Kaip išspręsti visas lygtis. Tiesinių lygčių sprendimas su pavyzdžiais. Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas

Išanalizuokime dviejų tipų lygčių sistemų sprendimus:

1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.

Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo būdu turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreikšti. Iš bet kurios lygties išreiškiame vieną kintamąjį.
2. Pakaitalas. Gautą reikšmę vietoj išreikšto kintamojo pakeičiame kita lygtimi.
3. Išspręskite gautą lygtį su vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.

Išspręsti sistema terminų pridėjimo (atimties) metodu reikia:
1. Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime identiškus koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, todėl gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išspręskite gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.

Sistemos sprendimas yra funkcijų grafikų susikirtimo taškai.

Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys:

Išspręskime pakeitimo metodu

Lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

2x+5y=1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)

1. Išreikšti
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, vadinasi, lengviausia išreikšti kintamąjį x iš antrosios lygties.
x=3+10m

2.Ją išreiškę, pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3+10y.
2(3+10m)+5m=1

3. Išspręskite gautą lygtį su vienu kintamuoju.
2(3+10y)+5y=1 (atidarykite skliaustus)
6+20m+5m=1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y. Raskime x, pirmame taške, kuriame jį išreiškėme, pakeičiame y.
x=3+10m
x=3+10*(-0,2)=1

Įprasta rašyti taškus pirmoje vietoje rašome kintamąjį x, o antroje – kintamąjį y.
Atsakymas: (1; -0,2)

2 pavyzdys:

Išspręskime naudodamiesi terminų pridėjimo (atimties) metodu.

Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

3x-2y=1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2 lygtis)

1. Pasirenkame kintamąjį, tarkime, pasirenkame x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje - 2. Koeficientus turime padaryti vienodus, tam turime teisę padauginti lygtis arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją iš 3 ir gauname bendrą koeficientą 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3m = -10 |*3
6x-9y=-30

2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x. Išspręskite tiesinę lygtį.
__6x-4y=2

5m=32 | :5
y = 6,4

3. Raskite x. Rastą y pakeičiame į bet kurią lygtį, tarkime, į pirmąją lygtį.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Susikirtimo taškas bus x=4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)

Ar norite ruoštis egzaminams nemokamai? Mokytoja internete nemokamai. Nejuokauju.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia, pagal įstatymą, teisminė procedūra, V teismo procesas, ir (arba) remiantis viešais prašymais arba prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiame vaizdo įraše išanalizuosime visą rinkinį tiesines lygtis, kurie išsprendžiami naudojant tą patį algoritmą – todėl jie vadinami paprasčiausiais.

Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri vadinama paprasčiausia?

Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik iki pirmojo laipsnio.

Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:

Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių naudojant algoritmą:

1. Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra;
2. Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
3. Lygybės ženklo kairėje ir dešinėje nurodykite panašius terminus;
4. Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $x$ koeficiento.

Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių machinacijų kintamojo $x$ koeficientas pasirodo esantis lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai pasirodo kažkas panašaus į $0\cdot x=8$, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje yra skaičius, kuris nėra nulis. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime keletą priežasčių, kodėl tokia situacija yra įmanoma.
2. Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma, yra tada, kai lygtis sumažinta iki konstrukcijos $0\cdot x=0$. Visai logiška, kad kad ir kokius $x$ pakeistume, vis tiek išeis „nulis lygus nuliui“, t.y. teisinga skaitinė lygybė.

Dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia, naudodamiesi realaus gyvenimo pavyzdžiais.

Lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik pačiomis paprasčiausiomis. Apskritai tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.

Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:

1. Visų pirma, reikia išplėsti skliaustus, jei tokių yra (kaip paskutiniame pavyzdyje);
2. Tada derinkite panašius
3. Galiausiai išskirkite kintamąjį, t.y. perkelkite viską, kas susiję su kintamuoju – terminus, kuriuose jis yra – į vieną pusę, o viską, kas lieka be jo, perkelkite į kitą pusę.

Tada, kaip taisyklė, reikia pateikti panašius kiekvienoje gautos lygybės pusėje, o po to belieka padalyti iš koeficiento „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.

Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę aukštųjų mokyklų studentai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastose tiesinėse lygtyse. Paprastai klaidos daromos atidarant skliaustus arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.

Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis apskritai neturi sprendinių arba sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės apžvelgsime šios dienos pamokoje. Bet pradėsime, kaip jau supratote, nuo paprasčiausių užduočių.

