Ang random na variable ay ibinibigay ng isang function. Pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable. Halimbawa ng Solusyon
Pagpapakalat tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis na Ox, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
Pagtatalaga ng serbisyo. Online na calculator dinisenyo upang malutas ang mga problema kung saan alinman density ng pamamahagi f(x) , o distribution function F(x) (tingnan ang halimbawa). Karaniwan sa ganitong mga gawain ay kinakailangan upang mahanap mathematical expectation, standard deviation, plot the functions f(x) and F(x).
Pagtuturo. Piliin ang uri ng input data: distribution density f(x) o distribution function F(x) .
Ang density ng pamamahagi f(x) ay ibinibigay:
Ang distribution function na F(x) ay ibinigay:
Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinutukoy ng probability density
(Batas sa pamamahagi ng Rayleigh - ginagamit sa engineering ng radyo). Hanapin ang M(x) , D(x) .
Ang random variable X ay tinatawag tuloy-tuloy
, kung ang function ng pamamahagi nito F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ginagamit upang kalkulahin ang mga probabilities ng isang random variable na nahuhulog sa isang naibigay na agwat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
saka, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, hindi mahalaga kung ang mga hangganan nito ay kasama sa agwat na ito o hindi:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad ng pamamahagi
Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na function
f(x)=F'(x) , derivative ng distribution function.
Mga Katangian ng Densidad ng Distribusyon
1. Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay hindi negatibo (f(x) ≥ 0) para sa lahat ng mga halaga ng x.2. Kondisyon ng normalisasyon:
Ang geometric na kahulugan ng kondisyon ng normalisasyon: ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay katumbas ng isa.
3. Ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa pagitan mula α hanggang β ay maaaring kalkulahin ng formula
Sa geometrically, ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X ay nahuhulog sa pagitan (α, β) ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid sa ilalim ng distribution density curve batay sa interval na ito.
4. Ang distribution function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng density tulad ng sumusunod:
Ang halaga ng density ng pamamahagi sa puntong x ay hindi katumbas ng posibilidad na kunin ang halagang ito; para sa isang tuluy-tuloy na random variable, maaari lamang nating pag-usapan ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat. Hayaan mong . Mga katangiang pang-numero X:
Dahil dito, . Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng dalawang pares ng mga halaga: . Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, sa wakas ay mayroon tayong: .
Sagot: .
Halimbawa 2.11. Sa karaniwan, 10% ng mga kontrata Insurance Company nagbabayad ng mga halagang nakaseguro kaugnay ng paglitaw ng isang nakasegurong kaganapan. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng bilang ng naturang mga kontrata sa apat na random na pinili.
Solusyon: Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ay matatagpuan gamit ang mga formula:
.
Mga posibleng halaga ng SV (bilang ng mga kontrata (sa apat) na may paglitaw ng isang nakaseguro na kaganapan): 0, 1, 2, 3, 4.
Ginagamit namin ang formula ng Bernoulli upang kalkulahin ang mga probabilidad ng ibang bilang ng mga kontrata (sa apat) kung saan binayaran ang mga halagang nakaseguro:
.
Ang serye ng pamamahagi ng CV (ang bilang ng mga kontrata na may kaganapan ng isang nakaseguro na kaganapan) ay may anyo:
0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Sagot: , .
Halimbawa 2.12. Sa limang rosas, dalawa ang puti. Sumulat ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable na nagpapahayag ng bilang ng mga puting rosas sa dalawang kinuha sa parehong oras.
Solusyon: Sa isang sample ng dalawang rosas, maaaring walang puting rosas, o maaaring may isa o dalawang puting rosas. Dahil dito, random na halaga X maaaring tumagal ng mga halaga: 0, 1, 2. Ang mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, makikita natin sa pamamagitan ng formula:
saan -- bilang ng mga rosas;
-- bilang ng mga puting rosas;
– ang bilang ng sabay-sabay na kinuha na mga rosas;
-- ang bilang ng mga puting rosas sa mga kinuha.
.
.
.
Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay ang mga sumusunod:
Halimbawa 2.13. Kabilang sa 15 na pinagsama-samang mga yunit, 6 ang nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas, sa limang random na pinili mula sa kabuuang bilang.
Solusyon: Random na halaga X- ang bilang ng mga unit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa limang napili - maaaring kunin ang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5 at may hypergeometric distribution. Ang mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, makikita natin sa pamamagitan ng formula:
saan -- ang bilang ng mga naka-assemble na yunit;
-- bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas;
– ang bilang ng mga napiling pinagsama-samang;
-- ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa mga napili.
.
.
.
.
.
Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay ang mga sumusunod:
Halimbawa 2.14. Sa 10 relo na natanggap para sa pagkumpuni, 7 ang nangangailangan ng pangkalahatang paglilinis ng mekanismo. Ang mga relo ay hindi pinagsunod-sunod ayon sa uri ng pagkukumpuni. Ang master, na nagnanais na makahanap ng isang relo na nangangailangan ng paglilinis, ay sinuri ang mga ito nang isa-isa at, nang natagpuan ang gayong relo, huminto sa karagdagang pagtingin. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga oras na pinanood.
Solusyon: Random na halaga X- ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa limang napili - maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 1, 2, 3, 4. Ang mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, makikita natin sa pamamagitan ng formula:
.
.
.
.
Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay ang mga sumusunod:
Ngayon kalkulahin natin ang mga numerical na katangian ng dami:
Sagot: , .
