilės einantys skaičiai (n-1)n(n+1), kur n yra lyginis, tada dalijasi iš 2, (n-1) ir (n+1) nelyginis, dalijasi iš 3. Tada (n-1) n(n+1) visada dalijasi iš 6. Jei n=0, tai (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, tada(n-1) n (n+1) = (19) (20) (21).
Žinome, kad 19 x 19 = 361. Tai reiškia, kad vieną kvadratą supa 360 kvadratų, o po to vieną kubą supa 360 kubelių. Išsipildo lygybė: 6 n - 1 + 6n. Jei n = 60, tada 360 - 1 + 360 ir n = 61, tada 366 - 1 + 366.
Iš aukščiau pateiktų teiginių išplaukia šie apibendrinimai:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Jei 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Bet kuris sveikasis skaičius n yra laipsnis 10, turi: – n ir +n, +1/ n ir -1/ n, nelyginį ir lyginį:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Aišku, kad prie savęs pridėjus bet kurį sveikąjį skaičių, jis padidės 2 kartus, o sandauga bus kvadratas: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Tai buvo laikoma Vietos teorema – klaida!
Jei prie nurodyto skaičiaus pridėsime ir atimsime skaičių b, tada suma nesikeičia, o sandauga pasikeičia, pvz.:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Jei vietoj raidžių a ir b dedame sveikuosius skaičius, tai gauname paradoksų, absurdų ir nepasitikėjimo matematika.
Dažnai kalbėdamas su gimnazistais apie matematikos tiriamąjį darbą išgirstu: „Ką naujo galima atrasti matematikoje? Bet iš tikrųjų: gal visi didieji atradimai padaryti, o teoremos – įrodytos?
1900 m. rugpjūčio 8 d. Tarptautiniame matematikos kongrese Paryžiuje matematikas Davidas Hilbertas išdėstė problemų, kurios, jo manymu, turėjo būti išspręstos XX amžiuje, sąrašą. Sąraše buvo 23 elementai. Iki šiol išspręsta 21 iš jų. Paskutinė išspręsta problema Gilberto sąraše buvo garsioji Ferma teorema, kurios mokslininkai negalėjo išspręsti 358 metus. 1994 metais britas Andrew Wilesas pasiūlė savo sprendimą. Paaiškėjo, kad tai tiesa.Praėjusio amžiaus pabaigoje Gilberto pavyzdžiu daugelis matematikų bandė suformuluoti panašius strateginius XXI amžiaus uždavinius. Vieną tokių sąrašų išgarsino Bostono milijardierius Landonas T. Clay. 1998 m. jo lėšomis Kembridže (Masačusetsas, JAV) buvo įkurtas Clay Mathematics Institute ir buvo įsteigti prizai už daugelio svarbių šiuolaikinės matematikos problemų sprendimą. 2000 metų gegužės 24 dieną instituto ekspertai išrinko septynias problemas – pagal prizams skirtų milijonų dolerių skaičių. Sąrašas vadinamas Tūkstantmečio premijos problemomis:
1. Kuko problema (suformuluota 1971 m.)
Tarkime, jūs, būdamas didelėje kompanijoje, norite įsitikinti, kad ten yra ir jūsų draugas. Jei jums pasakys, kad jis sėdi kampe, tada užteks sekundės dalies, kad žvilgsniu įsitikintumėte, jog informacija yra teisinga. Jei šios informacijos neturėsite, būsite priversti apeiti visą kambarį žiūrėdami į svečius. Tai rodo, kad problemos sprendimas dažnai užima daugiau laiko nei sprendimo teisingumo patikrinimas.
Stephenas Cookas suformulavo problemą: ar problemos sprendimo teisingumo patikrinimas gali užtrukti ilgiau nei paties sprendimo gavimas, nepaisant patikrinimo algoritmo. Ši problema taip pat yra viena iš neišspręstų problemų logikos ir informatikos srityje. Jo sprendimas galėtų pakeisti kriptografijos pagrindus, naudojamus perduodant ir saugant duomenis.