Paprastų tiesinių lygčių sprendimo schema

Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:

1. Išplėskite skliaustus, jei tokių yra.
2. Išskiriame kintamuosius, t.y. Viską, kuriame yra „X“, perkeliame į vieną pusę, o viską be „X“ – į kitą.
3. Pateikiame panašias sąlygas.
4. Viską padaliname iš koeficiento „x“.

Žinoma, ši schema ne visada veikia, joje yra tam tikrų subtilybių ir gudrybių, ir dabar mes su jais susipažinsime.

Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

Užduotis Nr.1

Pirmas žingsnis reikalauja, kad atidarytume skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl juos praleidžiame šis etapas. Antrame etape turime išskirti kintamuosius. Atkreipkite dėmesį: mes kalbame tik apie atskiras sąlygas. Užsirašykime:

Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta čia. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Taigi mes gavome atsakymą.

2 užduotis

Šioje užduotyje matome skliaustus, todėl išplėskime juos:

Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug vienodą dizainą, bet veikime pagal algoritmą, t.y. atskiriant kintamuosius:

Štai keletas panašių:

Kokiomis šaknimis tai veikia? Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $x$ yra bet koks skaičius.

Užduotis Nr.3

Trečioji tiesinė lygtis įdomesnė:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginami, tiesiog prieš juos pateikiami skirtingi ženklai. Išskaidykime juos:

Atliekame antrą mums jau žinomą žingsnį:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Paskaičiuokime:

Atliekame paskutinį žingsnį - viską padaliname iš koeficiento „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis

Jei ignoruosime pernelyg paprastas užduotis, norėčiau pasakyti:

• Kaip sakiau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
• Net jei yra šaknų, tarp jų gali būti nulis – nieko blogo.

Nulis yra toks pat skaičius kaip ir kiti; jokiu būdu neturėtumėte jo diskriminuoti arba manyti, kad jei gavote nulį, vadinasi, padarėte kažką ne taip.

Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų atidarymu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra „minusas“, mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas. Ir tada galime jį atidaryti naudodami standartinius algoritmus: gausime tai, ką matėme atlikdami aukščiau pateiktus skaičiavimus.

Šio paprasto fakto supratimas padės išvengti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie dalykai laikomi savaime suprantamu dalyku.

Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas

Pereikime prie sudėtingesnių lygčių. Dabar konstrukcijos taps sudėtingesnės ir atliekant įvairias transformacijas atsiras kvadratinė funkcija. Tačiau neturėtume to bijoti, nes jei pagal autoriaus planą sprendžiame tiesinę lygtį, tada transformacijos metu visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, tikrai bus panaikinti.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad pirmasis žingsnis yra atidaryti skliaustus. Padarykime tai labai atsargiai:

Dabar pažvelkime į privatumą:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Štai keletas panašių:

Akivaizdu, kad duota lygtis Sprendimų nėra, todėl atsakyme parašysime tai:

\[\varnothing\]

arba nėra šaknų.

2 pavyzdys

Atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:

Viską perkelkime su kintamuoju į kairę, o be jo - į dešinę:

Štai keletas panašių:

Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl ją parašysime taip:

\[\varnothing\],

arba nėra šaknų.

Sprendimo niuansai

Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Panaudoję šias dvi išraiškas kaip pavyzdį, dar kartą įsitikinome, kad net paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena, arba jų nėra, arba be galo daug šaknų. Mūsų atveju mes nagrinėjome dvi lygtis, abi tiesiog neturi šaknų.

Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos atidaryti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:

Prieš atidarydami, turite viską padauginti iš „X“. Atkreipkite dėmesį: dauginasi kiekvienas atskiras terminas. Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir padauginti.

Ir tik atlikus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, galima atversti skliaustą iš to, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai transformacijos baigtos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas žemiau tiesiog keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.

Tą patį darome su antrąja lygtimi:

Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra elementarių transformacijų seka, kai nesugebama aiškiai ir kompetentingai atlikti paprastus veiksmus veda prie to, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.

Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius ištobulinsite iki automatizavimo. Jums nebereikės kiekvieną kartą atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite vienoje eilutėje. Bet kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.

Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas

Tai, ką dabar spręsime, vargu ar galima pavadinti paprasčiausia užduotimi, tačiau prasmė išlieka ta pati.

Užduotis Nr.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:

Pasirūpinkime privatumu:

Štai keletas panašių:

Užbaikime paskutinį žingsnį:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir nepaisant to, kad spręsdami turėjome koeficientus su kvadratine funkcija, jie vienas kitą panaikino, todėl lygtis yra tiesinė, o ne kvadratinė.