Halimbawa 2.15. Nakalimutan ng subscriber ang huling digit ng numero ng telepono na kailangan niya, ngunit naaalala na ito ay kakaiba. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga dial na ginawa niya bago pindutin ang nais na numero, kung random niyang ida-dial ang huling digit at hindi ida-dial ang na-dial na digit sa hinaharap.
Solusyon: Maaaring kumuha ng mga halaga ang random na variable: . Dahil ang subscriber ay hindi nag-dial ng na-dial na digit sa hinaharap, ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay pantay.
Bumuo tayo ng isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable:
0,2 |
Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga pagtatangka sa pag-dial:
Sagot: , .
Halimbawa 2.16. Ang posibilidad ng pagkabigo sa panahon ng mga pagsubok sa pagiging maaasahan para sa bawat aparato ng serye ay katumbas ng p. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga device na nabigo, kung sinubukan N mga kagamitan.
Solusyon: Ang discrete random variable X ay ang bilang ng mga nabigong device N mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng pagkabigo ay katumbas ng p, ipinamahagi ayon sa binomial na batas. Ang mathematical na inaasahan ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok:
Halimbawa 2.17. Discrete random variable X tumatagal ng 3 posibleng halaga: may posibilidad ; may probabilidad at may probabilidad . Hanapin at alam na M( X) = 8.
Solusyon: Ginagamit namin ang mga kahulugan ng inaasahan sa matematika at ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable:
Nakikita namin ang: .
Halimbawa 2.18. Sinusuri ng departamento ng teknikal na kontrol ang mga produkto para sa pamantayan. Ang posibilidad na ang item ay pamantayan ay 0.9. Ang bawat batch ay naglalaman ng 5 item. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X- ang bilang ng mga batch, ang bawat isa ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang produkto, kung 50 batch ang sasailalim sa pag-verify.
Solusyon: Sa kasong ito, ang lahat ng mga eksperimento na isinagawa ay independyente, at ang mga probabilidad na ang bawat batch ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang mga produkto ay pareho, samakatuwid, ang matematikal na inaasahan ay maaaring matukoy ng formula:
,
saan ang bilang ng mga partido;
Ang posibilidad na ang isang batch ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang mga item.
Nahanap namin ang posibilidad gamit ang Bernoulli formula:
Sagot: .
Halimbawa 2.19. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X– bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa dalawang independyenteng pagsubok, kung ang mga probabilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa mga pagsubok na ito ay pareho at alam na M(X) = 0,9.
Solusyon: Ang problema ay maaaring malutas sa dalawang paraan.
1) Mga posibleng halaga ng CB X: 0, 1, 2. Gamit ang Bernoulli formula, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito:
, , .
Tapos yung distribution law X mukhang:
Mula sa kahulugan ng inaasahan sa matematika, tinutukoy namin ang posibilidad:
Hanapin natin ang pagkakaiba ng SW X:
.
2) Maaari mong gamitin ang formula:
.
Sagot: .
Halimbawa 2.20. Pag-asa sa matematika at karaniwang paglihis ng isang karaniwang ibinahagi na random na variable X ay 20 at 5, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok X kukunin ang halagang nakapaloob sa pagitan (15; 25).
Solusyon: Probabilidad na matamaan ang isang normal na random variable X sa seksyon mula hanggang sa ay ipinahayag sa mga tuntunin ng Laplace function:
Halimbawa 2.21. Nabigyan ng function:
Sa anong halaga ng parameter C ang function na ito ay ang distribution density ng ilang tuluy-tuloy na random variable X? Hanapin ang mathematical expectation at variance ng isang random variable X.
Solusyon: Upang ang isang function ay maging density ng pamamahagi ng ilang random na variable , dapat itong hindi negatibo, at dapat itong matugunan ang property:
.
Dahil dito:
Kalkulahin ang mathematical na inaasahan gamit ang formula:
.
Kalkulahin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula:
Si T ay p. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang matematikal na inaasahan at pagkakaiba-iba ng random variable na ito.
Solusyon: Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay , ay tinatawag na binomial. Ang mathematical na inaasahan ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang pagsubok:
.
Halimbawa 2.25. Tatlong independyenteng putok ang pinaputok sa target. Ang posibilidad na matamaan ang bawat shot ay 0.25. Tukuyin ang standard deviation ng bilang ng mga hit na may tatlong shot.
Solusyon: Dahil ang tatlong independyenteng pagsubok ay isinasagawa, at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A (hit) sa bawat pagsubok ay pareho, ipagpalagay namin na ang discrete random variable X - ang bilang ng mga hit sa target - ay ipinamamahagi ayon sa binomial batas.
Ang pagkakaiba ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang mga probabilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok:
Halimbawa 2.26. Ang karaniwang bilang ng mga kliyenteng bumibisita sa kompanya ng seguro sa loob ng 10 minuto ay tatlo. Hanapin ang posibilidad na may dumating man lang na isang customer sa susunod na 5 minuto.
Average na bilang ng mga customer na darating sa loob ng 5 minuto: . .
Halimbawa 2.29. Ang oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila ng processor ay sumusunod sa exponential distribution law na may average na halaga na 20 segundo. Hanapin ang posibilidad na ang susunod na (arbitraryong) kahilingan ay maghintay para sa processor nang higit sa 35 segundo.
Solusyon: Sa halimbawang ito, ang inaasahan , at ang rate ng pagkabigo ay .
