Hanapin ang extremum ng isang function sa pamamagitan ng Lagrange method online. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar
Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. May kundisyon na sukdulan. Paraan ng Lagrange multipliers. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.
Lektura 5
Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) > f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.
Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) < f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng punto M 0.
Puna 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.
Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinukoy sa katulad na paraan.
Teorama 5.1(kinakailangang matinding kondisyon). Kung ang M 0 (x 0, y 0) ay ang extremum point ng function z = f(x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.
Patunay.
Ayusin natin ang halaga ng variable sa nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang pag-andar f(x, y0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Fermat's teorama o hindi umiiral. Ang parehong assertion ay pinatunayan para sa .
Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang variable, kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.
Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang sundin sa bawat isa sa kanila.
Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f(x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Ipahiwatig Pagkatapos:
1) f(x, y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC-B² > 0, A < 0;
2) f(x, y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC-B² > 0, A > 0;
3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC-B² < 0;
4) kung AC-B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.
Patunay.
Isulat natin ang Taylor formula ng pangalawang order para sa function f(x, y), isinasaisip na sa isang nakatigil na punto, ang mga partial derivatives ng unang order ay katumbas ng zero:
saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ng Taylor ay kukuha ng form: . Let Then we can divide and multiply the expression in parentheses by PERO. Nakukuha namin:
Isaalang-alang ngayon ang apat na posibleng kaso:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и para sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), ibig sabihin M 0 ay ang pinakamataas na punto.
2) Hayaan AC-B² > 0, A > 0. Pagkatapos , at M 0 ay ang pinakamababang punto.
3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos ay sumusunod mula sa (5.1) na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 \u003d -A / B, pagkatapos , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya ang punto M 0 ay hindi isang matinding punto.
3`) Kailan AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
katulad ng nauna.
3``) Kung AC-B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos, para sa sapat na maliit na φ, expression 2 B kasi + C sinφ malapit sa 2 AT, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, at ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0 . Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.
4) Kung AC-B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda 2α 0 . Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.
Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang maghanap ng mga nakatigil na puntos, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, AT = -2, Sa= 4. Pagkatapos AC-B² = 4 > 0, samakatuwid, ang isang extremum ay naabot sa nakatigil na punto, lalo na ang pinakamababa (mula noong A > 0).
Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) nakatali sa mga karagdagang kondisyon sa anyo m mga equation ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.
Kahulugan 5.5. Extremum ang pag-andar f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2) ay tinatawag conditional extremum.
Magkomento. Maaari naming ipanukala ang sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) ay nauugnay sa equation na φ (x, y)= 0, na tumutukoy sa ilang kurba sa eroplano O hu. Ang pagkakaroon ng pagpapanumbalik mula sa bawat punto ng kurba na ito nang patayo sa eroplano O hu bago tumawid sa ibabaw z = f (x, y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x, y)= 0. Ang problema ay upang mahanap ang mga extremum point ng resultang curve, na, siyempre, sa pangkalahatang kaso ay hindi nag-tutugma sa mga unconditional extremum point ng function. f(x,y).
Tukuyin natin ang kinakailangang conditional extremum na kondisyon para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan bago pa man:
Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
saan λ ako - ilang mga constants, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λi– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.
Teorama 5.3(kinakailangang kondisyon na labis na kondisyon). Conditional extremum ng function z = f(x, y) sa pagkakaroon ng constraint equation φ ( x, y)= 0 ay maaari lamang maabot sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Patunay. Tinutukoy ng constraint equation ang isang implicit na dependency sa mula sa X, kaya ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z mayroong isang kumplikadong pag-andar X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Ito ay sumusunod mula sa constraint equation na . (5.5)
I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang numerong λ at idinaragdag ito sa (5.4). Nakukuha namin:
, o .
Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat manatili sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:
(5.6)
Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, na ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Ang pag-alis ng pandiwang pantulong na hindi kilalang λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.
Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral sa pangalawang-order na partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.
Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2), ay maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)
Halimbawa. Hanapin ang conditional extremum ng function z = xy Kung ganoon x + y= 1. Buuin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – isa). System (5.6) pagkatapos ay ganito ang hitsura:
Saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L (x, y) maaaring katawanin bilang L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid, sa natagpuang nakatigil na punto L (x, y) ay may maximum at z = xy - maximum na kondisyon.
Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.
Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng koneksyon, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.
Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.
Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.
May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$
Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:
Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.
Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may conditional na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum
- Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
- Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
- Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$
Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable
Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) at \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa sign na $(-1)^m$, kung gayon ang stationary point na pinag-aaralan ay ang conditional na minimum point ng function na $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternate, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Halimbawa #1
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.
Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaking at pinakamaliit na halaga applicates ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2=10$.
Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$
Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Tandaan ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang buksan ito sa pangkalahatang paraan. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.
Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$
Ang tanong tungkol sa likas na katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$
Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakakakuha kami ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$
Halimbawa #2
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.
Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.
$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Pangalawang paraan
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ makuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Sinusuri ang tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o sinusuri ang pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng sa unang solusyon . Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.
Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.
Halimbawa #3
Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$
Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.
Sa susunod na bahagi, isasaalang-alang natin ang aplikasyon ng pamamaraang Lagrange para sa mga function ng mas malaking bilang ng mga variable.
May kundisyon na sukdulan.
Extrema ng isang Function ng Ilang Variable
Pinakamababang parisukat na pamamaraan.
Lokal na extremum ng FNP
Hayaan ang function at= f(P), RÎDÌR n at hayaan ang puntong Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.
Kahulugan 9.4.
1) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamataas na punto mga function at= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P) £ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = max f(P) .
2) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamababang punto mga function at= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P)³ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = min f(P).
Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extremum point ay tinatawag function extrema.
Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P) £ f(P0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat gawin lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong P 0 , at hindi sa buong domain ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima). Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.
Theorem 9.1. (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng FNP)
Kung ang function at= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , pagkatapos ang unang-order na mga partial derivatives nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.
Patunay. Hayaan sa puntong Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., isang p) function at= f(P) ay may sukdulan, tulad ng maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =a 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos at= f(P) = f 1 ((X 1 , a 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X isa. Dahil ang function na ito ay may X 1 = a 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0 o wala kapag X 1 =a 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit , pagkatapos o wala sa puntong P 0 - ang punto ng extremum. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CHTD.
Ang mga punto ng domain ng isang function kung saan ang first-order partial derivatives ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na mga punto function na ito.
Tulad ng mga sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.
Teorama 9.2
Hayaang maging kritikal na punto ng function ang Р 0 at= f(P) at ay ang second-order differential ng function na ito. Pagkatapos
at kung d 2 u(P 0) > 0 para sa , pagkatapos ay ang Р 0 ay isang punto pinakamababa mga function at= f(P);
b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function at= f(P);
c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;
Isinasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.
Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kundisyon ay nananatiling bukas - ang mga karagdagang pag-aaral ay kinakailangan, halimbawa, ang pag-aaral ng pagtaas ng pag-andar sa puntong ito.
Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika, pinatunayan na, sa partikular, para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable na ang second-order differential ay kabuuan ng form
ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto Р 0 ay maaaring gawing simple.
Ipahiwatig , , . Buuin ang determinant
.
Kinalabasan:
d 2 z> 0 sa puntong P 0 , ibig sabihin. P 0 - pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng puntong Р 0 ay nagbabago ng tanda at walang extremum sa puntong Р 0;
kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.
Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) dalawang variable, mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:
1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.
2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f) kung saan at katumbas ng zero o wala.
3) Sa bawat kritikal na punto Р 0 suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(Р 0) at PERO(P 0). Pagkatapos:
kung D(Р 0) >0, pagkatapos ay mayroong isang extremum sa puntong Р 0, bukod dito, kung PERO(P 0) > 0 - kung gayon ito ay isang minimum, at kung PERO(P 0)< 0 – максимум;
kung D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Kung D(Р 0) = 0, kailangan ng karagdagang pag-aaral.
4) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga nahanap na extremum point.
Halimbawa1.
Hanapin ang extremum ng isang function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Desisyon. Ang domain ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Hanapin natin ang mga kritikal na punto.
, , Þ Р 0 (0,0) , .
Suriin natin ang katuparan ng sapat na matinding kondisyon. Hanapin natin
6X, = -3, = 48sa at = 288hu – 9.
Pagkatapos D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - mayroong isang extremum sa puntong Р 1, at dahil PERO(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P1) = .
Halimbawa 2
Hanapin ang extremum ng isang function .
Solusyon: D( f) = R 2 . Mga kritikal na punto: ; ay hindi umiiral sa sa= 0, kaya P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.
2, = 0, = , = , ngunit ang D(Р 0) ay hindi tinukoy, kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.
Para sa parehong dahilan, imposibleng ilapat ang Theorem 9.2 nang direkta − d 2 z ay wala sa puntong ito.
Isaalang-alang ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong Р 0 . Kung si D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, pagkatapos ay P 0 ang pinakamababang punto, kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Mayroon kaming sa aming kaso
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto Р 0 ni ang kondisyon D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at, samakatuwid, ang P 0 ay hindi isang pinakamataas na punto), o ang kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang Р 0 ay hindi isang minimum na punto). Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, ang function na ito ay walang extremums.
May kundisyon na sukdulan.
Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.
Kahulugan 9.2. Extremum ang pag-andar at = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), ay tinatawag na conditional extremum .
Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.
Isaalang-alang ang mga function z = f(x,y) ng dalawang variable. Kung mayroon lamang isang constraint equation, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ang pinakamataas o pinakamababang punto ng ibabaw ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito sa silindro, Fig. 5).