2 užduotis

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Atsargiai atlikime pirmąjį veiksmą: padauginkite kiekvieną elementą iš pirmojo skliausto iš kiekvieno elemento iš antrojo. Po pakeitimų iš viso turėtų būti keturi nauji terminai:

Dabar atidžiai padauginkime kiekvieną terminą:

Perkelkime terminus su "X" į kairę, o tuos, kurių nėra - į dešinę:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Čia yra panašūs terminai:

Dar kartą gavome galutinį atsakymą.

Sprendimo niuansai

Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustus, kuriuose yra daugiau nei vienas narys, tai daroma pagal tokią taisyklę: paimame pirmąjį narį iš pirmojo ir padauginame iš kiekvieno elemento iš Antras; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai padauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to turėsime keturias kadencijas.

Apie algebrinę sumą

Šiuo paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, kas yra algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje 1–7 USD turime omenyje paprastą konstrukciją: iš vieno atimti septynis. Algebroje tai reiškia: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Taip algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės sumos.

Kai tik atlikdami visas transformacijas, kiekvieną sudėjimą ir dauginimą pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.

Galiausiai pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti standartinį algoritmą.

Lygčių su trupmenomis sprendimas

Norėdami išspręsti tokias užduotis, prie algoritmo turėsime pridėti dar vieną žingsnį. Bet pirmiausia leiskite jums priminti mūsų algoritmą:

1. Atidarykite skliaustus.
2. Atskiri kintamieji.
3. Atsineškite panašių.
4. Padalinkite iš santykio.

Deja, šis nuostabus algoritmas, nepaisant viso savo efektyvumo, pasirodo, nėra visiškai tinkamas, kai prieš mus yra trupmenos. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną tiek kairėje, tiek dešinėje.

Kaip tokiu atveju dirbti? Taip, tai labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną žingsnį, kurį galima atlikti tiek prieš, tiek po pirmojo veiksmo, būtent, atsikratyti trupmenų. Taigi algoritmas bus toks:

1. Atsikratykite frakcijų.
2. Atidarykite skliaustus.
3. Atskiri kintamieji.
4. Atsineškite panašių.
5. Padalinkite iš santykio.

Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Iš tikrųjų mūsų atveju visos trupmenos savo vardiklyje yra skaitinės, t.y. Visur vardiklis yra tik skaičius. Todėl, padauginus abi lygties puses iš šio skaičiaus, atsikratysime trupmenų.

1 pavyzdys

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atsikratykime šios lygties trupmenų:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t.y. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš „keturių“. Užsirašykime:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Dabar išplėskime:

Išskiriame kintamąjį:

Atliekame panašių terminų sumažinimą:

\[-4x = -1\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Gavome galutinį sprendimą, pereikime prie antrosios lygties.

2 pavyzdys

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema išspręsta.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau jums pasakyti.

Pagrindiniai klausimai

Pagrindinės išvados yra šios:

• Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
• Galimybė atidaryti skliaustus.
• Nesijaudinkite, jei kažkur turite kvadratinių funkcijų; greičiausiai jos bus sumažintos tolesnių transformacijų metu.
• Tiesinėse lygtyse yra trijų tipų šaknys, net ir pačios paprasčiausios: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, o šaknų visai nėra.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę ir išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!

Šiuo vaizdo įrašu pradedu pamokų seriją, skirtą lygčių sistemoms. Šiandien kalbėsime apie tiesinių lygčių sistemų sprendimą papildymo būdas– tai vienas iš labiausiai paprastus būdus, bet kartu ir vienas efektyviausių.

Papildymo metodas susideda iš trys paprastižingsniai:

1. Pažvelkite į sistemą ir pasirinkite kintamąjį, kurio kiekvienoje lygtyje yra identiški (arba priešingi) koeficientai;
2. Atlikite algebrinę atimtį (už priešingi skaičiai- sudėjus) lygtis viena nuo kitos, tada pridėkite panašius terminus;
3. Išspręskite naują lygtį, gautą po antrojo žingsnio.

Jei viskas bus padaryta teisingai, tada išvestyje gausime vieną lygtį su vienu kintamuoju- tai nebus sunku išspręsti. Tada belieka rastą šaknį pakeisti pradine sistema ir gauti galutinį atsakymą.