Kung gayon ang nais na posibilidad ay:
Halimbawa 2.30. Isang grupo ng 15 mag-aaral ang nagdaraos ng pulong sa isang bulwagan na may 20 hilera ng 10 upuan bawat isa. Ang bawat mag-aaral ay umuupo sa bulwagan nang random. Ano ang posibilidad na hindi hihigit sa tatlong tao ang nasa ikapitong puwesto sa hanay?
Solusyon:
Halimbawa 2.31.
Pagkatapos ay ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:
saan -- ang bilang ng mga bahagi sa batch;
-- ang bilang ng mga hindi karaniwang bahagi sa lote;
– bilang ng mga napiling bahagi;
-- ang bilang ng mga hindi karaniwang bahagi sa mga napili.
Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable ay ang mga sumusunod.
Kabanata 1. Discrete random variable
§ 1. Ang konsepto ng isang random variable.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable.
Kahulugan : Ang random ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, kumukuha lamang ng isang halaga mula sa isang posibleng hanay ng mga halaga nito, hindi alam nang maaga at depende sa mga random na dahilan.
Mayroong dalawang uri ng mga random na variable: discrete at tuloy-tuloy.
Kahulugan : Ang random variable X ay tinatawag discrete (hindi tuloy-tuloy) kung ang hanay ng mga halaga nito ay may hangganan o walang hanggan, ngunit mabibilang.
Sa madaling salita, ang mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring palitan ng numero.
Maaari mong ilarawan ang isang random na variable gamit ang batas ng pamamahagi nito.
Kahulugan : Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable tinatawag na pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga probabilidad.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay maaaring ibigay sa anyo ng isang talahanayan, sa unang hilera kung saan ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable ay ipinahiwatig sa pataas na pagkakasunud-sunod, at sa pangalawang hilera ang kaukulang mga probabilidad ng mga ito. mga halaga, i.e.
kung saan р1+ р2+…+ рn=1
Ang nasabing talahanayan ay tinatawag na isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable.
Kung ang hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay walang katapusan, ang seryeng р1+ р2+…+ рn+… ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng 1.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay maaaring ilarawan nang grapiko, kung saan ang isang polygonal na linya ay binuo sa isang hugis-parihaba na coordinate system, na magkakasunod na nagkokonekta ng mga puntos na may mga coordinate (xi;pi), i=1,2,…n. Ang resultang linya ay tinatawag polygon ng pamamahagi (Larawan 1).
Ang organikong kimika "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> ng organikong kimika ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 0.7 at 0.8. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng random na variable X - ang bilang ng mga pagsusulit ng mag-aaral lilipas.
Solusyon. Bilang resulta ng pagsusulit, ang itinuturing na random na variable na X ay maaaring kumuha ng isa sa mga sumusunod na halaga: x1=0, x2=1, x3=2.
Hanapin natin ang posibilidad ng mga halagang ito. Tukuyin ang mga kaganapan:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
Kaya, ang batas ng pamamahagi ng random variable X ay ibinibigay ng talahanayan:
Kontrol: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. Pag-andar ng pamamahagi
Ang kumpletong paglalarawan ng isang random na variable ay ibinibigay din ng distribution function.
Kahulugan: Ang distribution function ng isang discrete random variable X ang function na F(x) ay tinatawag, na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x:
F(x)=P(X<х)
Sa geometrically, ang distribution function ay binibigyang-kahulugan bilang ang posibilidad na ang random variable na X ay kukuha ng value na inilalarawan sa number line sa pamamagitan ng isang punto sa kaliwa ng point x.
1)0≤F(x)≤1;
2) Ang F(x) ay isang hindi bumababa na function sa (-∞;+∞);
3) F(x) - tuloy-tuloy mula sa kaliwa sa mga puntong x= xi (i=1,2,…n) at tuloy-tuloy sa lahat ng iba pang mga punto;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Kung ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable X ay ibinigay sa anyo ng isang talahanayan:
pagkatapos ay ang distribution function na F(x) ay tinutukoy ng formula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 para sa x≤ x1,
p1 sa x1< х≤ x2,
F(x)= p1 + p2 sa x2< х≤ х3
1 para sa x> xn.
Ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. 2:
§ 3. Mga katangiang numero ng isang discrete random variable.
Ang pag-asa sa matematika ay isa sa mga mahalagang katangian ng numero.
Kahulugan: Pag-asa sa matematika M(X) Ang discrete random variable X ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng mga halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilidad:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Ang inaasahan sa matematika ay nagsisilbing katangian ng average na halaga ng isang random na variable.
Mga katangian ng inaasahan sa matematika:
1)M(C)=C, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga;
2) M (C X) \u003d C M (X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), kung saan ang X, Y ay mga independent random variable;
5)M(X±C)=M(X)±C, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga;
Upang makilala ang antas ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable sa paligid ng average na halaga nito, ginagamit ang pagkakaiba-iba.
Kahulugan: pagpapakalat D ( X ) Ang random variable X ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito:
Mga katangian ng pagpapakalat:
1)D(C)=0, kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga;
2)D(X)>0, kung saan ang X ay isang random na variable;
3)D(C X)=C2 D(X), kung saan ang C ay isang pare-parehong halaga;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kung saan ang X, Y ay mga independent random variable;
Upang kalkulahin ang pagkakaiba, madalas na maginhawang gamitin ang formula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
kung saan М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Ang variance D(X) ay may sukat ng parisukat ng isang random na variable, na hindi palaging maginhawa. Samakatuwid, ang halaga √D(X) ay ginagamit din bilang isang tagapagpahiwatig ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable.
