Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa extremum ng mga function ng dalawang variable. Ang isang punto ay tinatawag na isang minimum (maximum) na punto ng isang function kung sa ilang kapitbahayan ng punto ang function ay tinukoy at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay (ayon sa pagkakabanggit, ang maximum at minimum na mga puntos ay tinatawag na mga extremum point ng function.

Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung sa extremum point ang function ay may unang partial derivatives, pagkatapos ay mawala ang mga ito sa puntong ito. Ito ay sumusunod na upang mahanap ang extremum point ng naturang function, ang isa ay dapat na lutasin ang sistema ng mga equation.Ang mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa sistemang ito ay tinatawag na mga kritikal na punto ng function. Kabilang sa mga ito ay maaaring may pinakamataas na puntos, pinakamababang puntos, pati na rin ang mga puntos na hindi matinding puntos.

Ang sapat na extremum na kondisyon ay ginagamit upang pumili ng extremum na mga punto mula sa hanay ng mga kritikal na punto at nakalista sa ibaba.

Hayaan ang function na magkaroon ng tuloy-tuloy na pangalawang partial derivatives sa kritikal na punto. Kung sa puntong ito,

kondisyon, kung gayon ito ay isang minimum na punto sa at isang pinakamataas na punto sa. Kung sa isang kritikal na punto, kung gayon ito ay hindi isang matinding punto. Sa kaso, ang isang mas banayad na pag-aaral ng likas na katangian ng kritikal na punto ay kinakailangan, na sa kasong ito ay maaaring o hindi maaaring isang extremum point.

Extrema ng mga function ng tatlong variable. Sa kaso ng isang function ng tatlong variable, ang mga kahulugan ng extremum point ay inuulit sa verbatim ang kaukulang mga kahulugan para sa isang function ng dalawang variable. Pinipigilan namin ang aming sarili sa paglalahad ng pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum. Ang paglutas ng sistema ng mga equation, dapat mahanap ng isa ang mga kritikal na punto ng function, at pagkatapos ay sa bawat isa sa mga kritikal na punto kalkulahin ang mga dami

Kung ang lahat ng tatlong dami ay positibo, kung gayon ang kritikal na puntong isinasaalang-alang ay isang minimum na punto; kung ang ibinigay na kritikal na punto ay isang pinakamataas na punto.

Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable. Ang punto ay tinatawag na conditional minimum (maximum) na punto ng function, sa kondisyon na mayroong isang kapitbahayan ng punto kung saan ang function ay tinukoy at kung saan (ayon sa pagkakabanggit) para sa lahat ng mga punto ang mga coordinate kung saan natutugunan ang equation

Upang makahanap ng mga conditional extremum point, gamitin ang Lagrange function

kung saan ang numero ay tinatawag na Lagrange multiplier. Paglutas ng sistema ng tatlong equation

hanapin ang mga kritikal na punto ng Lagrange function (pati na rin ang halaga ng auxiliary factor A). Sa mga kritikal na puntong ito, maaaring mayroong conditional extremum. Ang sistema sa itaas ay nagbibigay lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat: maaari itong masiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga punto na hindi mga punto ng isang conditional extremum. Gayunpaman, nagpapatuloy mula sa kakanyahan ng problema, madalas na posible na maitatag ang likas na katangian ng kritikal na punto.

Conditional extremum ng isang function ng ilang variable. Isaalang-alang ang isang function ng mga variable sa ilalim ng kondisyon na ang mga ito ay nauugnay sa pamamagitan ng mga equation

Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. May kundisyon na sukdulan. Paraan ng Lagrange multipliers. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Lektura 5

Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) > f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.

Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f(x, y), kung f (x o , y o) < f(x, y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng punto M 0.

Puna 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.

Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinukoy sa katulad na paraan.

Teorama 5.1(kinakailangang matinding kondisyon). Kung M 0 (x 0, y 0) ay ang extremum point ng function z = f(x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.

Patunay.

Ayusin natin ang halaga ng variable sa nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang pag-andar f(x, y0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Fermat's teorama o hindi umiiral. Ang parehong assertion ay pinatunayan para sa .

Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang mga variable, kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala, ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.

Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang sundin sa bawat isa sa kanila.

Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f(x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Ipahiwatig Pagkatapos:

1) f(x, y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC-B² > 0, A > 0;

3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC-B² < 0;

4) kung AC-B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Patunay.

Isulat natin ang Taylor formula ng pangalawang order para sa function f(x, y), isinasaisip na sa isang nakatigil na punto, ang mga partial derivatives ng unang order ay katumbas ng zero:

saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ng Taylor ay kukuha ng form: . Let Then we can divide and multiply the expression in parentheses by PERO. Nakukuha namin:

Isaalang-alang ngayon ang apat na posibleng kaso:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и para sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), ibig sabihin M 0 ay ang pinakamataas na punto.

2) Hayaan AC-B² > 0, A > 0. Pagkatapos , At M 0 ay ang pinakamababang punto.

3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos ay sumusunod mula sa (5.1) na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 \u003d -A / B, pagkatapos , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya ang punto M 0 ay hindi isang matinding punto.

3`) Kailan AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

katulad ng nauna.

3``) Kung AC-B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos, para sa sapat na maliit na φ, expression 2 B kasi + C sinφ malapit sa 2 SA, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, at ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0 . Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.

4) Kung AC-B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda 2α 0 . Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.

Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang maghanap ng mga nakatigil na puntos, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, SA = -2, MULA SA= 4. Pagkatapos AC-B² = 4 > 0, samakatuwid, ang isang extremum ay naabot sa nakatigil na punto, lalo na ang pinakamababa (mula noong A > 0).

Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) nakatali sa mga karagdagang kondisyon sa anyo m mga equation ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Kahulugan 5.5. Extremum ang pag-andar f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2) ay tinatawag conditional extremum.

Magkomento. Maaari naming imungkahi ang sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) ay nauugnay sa equation na φ (x, y)= 0, na tumutukoy sa ilang kurba sa eroplano O hu. Ang pagkakaroon ng pagpapanumbalik mula sa bawat punto ng kurba na ito nang patayo sa eroplano O hu bago tumawid sa ibabaw z = f (x, y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x, y)= 0. Ang problema ay upang mahanap ang extremum point ng resultang curve, na, siyempre, sa pangkalahatang kaso ay hindi nag-tutugma sa unconditional extremum point ng function. f(x,y).

Tukuyin natin ang kinakailangang conditional extremum na mga kondisyon para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan bago pa man:

Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

saan λ ako - ilang mga constants, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λ i– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.

Teorama 5.3(kinakailangang kondisyon na labis na kondisyon). Conditional extremum ng function z = f(x, y) sa pagkakaroon ng constraint equation φ ( x, y)= 0 ay maaari lamang maabot sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Patunay. Tinutukoy ng constraint equation ang isang implicit na dependency sa mula sa X, kaya ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z mayroong isang kumplikadong pag-andar X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Ito ay sumusunod mula sa constraint equation na . (5.5)

I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang numerong λ at idinaragdag ito sa (5.4). Nakukuha namin:

, o .

Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat manatili sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:

(5.6)

Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, na ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Ang pag-alis ng auxiliary na hindi kilalang λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.

Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral sa pangalawang-order na partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.

Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) sa ilalim ng mga kondisyon (5.2), ay maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)

Halimbawa. Hanapin ang conditional extremum ng function z = xy sa kondisyon x + y= 1. Buuin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – isa). System (5.6) pagkatapos ay ganito ang hitsura:

Saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L (x, y) maaaring katawanin bilang L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid, sa natagpuang nakatigil na punto L (x, y) ay may pinakamataas at z = xy - maximum na kondisyon.

Napakatindi ng kondisyon.

Extrema ng isang Function ng Ilang Variable

Pinakamababang parisukat na pamamaraan.

Lokal na extremum ng FNP

Hayaan ang function At= f(P), RÎDÌR n at hayaan ang puntong Р 0 ( ngunit 1 , ngunit 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.

Kahulugan 9.4.

1) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamataas na punto mga function At= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P) £ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = max f(P) .

2) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamababang punto mga function At= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P)³ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = min f(P).

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extremum point ay tinatawag function extrema.

Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P) £ f(P0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat gawin lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong P 0 , at hindi sa buong domain ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima). Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.

Theorem 9.1. (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng FNP)

Kung ang function At= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , pagkatapos ang unang-order na mga partial derivatives nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.

Patunay. Hayaan sa puntong Р 0 ( ngunit 1 , ngunit 2 , ..., isang p) function At= f(P) ay may sukdulan, tulad ng maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =ngunit 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos At= f(P) = f 1 ((X 1 , ngunit 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X isa. Dahil ang function na ito ay may X 1 = ngunit 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0 o wala kapag X 1 =ngunit 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit , pagkatapos o wala sa puntong P 0 - ang punto ng extremum. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CHTD.

Ang mga punto ng domain ng isang function kung saan ang first-order partial derivatives ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na mga punto function na ito.

Tulad ng mga sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.

Teorama 9.2

Hayaang maging kritikal na punto ng function ang Р 0 At= f(P) at ay ang second-order differential ng function na ito. Pagkatapos

at kung d 2 u(P 0) > 0 para sa , pagkatapos ay ang Р 0 ay isang punto pinakamababa mga function At= f(P);

b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function At= f(P);

c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;

Isinasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.

Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kundisyon ay nananatiling bukas - ang mga karagdagang pag-aaral ay kinakailangan, halimbawa, ang pag-aaral ng pagtaas ng pag-andar sa puntong ito.

Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika, pinatunayan na, sa partikular, para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable na ang second-order differential ay kabuuan ng form

ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto Р 0 ay maaaring gawing simple.

Ipahiwatig , , . Buuin ang determinant

.

Kinalabasan:

d 2 z> 0 sa puntong P 0 , ibig sabihin. P 0 - pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng puntong Р 0 ay nagbabago ng tanda at walang extremum sa puntong Р 0;

kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.

Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) dalawang variable, mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.

2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f) kung saan at katumbas ng zero o wala.

3) Sa bawat kritikal na punto Р 0 suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(Р 0) at PERO(P 0). Pagkatapos:

kung D(Р 0) >0, pagkatapos ay mayroong isang extremum sa puntong Р 0, bukod dito, kung PERO(P 0) > 0 - kung gayon ito ay isang minimum, at kung PERO(P 0)< 0 – максимум;

kung D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Kung D(Р 0) = 0, kailangan ng karagdagang pag-aaral.

4) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga nahanap na extremum point.

Halimbawa1.

Hanapin ang extremum ng isang function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Solusyon. Ang domain ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Hanapin natin ang mga kritikal na punto.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Suriin natin ang katuparan ng sapat na matinding kondisyon. Hanapin natin

6X, = -3, = 48sa At = 288hu – 9.

Pagkatapos D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - mayroong isang extremum sa puntong Р 1, at dahil PERO(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P1) = .

Halimbawa 2

Hanapin ang extremum ng isang function .

Solusyon: D( f) = R 2 . Mga kritikal na puntos: ; ay hindi umiiral sa sa= 0, kaya P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.

2, = 0, = , = , ngunit ang D(Р 0) ay hindi tinukoy, kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.

Para sa parehong dahilan, imposibleng ilapat ang Theorem 9.2 nang direkta − d 2 z ay wala sa puntong ito.

Isaalang-alang ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong Р 0 . Kung si D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, pagkatapos ay P 0 ang pinakamababang punto, kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Mayroon kaming sa aming kaso

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto Р 0 ni ang kondisyon D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at, samakatuwid, ang P 0 ay hindi isang pinakamataas na punto), o ang kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang Р 0 ay hindi isang minimum na punto). Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, ang function na ito ay walang extremums.

May kundisyon na sukdulan.

Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.

Kahulugan 9.2. Extremum ang pag-andar At = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), ay tinatawag na conditional extremum .

Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Isaalang-alang ang mga function z = f(x,y) ng dalawang variable. Kung mayroon lamang isang constraint equation, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ang pinakamataas o pinakamababang punto ng surface ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito kasama ang silindro, Fig. 5).

Conditional extremum ng function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang function ng isa pa (halimbawa, write ) at, pagpapalit ng value na ito ng variable sa function , isulat ang huli bilang function ng isang variable (sa isinasaalang-alang na kaso ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.

Isang sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable

1. Hayaang ang function ay patuloy na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng punto at magkaroon ng tuluy-tuloy na second-order na bahagyang derivatives (puro at halo-halong).

2. Ipahiwatig sa pamamagitan ng pangalawang pagkakasunud-sunod na determinant

extremum variable lecture function

Teorama

Kung ang puntong may mga coordinate ay isang nakatigil na punto para sa function, kung gayon:

A) Kapag ito ay isang punto ng local extremum at, sa isang lokal na maximum, - isang lokal na minimum;

C) kapag ang punto ay hindi isang lokal na extremum point;

C) kung, marahil pareho.

Patunay

Sinusulat namin ang Taylor formula para sa function, nililimitahan ang aming sarili sa dalawang miyembro:

Dahil, ayon sa kondisyon ng teorama, ang punto ay nakatigil, ang pangalawang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero, i.e. At. Pagkatapos

Magpakilala

Pagkatapos ang pagdaragdag ng function ay kukuha ng form:

Dahil sa pagpapatuloy ng mga partial derivatives ng pangalawang order (dalisay at halo-halong), ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat:

Saan o; ,

1. Hayaan at, ibig sabihin, o.

2. Pina-multiply namin ang increment ng function at hinahati sa, nakukuha namin ang:

3. Kumpletuhin ang expression sa mga kulot na bracket sa buong parisukat ng kabuuan:

4. Ang expression sa mga kulot na bracket ay hindi negatibo, dahil

5. Samakatuwid, kung at kaya, at, pagkatapos at, samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang punto ay isang punto ng lokal na minimum.

6. Kung at nangangahulugan, at, pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang isang puntong may mga coordinate ay isang lokal na pinakamataas na punto.

2. Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial, ang discriminant nito, .

3. Kung, at pagkatapos ay may mga punto tulad na ang polynomial

4. Ang kabuuang pagtaas ng function sa isang punto alinsunod sa expression na nakuha sa I, isinusulat namin sa form:

5. Dahil sa pagpapatuloy ng second-order partial derivatives, ayon sa kondisyon ng theorem sa isang punto, maaari nating isulat na

samakatuwid, mayroong isang kapitbahayan ng isang punto na, para sa anumang punto, ang square trinomial ay mas malaki sa zero:

6. Isaalang-alang - ang kapitbahayan ng punto.

Pumili tayo ng anumang halaga, kaya iyon ang punto. Ipagpalagay na sa formula para sa pagtaas ng function

Ano ang nakukuha namin:

7. Mula noon.

8. Sa parehong pagtatalo para sa ugat, nakuha namin na sa anumang -kapitbahayan ng punto ay may isang punto kung saan, samakatuwid, sa kapitbahayan ng punto ay hindi nito pinapanatili ang tanda, samakatuwid ay walang extremum sa punto.

Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable

Kapag naghahanap ng extrema ng isang function ng dalawang variable, madalas na lumitaw ang mga problema na may kaugnayan sa tinatawag na conditional extremum. Ang konseptong ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng halimbawa ng isang function ng dalawang variable.

Hayaang maibigay ang isang function at isang linya L sa eroplanong 0xy. Ang gawain ay upang mahanap ang isang puntong P (x, y) sa linya L, kung saan ang halaga ng function ay ang pinakamalaki o pinakamaliit kumpara sa mga halaga ng function na ito sa mga punto ng linya L, na matatagpuan malapit sa ang puntong P. Ang nasabing mga puntong P ay tinatawag na conditional extremum point function sa linya L. Sa kaibahan sa karaniwang extremum point, ang halaga ng function sa conditional extremum point ay inihambing sa mga halaga ng function na hindi sa lahat ng mga punto ng ilang kapitbahayan nito, ngunit sa mga nasa linyang L lamang.