Tačiau praktiškai viskas nėra taip paprasta. Tam yra keletas priežasčių:

• Sprendžiant lygtis naudojant sudėjimo metodą, visose eilutėse turi būti kintamieji, kurių koeficientai yra vienodi / priešingi. Ką daryti, jei šis reikalavimas neįvykdytas?
• Ne visada, nurodytu būdu sudėjus/atėmus lygtis, gauname gražią, nesunkiai išsprendžiamą konstrukciją. Ar įmanoma kažkaip supaprastinti skaičiavimus ir pagreitinti skaičiavimus?

Norėdami gauti atsakymus į šiuos klausimus ir tuo pačiu suprasti keletą papildomų subtilybių, kurių daugelis mokinių nesugeba, žiūrėkite mano vaizdo pamoką:

Šia pamoka pradedame paskaitų ciklą, skirtą lygčių sistemoms. Ir mes pradėsime nuo paprasčiausių iš jų, būtent tų, kuriuose yra dvi lygtys ir du kintamieji. Kiekvienas iš jų bus linijinis.

Sistemos yra 7 klasės medžiaga, tačiau ši pamoka bus naudinga ir vyresniųjų klasių mokiniams, kurie nori pagyvinti savo žinias šia tema.

Apskritai yra du tokių sistemų sprendimo būdai:

1. Papildymo būdas;
2. Metodas išreikšti vieną kintamąjį kitu.

Šiandien nagrinėsime pirmąjį metodą – naudosime atimties ir sudėjimo metodą. Tačiau norėdami tai padaryti, turite suprasti šį faktą: kai turite dvi ar daugiau lygčių, galite paimti bet kurias dvi iš jų ir pridėti jas viena prie kitos. Jie pridedami po nariu, t.y. „X“ pridedami prie „X“ ir pateikiami panašūs, „Y“ su „Y“ vėl panašūs, o kas yra dešinėje nuo lygybės ženklo, taip pat pridedama vienas prie kito, taip pat pateikiami panašūs. .

Tokių machinacijų rezultatai bus nauja lygtis, kuri, jei ji turi šaknis, tikrai bus tarp pradinės lygties šaknų. Todėl mūsų užduotis yra atimti arba sudėti taip, kad išnyktų $x$ arba $y$.

Kaip tai pasiekti ir kokį įrankį tam naudoti - apie tai kalbėsime dabar.

Lengvų problemų sprendimas naudojant papildymą

Taigi, mes mokomės naudoti pridėjimo metodą naudodami dviejų paprastų posakių pavyzdį.

Užduotis Nr.1

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Atkreipkite dėmesį, kad $y$ pirmoje lygtyje yra $-4$, o antrojoje - $+4$. Jie yra tarpusavyje priešingi, todėl logiška manyti, kad jei juos sudėsime, tada gautoje sumoje „žaidimai“ bus sunaikinti. Pridėkite ir gaukite:

Išspręskime paprasčiausią konstrukciją:

Puiku, radome „x“. Ką turėtume su juo daryti dabar? Mes turime teisę jį pakeisti bet kuria lygtimi. Pakeiskime pirmąją:

\[-4y=12\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

Atsakymas: $\left(2;-3 \right)$.

2 problema

\[\left\( \begin (lygiuoti)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Čia situacija visiškai panaši, tik su „X“. Sudėkime juos:

Turime paprasčiausią tiesinę lygtį, išspręskime ją:

Dabar suraskime $x$:

Atsakymas: $\left(-3;3 \right)$.

Svarbūs punktai

Taigi, mes ką tik išsprendėme dvi paprastas tiesinių lygčių sistemas, naudodami sudėjimo metodą. Vėlgi pagrindiniai punktai:

1. Jei vienam iš kintamųjų yra priešingi koeficientai, tuomet reikia pridėti visus lygties kintamuosius. Tokiu atveju vienas iš jų bus sunaikintas.
2. Rastą kintamąjį pakeičiame į bet kurią sistemos lygtį, kad rastume antrąją.
3. Galutinis atsakymo įrašas gali būti pateiktas įvairiais būdais. Pavyzdžiui, kaip šis - $x=...,y=...$, arba taškų koordinačių pavidalu - $\left(...;... \right)$. Pageidautina antrasis variantas. Svarbiausia atsiminti, kad pirmoji koordinatė yra $x$, o antroji yra $y$.
4. Atsakymo rašymo taško koordinačių forma taisyklė ne visada galioja. Pavyzdžiui, jo negalima naudoti, kai kintamieji yra ne $x$ ir $y$, o, pavyzdžiui, $a$ ir $b$.