Kahulugan: Karaniwang lihis σ(X) Ang random variable X ay tinatawag na square root ng variance:
Gawain bilang 2. Ang discrete random variable X ay ibinibigay ng batas ng pamamahagi:
Hanapin ang P2, ang distribution function na F(x) at i-plot ang graph nito, gayundin ang M(X), D(X), σ(X).
Solusyon: Dahil ang kabuuan ng mga probabilidad ng posibleng mga halaga ng random variable X ay katumbas ng 1, kung gayon
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
Hanapin ang distribution function F(x)=P(X Sa geometriko, ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: Ang F(x) ay ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng halaga na inilalarawan sa totoong axis sa pamamagitan ng isang punto sa kaliwa ng x. Kung x≤-1, pagkatapos ay F(x)=0, dahil walang iisang halaga ng random variable na ito sa (-∞;x); Kung -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Kung 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) dalawang value x1=-1 at x2=0 fall; Kung 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Kung 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Kung x>3, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, dahil ang apat na value na x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 ay nahulog sa pagitan (-∞;x) at x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 para sa x≤-1, 0.1 sa -1<х≤0, 0.2 sa 0<х≤1, F(x)= 0.5 sa 1<х≤2, 0.7 sa 2<х≤3, 1 para sa x>3 Katawanin natin ang function na F(x) nang grapiko (Larawan 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomial distribution law discrete random variable, batas ni Poisson. Kahulugan: Binomial
tinatawag na batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng paulit-ulit na mga pagsubok, sa bawat isa sa kung saan ang kaganapan A ay maaaring mangyari na may posibilidad na p o hindi mangyari na may posibilidad na q = 1-p. Pagkatapos Р(Х=m)-probability ng paglitaw ng kaganapan A eksaktong m beses sa n pagsubok ay kinakalkula ng Bernoulli formula: P(X=m)=Сmnpmqn-m Ang inaasahan sa matematika, pagkakaiba at karaniwang paglihis ng isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa isang binary law, ay matatagpuan, ayon sa pagkakabanggit, ng mga formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Ang posibilidad ng kaganapan A - "makakuha ng lima" sa bawat pagsubok ay pareho at katumbas ng 1/6, ibig sabihin, P(A)=p=1/6, pagkatapos ay P(A)=1-p=q=5/6, kung saan - "Ang mga patak ay hindi limang." Maaaring kumuha ng mga halaga ang random na variable X: 0;1;2;3. Nahanap namin ang posibilidad ng bawat isa sa mga posibleng halaga ng X gamit ang Bernoulli formula: P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216; P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. yun. ang batas ng pamamahagi ng random variable X ay may anyo: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Hanapin natin ang mga numerical na katangian ng random variable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Gawain bilang 4. Mga bahagi ng awtomatikong selyo ng makina. Ang posibilidad na ang isang manufactured na bahagi ay may depekto ay 0.002. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 napiling bahagi ay magkakaroon ng: a) 5 may depekto; b) kahit isa ay may depekto. Solusyon:
Ang bilang n=1000 ay malaki, ang posibilidad ng paggawa ng isang may sira na bahagi p=0.002 ay maliit, at ang mga kaganapan na isinasaalang-alang (ang bahagi ay magiging may depekto) ay independiyente, kaya ang Poisson formula ay nagaganap: Рn(m)= e-
λ
λm Hanapin natin ang λ=np=1000 0.002=2. a) Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng 5 may sira na bahagi (m=5): P1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng hindi bababa sa isang may sira na bahagi. Kaganapan A - "hindi bababa sa isa sa mga napiling bahagi ay may depekto" ay ang kabaligtaran ng kaganapan - "lahat ng mga napiling bahagi ay hindi may depekto". Samakatuwid, P (A) \u003d 1-P (). Kaya't ang gustong probabilidad ay katumbas ng: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2
20
\u003d 1-e-2 \u003d 1-0.13534≈0.865. Mga gawain para sa malayang gawain.
1.1
1.2.
Ang dispersed random variable X ay ibinibigay ng batas ng pamamahagi: Hanapin ang p4, ang distribution function na F(X) at i-plot ang graph nito, gayundin ang M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Mayroong 9 na felt-tip pen sa kahon, 2 sa mga ito ay hindi na nagsusulat. Sa random, kumuha ng 3 felt-tip pen. Random variable X - ang bilang ng pagsulat ng mga felt-tip pen sa mga kinuha. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable. 1.4.
Mayroong 6 na aklat-aralin na random na inilagay sa istante ng aklatan, 4 sa kanila ay nakatali. Ang librarian ay kumukuha ng 4 na aklat-aralin nang random. Ang random na variable X ay ang bilang ng mga nakatali na mga aklat-aralin sa mga kinuha. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable. 1.5.
Ang tiket ay may dalawang gawain. Probability tamang desisyon ang unang gawain ay katumbas ng 0.9, ang pangalawa-0.7. Ang random variable X ay ang bilang ng mga tamang nalutas na problema sa ticket. Bumuo ng batas sa pamamahagi, kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito, at hanapin din ang distribution function na F (x) at buuin ang graph nito. 1.6.
Tatlong shooters ang bumaril sa isang target. Ang posibilidad na matamaan ang target ng isang shot para sa unang tagabaril ay 0.5, para sa pangalawa - 0.8, para sa pangatlo - 0.7. Ang random variable X ay ang bilang ng mga hit sa target kung ang mga shooters ay gumawa ng tig-isang shot. Hanapin ang batas sa pamamahagi, M(X),D(X). 1.7.