Malinaw na ang punto ng karaniwang extremum (sinasabi rin nila ang unconditional extremum) ay ang punto rin ng conditional extremum para sa anumang linyang dumadaan sa puntong ito. Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo: ang conditional extremum point ay maaaring hindi isang conventional extremum point. Ilarawan natin kung ano ang sinabi sa isang halimbawa.

Halimbawa #1. Ang graph ng function ay ang upper hemisphere (Larawan 2).

kanin. 2.

Ang function na ito ay may maximum sa pinanggalingan; ito ay tumutugma sa vertex M ng hemisphere. Kung ang linya L ay isang tuwid na linya na dumadaan sa mga punto A at B (equation nito), kung gayon ito ay geometrically malinaw na para sa mga punto ng linyang ito ang pinakamataas na halaga ng function ay naabot sa puntong nakahiga sa gitna sa pagitan ng mga punto A at B. Ito ang conditional extremum (maximum) point function sa linyang ito; tumutugma ito sa puntong M 1 sa hemisphere, at makikita mula sa pigura na maaaring walang tanong sa anumang ordinaryong extremum dito.

Tandaan na sa huling bahagi ng problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa saradong lugar Kailangang hanapin ng isang tao ang mga extremal na halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito, i.e. sa ilang linya, at sa gayon ay malulutas ang problema para sa isang conditional extremum.

Kahulugan 1. Sinasabi nila na kung saan mayroong isang kondisyon o kamag-anak na maximum (minimum) sa isang punto na nakakatugon sa equation: kung para sa alinman na nakakatugon sa equation, ang hindi pagkakapantay-pantay

Kahulugan 2. Ang isang equation ng form ay tinatawag na constraint equation.

Teorama

Kung ang mga function at patuloy na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto, at ang partial derivative at ang punto ay ang punto ng conditional extremum ng function na may paggalang sa constraint equation, kung gayon ang second-order determinant ay katumbas ng zero:

Patunay

1. Dahil, ayon sa kondisyon ng theorem, ang partial derivative, at ang halaga ng function, pagkatapos ay sa ilang parihaba

implicit function na tinukoy

Ang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa isang punto ay magkakaroon ng lokal na extremum, samakatuwid, o.

2. Sa katunayan, ayon sa invariance property ng first-order differential formula

3. Ang koneksyon equation ay maaaring katawanin sa form na ito, na nangangahulugan

4. I-multiply ang equation (2) sa, at (3) sa at idagdag ang mga ito

Samakatuwid, sa

arbitraryo. h.t.d.

Bunga

Ang paghahanap para sa mga conditional extremum point ng isang function ng dalawang variable sa pagsasanay ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation

Kaya, sa halimbawa sa itaas No. 1 mula sa equation ng komunikasyon na mayroon tayo. Mula dito, madaling suriin kung ano ang umaabot sa maximum sa . Ngunit pagkatapos ay mula sa equation ng komunikasyon. Nakukuha namin ang puntong P, na matatagpuan sa geometriko.

Halimbawa #2. Hanapin ang mga conditional extremum point ng function na may paggalang sa constraint equation.

Maghanap tayo ng mga partial derivatives ibinigay na function at ang mga equation ng koneksyon:

Gumawa tayo ng second-order determinant:

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga conditional extremum point:

kaya, mayroong apat na conditional extremum point ng function na may mga coordinate: .

Halimbawa #3. Hanapin ang mga extremum point ng function.

Equating ang bahagyang derivatives sa zero: , nakita namin ang isang nakatigil na punto - ang pinagmulan. Dito,. Samakatuwid, ang punto (0, 0) ay hindi rin isang extremum point. Ang equation ay ang equation ng isang hyperbolic paraboloid (Fig. 3), ipinapakita ng figure na ang point (0, 0) ay hindi isang extremum point.

kanin. 3.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar

1. Hayaang tukuyin at tuloy-tuloy ang function sa isang bounded closed domain D.

2. Hayaang magkaroon ang function na may finite partial derivatives sa rehiyong ito, maliban sa mga indibidwal na punto ng rehiyon.