Tolesniuose uždaviniuose nagrinėsime atimties techniką, kai koeficientai nėra priešingi.

Lengvų uždavinių sprendimas naudojant atimties metodą

Užduotis Nr.1

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Atkreipkite dėmesį, kad čia nėra priešingų koeficientų, tačiau yra identiškų. Todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją:

Dabar mes pakeisime reikšmę $x$ į bet kurią sistemos lygtį. Eikime pirma:

Atsakymas: $\left(2;5\right)$.

2 problema

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Pirmoje ir antroje lygtyse vėl matome tą patį $5$ koeficientą $x$. Todėl logiška manyti, kad iš pirmosios lygties reikia atimti antrąją:

Mes apskaičiavome vieną kintamąjį. Dabar suraskime antrąjį, pavyzdžiui, pakeisdami reikšmę $y$ į antrąją konstrukciją:

Atsakymas: $\left(-3;-2 \right)$.

Sprendimo niuansai

Taigi ką mes matome? Iš esmės schema niekuo nesiskiria nuo ankstesnių sistemų sprendimo. Skirtumas tik tas, kad lygtis nesudedame, o jas atimame. Mes atliekame algebrinę atimtį.

Kitaip tariant, kai tik pamatysite sistemą, susidedančią iš dviejų lygčių dviejuose nežinomuose, pirmiausia turite pažvelgti į koeficientus. Jei jos bet kur vienodos, lygtys atimamos, o jei priešingos, naudojamas sudėjimo metodas. Visada daroma taip, kad vienas iš jų išnyktų, o galutinėje lygtyje, kuri lieka atėmus, lieka tik vienas kintamasis.

Žinoma, tai dar ne viskas. Dabar apsvarstysime sistemas, kuriose lygtys paprastai yra nenuoseklios. Tie. Juose nėra nei vienodų, nei priešingų kintamųjų. Šiuo atveju tokioms sistemoms išspręsti naudojama papildoma technika, ty kiekvienos lygties padauginimas iš specialaus koeficiento. Kaip tai rasti ir kaip apskritai išspręsti tokias sistemas, apie tai kalbėsime dabar.

Užduočių sprendimas dauginant iš koeficiento

1 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Matome, kad nei $x$, nei $y$ koeficientai ne tik yra priešingi, bet ir niekaip nesusiję su kita lygtimi. Šie koeficientai niekaip neišnyks, net jei lygtis vieną iš kitos pridėsime ar atimsime. Todėl būtina taikyti dauginimą. Pabandykime atsikratyti $y$ kintamojo. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį padauginame iš $y$ koeficiento iš antrosios lygties, o antrąją – iš $y$ koeficiento iš pirmosios lygties, neliesdami ženklo. Padauginame ir gauname naują sistemą:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Pažiūrėkime: ties $y$ koeficientai yra priešingi. Esant tokiai situacijai, būtina naudoti papildymo metodą. Pridurkime:

Dabar turime rasti $y$. Norėdami tai padaryti, pirmoje išraiškoje pakeiskite $x$:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Atsakymas: $\left(4;-2 \right)$.

2 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Vėlgi, nė vieno kintamojo koeficientai nėra nuoseklūs. Padauginkime iš $y$ koeficientų:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(lygiuoti) \dešinė .\]

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Mūsų nauja sistema yra lygiavertis ankstesniam, tačiau $y$ koeficientai yra priešingi, todėl čia lengva pritaikyti pridėjimo metodą:

Dabar suraskime $y$ pirmoje lygtyje pakeisdami $x$:

Atsakymas: $\left(-2;1 \right)$.

Sprendimo niuansai

Pagrindinė taisyklė čia yra tokia: mes visada dauginame tik iš teigiamų skaičių - tai išgelbės jus nuo kvailų ir įžeidžiančių klaidų, susijusių su ženklų pasikeitimu. Apskritai sprendimo schema yra gana paprasta:

1. Mes žiūrime į sistemą ir analizuojame kiekvieną lygtį.
2. Jeigu matysime, kad nei $y$, nei $x$ koeficientai nėra nuoseklūs, t.y. jie nėra nei lygūs, nei priešingi, tada darome taip: pasirenkame kintamąjį, kurio turime atsikratyti, ir tada žiūrime į šių lygčių koeficientus. Jei pirmąją lygtį padauginsime iš koeficiento iš antrosios, o antrąją atitinkamai padauginsime iš koeficiento iš pirmosios, tada galų gale gausime sistemą, kuri yra visiškai lygiavertė ankstesnei, ir koeficientus $ y$ bus nuoseklus. Visi mūsų veiksmai ar transformacijos yra nukreiptos tik į vieną kintamąjį vienoje lygtyje.
3. Randame vieną kintamąjį.
4. Rastą kintamąjį pakeičiame viena iš dviejų sistemos lygčių ir randame antrąją.
5. Atsakymą rašome taškų koordinačių forma, jei turime kintamuosius $x$ ir $y$.