Ang isang manlalaro ng basketball ay naghahagis ng bola sa basket na may posibilidad na matamaan ang bawat paghagis ng 0.8. Para sa bawat hit, siya ay tumatanggap ng 10 puntos, at sa kaso ng isang miss, siya ay hindi iginawad ng mga puntos. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng random variable X-bilang ng mga puntos na natanggap ng isang basketball player para sa 3 throws. Hanapin ang M(X),D(X) at ang posibilidad na makakuha siya ng higit sa 10 puntos. 1.8.
Ang mga titik ay nakasulat sa mga kard, 5 patinig at 3 katinig lamang. 3 card ay pinili nang random, at sa bawat oras na ang card na kinuha ay ibabalik. Ang random variable X ay ang bilang ng mga patinig sa mga kinuha. Bumuo ng batas sa pamamahagi at hanapin ang M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Sa karaniwan, sa ilalim ng 60% ng mga kontrata, ang kumpanya ng seguro ay nagbabayad ng mga halaga ng seguro na may kaugnayan sa paglitaw ng isang nakasegurong kaganapan. I-compile ang batas ng pamamahagi ng random variable X - ang bilang ng mga kontrata kung saan binayaran ang sum insured sa apat na random na napiling kontrata. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito. 1.10.
Ang istasyon ng radyo sa ilang mga agwat ay nagpapadala ng mga palatandaan ng tawag (hindi hihigit sa apat) hanggang sa maitatag ang dalawang-daan na komunikasyon. Ang posibilidad na makatanggap ng tugon sa isang call sign ay 0.3. Random na variable X-bilang ng mga ipinadalang callsign. Buuin ang batas sa pamamahagi at hanapin ang F(x). 1.11.
Mayroong 3 susi, kung saan isa lamang ang kasya sa lock. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa random na variable na X-bilang ng mga pagtatangka na buksan ang lock, kung ang sinubukang susi ay hindi lumahok sa mga kasunod na pagtatangka. Hanapin ang M(X),D(X). 1.12.
Isinasagawa ang sunud-sunod na mga independiyenteng pagsusuri ng tatlong device para sa pagiging maaasahan. Ang bawat kasunod na aparato ay nasubok lamang kung ang nauna ay naging maaasahan. Ang posibilidad na makapasa sa pagsusulit para sa bawat instrumento ay 0.9. I-compile ang batas ng pamamahagi ng random variable X-number ng mga nasubok na device. 1.13
.May tatlong posibleng value ang discrete random variable X: x1=1, x2, x3, at x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Ang bloke ng elektronikong aparato ay naglalaman ng 100 magkaparehong elemento. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa panahon ng T ay katumbas ng 0.002. Ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa. Hanapin ang posibilidad na hindi hihigit sa dalawang elemento ang mabibigo sa oras T. 1.15.
Ang aklat-aralin ay nai-publish sa 50,000 kopya. Ang posibilidad na mali ang pagkakatali ng aklat-aralin ay 0.0002. Hanapin ang posibilidad na ang sirkulasyon ay naglalaman ng: a) apat na may sira na libro, b) mas mababa sa dalawang may sira na libro. 1
.16.
Ang bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX bawat minuto ay ipinamamahagi ayon sa batas ng Poisson na may parameter na λ=1.5. Hanapin ang posibilidad na sa isang minuto ay magkakaroon ng: a) dalawang tawag; b) kahit isang tawag. 1.17.
Hanapin ang M(Z),D(Z) kung Z=3X+Y. 1.18.
Ang mga batas ng pamamahagi ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay ibinigay: Hanapin ang M(Z),D(Z) kung Z=X+2Y. Mga sagot:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; 0 para sa x≤-2, 0.3 sa -2<х≤0, F(x)= 0.5 sa 0<х≤2, 0.9 sa 2<х≤5, 1 para sa x>5 1.2.
p4=0.1; 0 para sa x≤-1, 0.3 sa -1<х≤0, 0.4 sa 0<х≤1, F(x)= 0.6 sa 1<х≤2, 0.7 sa 2<х≤3, 1 para sa x>3 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 para sa x≤0, 0.03 sa 0<х≤1, F(x)= 0.37 sa 1<х≤2, 1 para sa x>2 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22e-0.2≈0.999 1.15.
a) 0.0189; b) 0.00049 1.16.
a) 0.0702; b) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Kabanata 2 Patuloy na random variable
Kahulugan: Tuloy-tuloy
pangalanan ang halaga, lahat ng posibleng mga halaga na ganap na punan ang may hangganan o walang katapusang pagitan ng numerical axis. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan. Maaaring tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable gamit ang distribution function. Kahulugan: F function ng pamamahagi
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay ang function na F(x), na tumutukoy para sa bawat value xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R Ang pagpapaandar ng pamamahagi ay tinatawag na pinagsama-samang pagpapaandar ng pamamahagi. Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:
1)1≤F(x)≤1 2) Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang distribution function ay tuluy-tuloy sa anumang punto at naiba sa lahat ng dako, maliban marahil sa mga indibidwal na punto. 3) Ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa isa sa mga pagitan (a; b), [a; b), [a; b], ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function na F (x) sa mga puntong a at b, i.e. P(a<Х
4) Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable X ay kukuha ng isang solong halaga ay 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Ang pagtukoy ng tuluy-tuloy na random na variable gamit ang distribution function ay hindi lamang isa. Ipakilala natin ang konsepto ng probability distribution density (distribution density). Kahulugan
:
Densidad ng posibilidad
f
(
x
)
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay ang hinango ng function ng pamamahagi nito, i.e.: Ang probability distribution density ay tinatawag minsan na differential distribution function o ang differential distribution law. Ang graph ng density ng probability distribution f(x) ay tinatawag kurba ng pamamahagi ng posibilidad
.