3. Alinsunod sa Weierstrass theorem, sa lugar na ito mayroong isang punto kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

4. Kung ang mga puntong ito ay panloob na mga punto ng rehiyon D, kung gayon ay malinaw na magkakaroon sila ng maximum o minimum.

5. Sa kasong ito, ang mga punto ng interes sa amin ay kabilang sa mga kahina-hinalang punto sa extremum.

6. Gayunpaman, ang function ay maaari ding tumagal sa maximum o minimum na halaga sa hangganan ng rehiyon D.

7. Upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa lugar D, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga panloob na puntos na kahina-hinala para sa isang extremum, kalkulahin ang halaga ng function sa kanila, pagkatapos ay ihambing sa halaga ng function sa ang mga hangganan ng lugar, at ang pinakamalaki sa lahat ng nahanap na halaga ay magiging pinakamalaki sa saradong rehiyon D.

8. Ang paraan ng paghahanap ng lokal na maximum o minimum ay isinasaalang-alang nang mas maaga sa Seksyon 1.2. at 1.3.

9. Nananatili itong isaalang-alang ang paraan ng paghahanap ng maximum at minimum na halaga ng function sa hangganan ng rehiyon.

10. Sa kaso ng isang function ng dalawang variable, ang lugar ay karaniwang lumalabas na bounded ng isang curve o ilang mga curves.

11. Kasama ang naturang curve (o ilang curve), ang mga variable at alinman ay nakasalalay sa isa't isa, o pareho ay nakadepende sa isang parameter.

12. Kaya, sa hangganan, ang function ay lumalabas na umaasa sa isang variable.

13. Ang paraan ng paghahanap ng pinakamalaking halaga ng isang function ng isang variable ay tinalakay kanina.

14. Hayaang ibigay ang hangganan ng rehiyon D ng mga parametric equation:

Pagkatapos sa curve na ito ang function ng dalawang variable ay magiging isang kumplikadong function ng parameter: . Para sa gayong function, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay tinutukoy ng paraan ng pagtukoy ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga para sa isang function ng isang variable.

KONDISYONAL NA SOBRA

Ang minimum o maximum na halaga na nakamit ng isang naibigay na function (o functional) sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function (functional) ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang ibinigay na admissible set. Kung walang mga kundisyon na naglilimita sa mga pagbabago sa mga independiyenteng mga variable (function) sa ipinahiwatig na kahulugan, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang walang kondisyon na extremum.
Klasiko gawain para kay W. e. ay ang problema ng pagtukoy ng minimum ng isang function ng ilang mga variable

Sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function ay kumukuha ng mga ibinigay na halaga:

Sa problemang ito G, kung saan ang mga halaga ng function ng vector g=(g 1, ...,g m), kasama sa mga karagdagang kundisyon (2) ay isang nakapirming punto c=(c 1, ..., na may t) sa m-dimensional na Euclidean space
Kung sa (2) kasama ang equal sign, pinapayagan ang inequality sign

Ito ay humahantong sa problema non-linear programming(13). Sa problema (1), (3), ang set G ng mga tinatanggap na halaga ng vector function g ay isang tiyak na curvilinear , na kabilang sa (n-m 1)-dimensional na hypersurface na tinukoy ng m 1 , m 1 mga kondisyon ng uri ng pagkakapantay-pantay (3). Ang mga hangganan ng tinukoy na curvilinear polyhedron ay itinayo na isinasaalang-alang p-m 1 hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa (3).
Isang espesyal na kaso ng problema (1), (3) sa isang U.v. ay ang gawain linear programming, kung saan ang lahat ng itinuturing na function f at gi ay linear sa x l , ... , x p. Sa isang linear programming problem, ang set G ng mga posibleng halaga ng isang vector function g, kasama sa mga kundisyong naglilimita sa hanay ng mga variable x 1 , .....x n , ay , na kabilang sa (n-t 1)-dimensional na hyperplane na tinukoy ng m 1 equality-type na kondisyon sa (3).
Katulad nito, karamihan sa mga problema sa pag-optimize para sa mga functional na kumakatawan sa praktikal interes, ay binabawasan sa mga gawain sa U. e. (cm. Isoperimetric problem, Ring problem, Lagrange problem, Manner problem). Parang sa math lang. programming, ang mga pangunahing problema ng calculus of variations at theory of optimal control ay mga problema sa convex e.
Kapag nilulutas ang mga problema sa U. e., lalo na kapag isinasaalang-alang ang teoretikal. mga tanong na may kaugnayan sa mga problema sa C. e., lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang ang paggamit ng hindi tiyak Mga multiplier ng Lagrangian, na nagpapahintulot na bawasan ang problema sa U. e. sa problema sa unconditional at gawing simple ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality. Ang paggamit ng mga multiplier ng Lagrange ay sumasailalim sa karamihan ng mga klasikal pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa U. e.