Tačiau net toks paprastas algoritmas turi savų subtilybių, pavyzdžiui, $x$ arba $y$ koeficientai gali būti trupmenos ir kiti „bjaurūs“ skaičiai. Šiuos atvejus dabar nagrinėsime atskirai, nes juose galite elgtis kiek kitaip nei pagal standartinį algoritmą.

Užduočių su trupmenomis sprendimas

1 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad antroje lygtyje yra trupmenos. Tačiau atminkite, kad 4 USD galite padalyti iš 0,8 USD. Gausime 5 USD. Padauginkime antrąją lygtį iš $5$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Vieną iš kitos atimame lygtis:

Radome $n$, dabar suskaičiuokime $m$:

Atsakymas: $n=-4;m=5$

2 pavyzdys

' teisingai.\]

Čia, kaip ir ankstesnėje sistemoje, yra trupmeniniai koeficientai, tačiau nė vieno kintamojo koeficientai netelpa vienas į kitą sveikąjį skaičių kartų. Todėl mes naudojame standartinį algoritmą. Atsikratykite $p$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Mes naudojame atimties metodą:

Raskime $p$ pakeisdami $k$ į antrąją konstrukciją:

Atsakymas: $p=-4;k=-2$.

Sprendimo niuansai

Tai viskas optimizavimas. Pirmoje lygtyje iš viso nedauginome iš nieko, o antrąją lygtį padauginome iš $5$. Dėl to mes gavome nuoseklią ir net identišką pirmojo kintamojo lygtį. Antroje sistemoje laikėmės standartinio algoritmo.

Bet kaip rasti skaičius, iš kurių padauginti lygtis? Juk padauginus iš trupmenų gauname naujų trupmenų. Todėl trupmenas reikia padauginti iš skaičiaus, kuris duotų naują sveikąjį skaičių, o po to kintamuosius reikia padauginti iš koeficientų, vadovaujantis standartiniu algoritmu.

Baigdamas norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į atsakymo įrašymo formatą. Kaip jau sakiau, kadangi čia turime ne $x$ ir $y$, o kitas reikšmes, naudojame nestandartinį formos žymėjimą:

Sudėtingų lygčių sistemų sprendimas

Kaip paskutinė pastaba apie šiandienos vaizdo įrašą, pažvelkime į keletą tikrai sudėtingų sistemų. Jų sudėtingumas bus tas, kad jie turės kintamuosius ir kairėje, ir dešinėje. Todėl norėdami juos išspręsti, turėsime taikyti išankstinį apdorojimą.

Sistema Nr.1

\[\left\(\begin(lygiuoti)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Kiekviena lygtis turi tam tikrą sudėtingumą. Todėl kiekvieną išraišką traktuokime kaip su įprasta tiesine konstrukcija.

Iš viso gauname galutinę sistemą, kuri yra lygiavertė pradinei:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Pažiūrėkime į $y$ koeficientus: $3$ du kartus telpa į $6$, todėl pirmąją lygtį padauginkime iš $2$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

$y$ koeficientai dabar yra lygūs, todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją: $$

Dabar suraskime $y$:

Atsakymas: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema Nr.2

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(lygiuoti) \right.\]

Paverskime pirmąją išraišką:

Panagrinėkime antrąjį:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Iš viso mūsų pradinė sistema bus tokia:

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Žvelgdami į $a$ koeficientus matome, kad pirmąją lygtį reikia padauginti iš $2$:

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Iš pirmosios konstrukcijos atimkite antrąją:

Dabar suraskime $a$:

Atsakymas: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Tai viskas. Tikiuosi, kad šis vaizdo įrašas padės suprasti šią sudėtingą temą, būtent paprastų tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Ateityje bus daug daugiau pamokų šia tema: pažvelgsime į sudėtingesnius pavyzdžius, kur bus daugiau kintamųjų, o pačios lygtys bus netiesinės. Iki pasimatymo!