Probability density properties:
1) f(x) ≥0, kapag xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; b) Alam na F(x)= ∫ f(x)dx Samakatuwid, x kung x≤2, F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 kung x>6, kung gayon F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Sa ganitong paraan, 0 para sa x≤2, F (x) \u003d (x-2) 2/16 sa 2<х≤6, 1 para sa x>6. Ang graph ng function na F(x) ay ipinapakita sa Fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 para sa x≤0, F (x) \u003d (3 arctg x) / π sa 0<х≤√3, 1 para sa x>√3. Hanapin ang differential distribution function f(x) Solusyon:
Dahil f (x) \u003d F '(x), pagkatapos DIV_ADBLOCK93"> · Inaasahan sa matematika M (X)
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay: M(X)= ∫ x f(x)dx, sa kondisyon na ang integral na ito ay ganap na nagtatagpo. · Pagpapakalat
D
(
X
)
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, o D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standard deviation σ(X)
Ang tuluy-tuloy na random na variable ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay: Ang lahat ng mga katangian ng pag-asa sa matematika at pagpapakalat na isinasaalang-alang nang mas maaga para sa dispersed random na mga variable ay wasto din para sa mga tuluy-tuloy. Gawain bilang 3. Ang random variable X ay ibinibigay ng differential function f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Mga gawain para sa malayang solusyon.
2.1.
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ibinibigay ng isang distribution function: 0 para sa x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤ π/6, F(х)= - cos 3x sa π/6<х≤ π/3, 1 para sa x> π/3. Hanapin ang differential distribution function f(x) at gayundin Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 para sa x≤2, f(x)= na may x sa 2<х≤4, 0 para sa x>4. 2.4.
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ibinibigay ng density ng pamamahagi: 0 para sa x≤0, f(х)= с √х sa 0<х≤1, 0 para sa x>1. Hanapin: a) ang numero c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> para sa x, 0 sa x . Hanapin ang: a) F(x) at i-plot ang graph nito; b) M(X),D(X), σ(X); c) ang posibilidad na sa apat na independiyenteng pagsubok ang halaga X ay kukuha ng eksaktong 2 beses ng halaga na kabilang sa pagitan (1; 4). 2.6.
Ang probability distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay: f (x) \u003d 2 (x-2) para sa x, 0 sa x . Hanapin ang: a) F(x) at i-plot ang graph nito; b) M(X),D(X), σ(X); c) ang posibilidad na sa tatlong independiyenteng pagsusulit ang halaga X ay kukuha ng eksaktong 2 beses ng halaga na kabilang sa pagitan . 2.7.
Ang function na f(x) ay ibinibigay bilang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Ang function na f(x) ay ibinibigay bilang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /apat ; π /4]. Hanapin: a) ang halaga ng constant c, kung saan ang function ay ang probability density ng ilang random variable X; b) function ng pamamahagi F(x). 2.9.
Ang random na variable Х, na puro sa pagitan (3;7), ay ibinibigay ng distribution function F(х)= . Hanapin ang posibilidad na kukunin ng random variable X ang halaga: a) mas mababa sa 5, b) hindi bababa sa 7. 2.10.
Random na variable X, puro sa pagitan (-1; 4), ibinigay ng distribution function F(x)= . Hanapin ang posibilidad na Kukunin ng random variable X ang halaga: a) mas mababa sa 2, b) hindi bababa sa 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Hanapin: a) ang numero c; b) M(X); c) posibilidad P(X > M(X)). 2.12.
Ang random na variable ay ibinibigay ng differential distribution function: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Hanapin ang: a) M(X); b) posibilidad Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Ang pamamahagi ng Oras ay ibinibigay ng probability density: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> para sa x ≥0. Patunayan na ang f(x) ay talagang isang probability density distribution. 2.14.
Ang probability distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136"> (Fig. 5) 2.16.