Lit.: Hadley J., Nonlinear at , trans. mula sa English, M., 1967; Bliss G.A., Lectures on the calculus of variations, trans. mula sa English, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Mathematical encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "CONDITIONAL EXTREME" sa ibang mga diksyunaryo:

Relative extremum, extremum ng function f (x1,..., xn + m) ng n + m variables, sa pag-aakalang ang mga variable na ito ay napapailalim sa m higit pang coupling equation (kondisyon): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (tingnan ang Extremum).… …

Hayaang mabigyan ng mga function ang isang bukas na set at on. Hayaan. Ang mga equation na ito ay tinatawag na constraint equation (ang terminolohiya ay hiniram mula sa mechanics). Hayaang tukuyin ang isang function sa G ... Wikipedia

- (mula sa lat. extreme extreme) na halaga ng tuluy-tuloy na function f (x), na maaaring maximum o minimum. Mas tiyak: ang isang function na f (x) na tuloy-tuloy sa puntong x0 ay may maximum (minimum) sa x0 kung mayroong isang neighborhood (x0 + δ, x0 δ) ng puntong ito, ... ... Great Soviet Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extreme (mga kahulugan). Ang Extremum (Latin extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum ay ... ... Wikipedia

Isang function na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa isang conditional extremum ng mga function ng ilang variable at functional. Sa tulong ni L. f. ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality ay isinulat sa mga problema para sa conditional extremum. Hindi na kailangang magpahayag lamang ng mga variable... Mathematical Encyclopedia

Isang disiplina sa matematika na nakatuon sa paghahanap ng matinding (maximum at minimum) na mga halaga ng mga pag-andar ng mga variable depende sa pagpili ng isa o higit pang mga function. Sa at. ay isang likas na pag-unlad ng kabanatang iyon…… Great Soviet Encyclopedia

Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo sa pag-aaral ng mga problema para sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng L. m. at ang Lagrange function ay ginagawang posible upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa isang pare-parehong paraan sa mga problema para sa isang conditional extremum ... Mathematical Encyclopedia

Ang calculus of variations ay isang sangay ng functional analysis na nag-aaral ng mga variation sa functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay ang paghahanap ng isang function kung saan ang isang ibinigay na functional ay umabot ... ... Wikipedia

Isang seksyon ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng extrema ng mga functional na nakasalalay sa pagpili ng isa o higit pang mga function sa ilalim ng iba't ibang uri ng mga paghihigpit (phase, differential, integral, atbp.) na ipinataw sa mga ito ... ... Mathematical Encyclopedia

Ang calculus of variations ay isang sangay ng matematika na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay upang mahanap ang isang function kung saan ang functional ay umabot sa isang matinding halaga. Pamamaraan ... ... Wikipedia

Mga libro

• Mga lektura sa teorya ng kontrol. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Ang mga klasikal na problema ng teorya ng pinakamainam na kontrol ay isinasaalang-alang. Ang pagtatanghal ay nagsisimula sa mga pangunahing konsepto ng pag-optimize sa may hangganan-dimensional na mga espasyo: conditional at unconditional extremum, ...