Conditional extremum ng function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang function ng isa pa (halimbawa, write ) at, pagpapalit ng value na ito ng variable sa function , isulat ang huli bilang function ng isang variable (sa isinasaalang-alang na kaso ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.
Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa extremum ng mga function ng dalawang variable. Ang isang punto ay tinatawag na isang minimum (maximum) na punto ng isang function kung sa ilang kapitbahayan ng punto ang function ay tinukoy at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay (ayon sa pagkakabanggit, ang maximum at minimum na mga puntos ay tinatawag na mga extremum point ng function.
Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung sa extremum point ang function ay may unang partial derivatives, pagkatapos ay mawala ang mga ito sa puntong ito. Kasunod nito na upang mahanap ang mga extremum point ng naturang function, dapat lutasin ng isa ang sistema ng mga equation.Ang mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa sistemang ito ay tinatawag na mga kritikal na punto ng function. Kabilang sa mga ito ay maaaring may pinakamataas na puntos, pinakamababang puntos, pati na rin ang mga puntos na hindi matinding puntos.
Ang sapat na extremum na kondisyon ay ginagamit upang pumili ng extremum na mga punto mula sa hanay ng mga kritikal na punto at nakalista sa ibaba.
Hayaan ang function na magkaroon ng tuloy-tuloy na pangalawang partial derivatives sa kritikal na punto. Kung sa puntong ito,
kondisyon, kung gayon ito ay isang minimum na punto sa at isang pinakamataas na punto sa. Kung sa isang kritikal na punto, kung gayon ito ay hindi isang matinding punto. Sa kaso, ang isang mas banayad na pag-aaral ng likas na katangian ng kritikal na punto ay kinakailangan, na sa kasong ito ay maaaring o hindi maaaring isang extremum point.
Extrema ng mga function ng tatlong variable. Sa kaso ng isang function ng tatlong variable, ang mga kahulugan ng extremum point ay inuulit sa verbatim ang kaukulang mga kahulugan para sa isang function ng dalawang variable. Pinipigilan namin ang aming sarili sa paglalahad ng pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum. Ang paglutas ng sistema ng mga equation, dapat mahanap ng isa ang mga kritikal na punto ng function, at pagkatapos ay sa bawat isa sa mga kritikal na punto kalkulahin ang mga dami
Kung ang lahat ng tatlong dami ay positibo, kung gayon ang kritikal na puntong isinasaalang-alang ay isang minimum na punto; kung ang ibinigay na kritikal na punto ay isang pinakamataas na punto.
Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable. Ang punto ay tinatawag na conditional minimum (maximum) na punto ng function, sa kondisyon na mayroong isang kapitbahayan ng punto kung saan ang function ay tinukoy at kung saan (ayon sa pagkakabanggit) para sa lahat ng mga punto ang mga coordinate kung saan natutugunan ang equation
Upang makahanap ng mga conditional extremum point, gamitin ang Lagrange function
kung saan ang numero ay tinatawag na Lagrange multiplier. Paglutas ng sistema ng tatlong equation
hanapin ang mga kritikal na punto ng Lagrange function (pati na rin ang halaga ng auxiliary factor A). Sa mga kritikal na puntong ito, maaaring mayroong conditional extremum. Ang sistema sa itaas ay nagbibigay lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat: maaari itong masiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga punto na hindi mga punto ng isang conditional extremum. Gayunpaman, nagpapatuloy mula sa kakanyahan ng problema, madalas na posible na maitatag ang likas na katangian ng kritikal na punto.
Conditional extremum ng isang function ng ilang variable. Isaalang-alang ang isang function ng mga variable sa ilalim ng kondisyon na ang mga ito ay nauugnay sa pamamagitan ng mga equation
KONDISYONAL NA SOBRA
Ang minimum o maximum na halaga na nakamit ng isang naibigay na function (o functional) sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function (functional) ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang ibinigay na admissible set. Kung walang mga kundisyon na naglilimita sa mga pagbabago sa mga independiyenteng variable (mga function) sa ipinahiwatig na kahulugan, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang walang kondisyon na extremum.