Ang random variable na X ay ibinahagi ayon sa batas na "right-angled triangle" sa pagitan (0; 4) (Larawan 5). Maghanap ng analytical expression para sa probability density f(x) sa buong real axis. Mga sagot
0 para sa x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x sa π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 para sa x≤a, f(x)= para sa a<х
0 para sa x≥b. Ang graph ng function na f(x) ay ipinapakita sa fig. isa https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para sa x≤a, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Gawain bilang 1. Ang random na variable X ay pantay na ipinamamahagi sa segment . Hanapin: a) ang probability distribution density f(x) at bumuo ng graph nito; b) ang distribution function na F(x) at bumuo ng graph nito; c) M(X),D(X), σ(X). Solusyon:
Gamit ang mga formula na tinalakay sa itaas, na may a=3, b=7, makikita natin ang: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> sa 3≤х≤7, 0 para sa x>7 Buuin natin ang graph nito (Larawan 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 para sa x≤3, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">fig.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 para sa x<0, f(х)= λе-λх sa х≥0. Ang distribution function ng random variable X, na ibinahagi ayon sa exponential law, ay ibinibigay ng formula: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Fig.6 Ang mathematical na inaasahan, variance at standard deviation ng exponential distribution ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng: M(X)= , D(X)=, σ(X)= Kaya, ang inaasahan sa matematika at ang standard deviation ng exponential distribution ay pantay sa isa't isa. Ang posibilidad na mahulog ang X sa pagitan (a;b) ay kinakalkula ng formula: Р(a<Х
Gawain bilang 2. Ang average na uptime ng device ay 100 oras. Ipagpalagay na ang uptime ng device ay may exponential distribution law, hanapin ang: a) density ng pamamahagi ng posibilidad; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na ang oras ng walang pagkabigo na operasyon ng aparato ay lalampas sa 120 oras. Solusyon:
Ayon sa kundisyon, ang mathematical distribution M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 para sa x<0, a) f(x)= 0.01e -0.01x para sa x≥0. b) F(x)= 0 para sa x<0, 1-e -0.01x sa x≥0. c) Nahanap namin ang gustong probabilidad gamit ang distribution function: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3. §
3. Normal na batas sa pamamahagi Kahulugan:
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable na X ay mayroon batas ng normal na pamamahagi (batas Gaussian),
kung ang density ng pamamahagi nito ay may anyo: , kung saan ang m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Ang normal na curve ng pamamahagi ay tinatawag normal o gaussian curve
(fig.7) Ang normal na kurba ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x=m, ay may pinakamataas sa x=a katumbas ng . Ang distribution function ng isang random variable X, na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay ipinahayag sa pamamagitan ng Laplace function na Ф (х) ayon sa formula: , nasaan ang Laplace function. Komento:
Ang function na Ф(х) ay kakaiba (Ф(-х)=-Ф(х)), bukod pa, kung x>5, maaari nating isaalang-alang ang Ф(х) ≈1/2. Ang graph ng distribution function na F(x) ay ipinapakita sa fig. walo https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Ang posibilidad na ang absolute value ng deviation ay mas mababa sa isang positibong numero δ ay kinakalkula ng formula: Sa partikular, para sa m=0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo: "Three Sigma Rule"
Kung ang isang random na variable X ay may normal na batas sa pamamahagi na may mga parameter na m at σ, kung gayon halos tiyak na ang halaga nito ay nasa pagitan (a-3σ; a+3σ), dahil https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Gamitin natin ang pormula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Ayon sa talahanayan ng mga halaga ng function na Ф(х) nakita namin ang Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Kaya ang nais na posibilidad ay: P(28 Mga gawain para sa malayang gawain
3.1.
Ang random variable X ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-3;5). Hanapin: b) function ng pamamahagi F(x); c) mga katangiang numero; d) posibilidad P(4<х<6). 3.2.
Ang random na variable X ay pantay na ipinamamahagi sa segment . Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) function ng pamamahagi F(x); c) mga katangiang numero; d) posibilidad Р(3≤х≤6). 3.3.
Ang isang awtomatikong ilaw ng trapiko ay naka-install sa highway, kung saan ang berdeng ilaw ay naka-on sa loob ng 2 minuto para sa mga sasakyan, dilaw sa loob ng 3 segundo at pula sa loob ng 30 segundo, atbp. Ang kotse ay dumadaan sa kahabaan ng highway sa random na oras. Hanapin ang posibilidad na ang sasakyan ay dumaan sa ilaw ng trapiko nang hindi humihinto. 3.4.
Ang mga tren sa subway ay regular na tumatakbo sa pagitan ng 2 minuto. Ang pasahero ay pumapasok sa platform sa random na oras. Ano ang posibilidad na ang pasahero ay kailangang maghintay ng higit sa 50 segundo para sa tren? Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X - ang oras ng paghihintay ng tren. 3.5.
Hanapin ang variance at standard deviation ng exponential distribution na ibinigay ng distribution function: F(x)= 0 sa x<0, 1-e-8x para sa x≥0. 3.6.
Ang tuluy-tuloy na random na variable X ay ibinibigay ng probability distribution density: f(x)= 0 para sa x<0, 0.7 e-0.7x sa x≥0. a) Pangalanan ang batas ng distribusyon ng itinuturing na random variable. b) Hanapin ang distribution function na F(X) at ang mga numerical na katangian ng random variable X. 3.7.
Ang random variable X ay ipinamamahagi ayon sa exponential law, na ibinigay ng probability distribution density: f(x)= 0 para sa x<0, 0.4 e-0.4 x sa x≥0. Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan (2.5; 5). 3.8.
Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ipinamamahagi ayon sa exponential law na ibinigay ng distribution function: F(x)= 0 sa x<0, 1st-0.6x sa x≥0 Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan . 3.9.
Ang mathematical expectation at standard deviation ng isang normally distributed random variable ay 8 at 2, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsusulit, ang X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan (10;14). 3.10.
Ang random na variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may mean 3.5 at variance 0.04. Hanapin: a) density ng pamamahagi f(x); b) ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay kukuha ng halaga mula sa pagitan . 3.11.
Ang random variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at D(X)=1. Alin sa mga kaganapan: |X|≤0.6 o |X|≥0.6 ang may mas mataas na posibilidad? 3.12.
Ang random na variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at D(X)=1. Mula sa aling pagitan (-0.5;-0.1) o (1;2) sa isang pagsubok ay kukuha ito ng halaga na may mas mataas na posibilidad ? 3.13.
Ang kasalukuyang presyo sa bawat bahagi ay maaaring imodelo gamit ang isang normal na distribusyon na may M(X)=10den. mga yunit at σ (X)=0.3 den. mga yunit Hanapin: a) ang posibilidad na ang kasalukuyang presyo ng bahagi ay mula sa 9.8 den. mga yunit hanggang 10.4 den. mga yunit; b) gamit ang "rule of three sigma" upang mahanap ang mga hangganan kung saan matatagpuan ang kasalukuyang presyo ng stock. 3.14.