2. Riemanno hipotezė (suformuluota 1859 m.)
Kai kurie sveikieji skaičiai negali būti išreikšti kaip dviejų mažesnių sveikųjų skaičių sandauga, pvz., 2, 3, 5, 7 ir pan. Tokie skaičiai vadinami pirminiais skaičiais ir atlieka svarbų vaidmenį grynojoje matematikoje bei jos taikymuose. Pirminių skaičių pasiskirstymas tarp visų natūraliųjų skaičių serijų nesilaiko jokio dėsningumo. Tačiau vokiečių matematikas Riemannas padarė prielaidą dėl pirminių skaičių sekos savybių. Jei Riemann hipotezė bus įrodyta, ji pakeis mūsų žinias apie šifravimą ir sukels precedento neturinčius lūžius interneto saugumo srityje.
3. Birch ir Swinnerton-Dyer hipotezė (suformuluota 1960 m.)
Susijęs su kai kurių algebrinių lygčių sprendinių aibės aprašymu keliuose kintamuosiuose su sveikaisiais koeficientais. Tokios lygties pavyzdys yra išraiška x2 + y2 = z2. Euklidas pateikė išsamų šios lygties sprendinių aprašymą, tačiau sudėtingesnių lygčių sprendimus rasti tampa labai sunku.
4. Hodžo hipotezė (suformuluota 1941 m.)
XX amžiuje matematikai atrado galingą metodą sudėtingų objektų formai tirti. Pagrindinė idėja – vietoj paties objekto naudoti paprastas „plytas“, kurios suklijuojamos ir suformuoja jo panašumą. Hodžo hipotezė yra susijusi su kai kuriomis prielaidomis apie tokių „plytų“ ir objektų savybes.
5. Navier – Stokso lygtys (suformuluotos 1822 m.)
Jei plaukiate valtimi ežere, tada kils bangos, o jei skrisite lėktuvu, ore kils neramios srovės. Daroma prielaida, kad šie ir kiti reiškiniai apibūdinami lygtimis, žinomomis kaip Navier-Stokes lygtys. Šių lygčių sprendiniai nežinomi ir net nežinoma, kaip jas išspręsti. Būtina parodyti, kad sprendimas egzistuoja ir yra pakankamai sklandi funkcija. Šios problemos sprendimas leis gerokai pakeisti hidro- ir aerodinaminių skaičiavimų atlikimo metodus.
6. Poincare problema (suformuluota 1904 m.)
Jei ištempsite guminę juostelę virš obuolio, galėsite lėtai judinti juostą nepalikdami paviršiaus, suspausti ją iki taško. Kita vertus, jei ta pati guminė juosta yra tinkamai ištempta aplink spurgą, jokiu būdu negalima suspausti juostos iki taško, nenuplėšiant juostos ar nesulaužant spurgos. Sakoma, kad obuolio paviršius tiesiog sujungtas, o spurgos – ne. Paaiškėjo, kad įrodyti, kad tik sfera yra tiesiog sujungta, taip sunku, kad matematikai vis dar ieško teisingo atsakymo.
7. Yang-Mills lygtys (suformuluotos 1954 m.)
Kvantinės fizikos lygtys apibūdina elementariųjų dalelių pasaulį. Fizikai Yang ir Mills, atradę ryšį tarp geometrijos ir elementariųjų dalelių fizikos, surašė savo lygtis. Taigi jie rado būdą suvienodinti elektromagnetinės, silpnosios ir stipriosios sąveikos teorijas. Iš Yang-Mills lygčių sekė dalelių egzistavimas, kurios iš tikrųjų buvo stebimos viso pasaulio laboratorijose, todėl Yang-Mills teoriją priima dauguma fizikų, nepaisant to, kad pagal šią teoriją vis dar neįmanoma numatyti. elementariųjų dalelių masės.
Manau, kad ši tinklaraštyje publikuojama medžiaga įdomi ne tik studentams, bet ir rimtai su matematika susijusiems moksleiviams. Renkantis tyrimų temas ir sritis yra apie ką pagalvoti.