Klasiko gawain para kay W. e. ay ang problema ng pagtukoy ng minimum ng isang function ng ilang mga variable
Sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function ay kumukuha ng mga ibinigay na halaga:
Sa problemang ito G, kung saan ang mga halaga ng function ng vector g=(g 1, ...,g m),
kasama sa mga karagdagang kundisyon (2) ay isang nakapirming punto c=(c 1, ..., na may t) sa m-dimensional na Euclidean space
Kung sa (2) kasama ang equal sign, pinapayagan ang inequality sign
Ito ay humahantong sa problema non-linear programming(labing tatlo). Sa problema (1), (3), ang set G ng mga tinatanggap na halaga ng vector function g ay isang tiyak na curvilinear , na kabilang sa (n-m 1)-dimensional na hypersurface na tinukoy ng m 1 , m 1
Isang espesyal na kaso ng problema (1), (3) sa isang U.v. ay ang gawain linear programming, kung saan ang lahat ng itinuturing na function f at gi ay linear sa x l , ... , x p. Sa isang linear programming problem, ang set G ng mga posibleng halaga ng isang vector function g, kasama sa mga kundisyong naglilimita sa hanay ng mga variable x 1 , .....x n , ay , na kabilang sa (n-t 1)-dimensional na hyperplane na tinukoy ng m 1 equality-type na mga kondisyon sa (3).
Katulad nito, karamihan sa mga problema sa pag-optimize para sa mga functional na kumakatawan sa praktikal interes, ay binabawasan sa mga gawain sa U. e. (cm. Problema sa isoperimetric, Problema sa singsing, Problema sa Lagrange, Problema sa paraan).
Parang sa math lang. programming, ang mga pangunahing problema ng calculus of variations at theory of optimal control ay mga problema sa convex e.
Kapag nilulutas ang mga problema sa U. e., lalo na kapag isinasaalang-alang ang teoretikal. mga tanong na may kaugnayan sa mga problema sa C. e., lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang ang paggamit ng hindi tiyak Mga multiplier ng Lagrangian, na nagpapahintulot na bawasan ang problema sa U. e. sa problema sa unconditional at gawing simple ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality. Ang paggamit ng mga multiplier ng Lagrange ay sumasailalim sa karamihan ng mga klasikal pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa U. e.
Lit.: Hadley J., Nonlinear at , trans. mula sa English, M., 1967; Bliss G.A., Lectures on the calculus of variations, trans. mula sa English, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Mathematical encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Tingnan kung ano ang "CONDITIONAL EXTREME" sa ibang mga diksyunaryo:
Relative extremum, extremum ng function f (x1,..., xn + m) ng n + m variables, sa pag-aakalang ang mga variable na ito ay napapailalim sa m higit pang coupling equation (kondisyon): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (tingnan ang Extremum).… …
Hayaang mabigyan ng mga function ang isang bukas na set at on. Hayaan. Ang mga equation na ito ay tinatawag na constraint equation (ang terminolohiya ay hiniram mula sa mechanics). Hayaang tukuyin ang isang function sa G ... Wikipedia
- (mula sa Latin na extreme extreme) na halaga ng tuluy-tuloy na function na f (x), na maaaring maximum o minimum. Mas tiyak: ang isang function na f (x) na tuloy-tuloy sa puntong x0 ay may maximum (minimum) sa x0 kung mayroong isang neighborhood (x0 + δ, x0 δ) ng puntong ito, ... ... Great Soviet Encyclopedia
Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extreme (mga kahulugan). Ang Extremum (Latin extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum ay ... ... Wikipedia
Isang function na ginagamit sa paglutas ng mga problema para sa isang conditional extremum ng mga function ng ilang variable at functional. Sa tulong ni L. f. ang mga kinakailangang kondisyon ng pinakamainam ay isinulat sa mga problema para sa isang conditional extremum. Hindi na kailangang magpahayag lamang ng mga variable... Mathematical Encyclopedia
Isang disiplina sa matematika na nakatuon sa paghahanap ng matinding (maximum at minimum) na mga halaga ng mga pag-andar ng mga variable depende sa pagpili ng isa o higit pang mga function. Sa at. ay isang likas na pag-unlad ng kabanatang iyon…… Great Soviet Encyclopedia
Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo sa pag-aaral ng mga problema para sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng L. m. at ang Lagrange function ay ginagawang posible upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa isang pare-parehong paraan sa mga problema para sa isang conditional extremum ... Mathematical Encyclopedia
Ang calculus of variations ay isang sangay ng functional analysis na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay ang paghahanap ng isang function kung saan ang isang ibinigay na functional ay umabot ... ... Wikipedia
Isang sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng extrema ng mga functional na nakasalalay sa pagpili ng isa o higit pang mga function sa ilalim ng iba't ibang uri ng mga paghihigpit (phase, differential, integral, atbp.) na ipinataw sa mga ito ... ... Mathematical Encyclopedia
Ang calculus of variations ay isang sangay ng matematika na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay upang mahanap ang isang function kung saan ang functional ay umabot sa isang matinding halaga. Pamamaraan ... ... Wikipedia
Mga libro
- Mga lektura sa teorya ng kontrol. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Ang mga klasikal na problema ng teorya ng pinakamainam na kontrol ay isinasaalang-alang. Ang pagtatanghal ay nagsisimula sa mga pangunahing konsepto ng pag-optimize sa may hangganan-dimensional na mga espasyo: conditional at unconditional extremum, ...