Ang sangkap ay tinimbang nang walang sistematikong mga pagkakamali. Ang mga random na error sa pagtimbang ay napapailalim sa normal na batas na may root-mean-square ratio σ=5r. Hanapin ang posibilidad na sa apat na independiyenteng mga eksperimento ang error sa tatlong pagtimbang ay hindi mangyayari sa ganap na halaga 3r. 3.15.
Ang random variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=12.6. Ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa pagitan (11.4;13.8) ay 0.6826. Hanapin ang karaniwang paglihis σ. 3.16.
Ang random variable X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=12 at D(X)=36. Hanapin ang pagitan kung saan, na may probabilidad na 0.9973, ang random variable X ay bumaba bilang resulta ng pagsubok. 3.17.
Ang isang bahagi na ginawa ng isang awtomatikong makina ay itinuturing na may sira kung ang paglihis X ng kinokontrol na parameter nito mula sa nominal na halaga ay lumampas sa 2 mga yunit ng modulo ng pagsukat. Ipinapalagay na ang random variable na X ay karaniwang ipinamamahagi na may M(X)=0 at σ(X)=0.7. Ilang porsyento ng mga may sira na bahagi ang ibinibigay ng makina? 3.18.
Ang parameter ng detalye X ay karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan sa matematika na 2 na katumbas ng nominal na halaga at isang karaniwang paglihis na 0.014. Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng X mula sa face value modulo ay hindi lalampas sa 1% ng face value. Mga sagot
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 para sa x≤-3, F(x)=left"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) Р(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Upang hanapin ang distribution function ng isang discrete random variable kailangan mong gamitin ang calculator na ito. Ehersisyo 1. Ang density ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay may anyo: Gawain 2. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable X na ibinigay ng integral function. Gawain 3. Hanapin ang mathematical expectation ng isang random variable X na binibigyan ng distribution function. Gawain 4. Ang probability density ng ilang random variable ay ibinibigay bilang mga sumusunod: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞) Isang gawain. Ang distribution function ng ilang tuluy-tuloy na random variable ay ibinibigay bilang mga sumusunod: Tukuyin ang mga parameter a at b , hanapin ang expression para sa probability density f(x) , ang mathematical expectation at variance, pati na rin ang probabilidad na ang random variable ay kukuha ng value sa interval . I-plot ang mga graph ng f(x) at F(x). Hanapin natin ang distribution density function bilang isang derivative ng distribution function. Halimbawa #1. Ang probability distribution density f(x) ng isang tuluy-tuloy na random variable X ay ibinigay. Kailangan: Ang random variable X ay ibinibigay ng density ng pamamahagi f(x): Sa pagkakaalam, random variable
ay tinatawag na variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay tinutukoy ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy. Discrete random variable
ay isang random na variable na kumukuha lamang ng finite o infinite (countable) set of values na may ilang mga non-zero probabilities. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable
ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang mga katumbas na probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan. 1
. Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … . sa) sa pamamagitan ng paggamit function ng pamamahagi F(x)
, na tumutukoy para sa bawat value x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value na mas mababa sa x, i.e. F(x) = P(X< x). Mga katangian ng function F(x) 3
. Ang batas sa pamamahagi ay maaaring itakda nang graphical
– distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3). Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema, hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable. Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable
: 1000 lottery ticket ang naibigay: 5 sa kanila ang nanalo ng 500 rubles, 10 - 100 rubles, 20 - 50 rubles, 50 - 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket. Solusyon.
Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500. Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 - (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915. Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilities: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipinakita namin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan: Hanapin ang mathematical na inaasahan ng X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5 Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng pagpapatakbo. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable. Solusyon.
1.
Ang discrete random variable X=(bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 \u003d 3 (tatlong elemento ang nabigo). Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay katumbas ng bawat isa, samakatuwid, ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli
. Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga: Kaya, ang gustong binomial distribution law X ay may anyo: Sa abscissa axis, inilalagay namin ang mga posibleng halaga x i, at sa ordinate axis, ang kaukulang probabilities р i . Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Ikinonekta ang mga puntong ito sa mga segment ng linya, makuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi. 3.
Hanapin ang distribution function F(x) = P(X Graph ng function na F(x) 4.
Para sa binomial distribution X:
Hanapin:
a) parameter A ;
b) function ng pamamahagi F(x);
c) ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa pagitan;
d) mathematical expectation MX at variance DX .
I-plot ang mga function f(x) at F(x) .
Maghanap ng coefficient A , distribution function F(x) , mathematical expectation at variance, pati na rin ang probabilidad na ang isang random variable ay kumuha ng value sa interval . I-plot ang mga graph ng f(x) at F(x).
Alam na
hanapin ang parameter a:
o 3a=1, kung saan a = 1/3
Nahanap namin ang parameter b mula sa mga sumusunod na katangian:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 kung saan b = -1/3
Samakatuwid, ang distribution function ay: F(x) = (x-1)/3
Pagpapakalat.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Hanapin ang posibilidad na ang isang random na variable ay kumukuha ng isang halaga sa pagitan
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Solusyon:
Hanapin ang parameter A mula sa kundisyon:
o
14/3*A-1=0
saan,
A = 3 / 14
Ang function ng pamamahagi ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula.
Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λMga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
Gawain 3.
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 ito ay magiging F(x) = 1, dahil tiyak ang kaganapan.
- inaasahan sa matematika М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.