Pravila za rješavanje matrica. Riješite problem matrice sami, a zatim pogledajte rješenje. Svojstvene vrijednosti matrice i svojstveni vektori matrice
Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 \u003d E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Dodjela usluge. Koristeći ovu uslugu na mreži, možete pronaći algebarske adicije, transponiranu matricu A T, unijsku matricu i inverznu matricu. Rješenje se provodi izravno na stranici (online) i besplatno je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word formatu iu Excel formatu (odnosno moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Uputa. Da biste dobili rješenje, morate odrediti dimenziju matrice. Zatim u novom dijaloškom okviru ispunite matricu A .
Vidi također Inverzna matrica po Jordan-Gauss metodi
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Nalaženje transponirane matrice A T .
- Definicija algebarskih adicija. Svaki element matrice zamijenite njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih dodavanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Odredite je li matrica kvadratna. Ako nije, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A . Ako to ne učini nula, nastavljamo rješenje, inače - inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih adicija.
- Popunjavanje unijske (međusobne, adjungirane) matrice C .
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element adjungirane matrice C podijeli se s determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Napravite provjeru: pomnožite izvornu i dobivenu matricu. Rezultat bi trebala biti matrica identiteta.
Primjer #1. Matricu pišemo u obliku:
Algebarski dodaci.
A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Zatim inverzna matrica može se napisati kao:
A -1 = 1/10 |
|
A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Predstavljamo drugu shemu za pronalaženje inverzne matrice.- Odredite determinantu zadane kvadratne matrice A .
- Svim elementima matrice A nalazimo algebarske dodatke.
- Algebarske komplemente elemenata redaka upisujemo u stupce (transpozicija).
- Svaki element dobivene matrice podijelimo s determinantom matrice A .
Poseban slučaj: Inverz, u odnosu na matricu identiteta E, je matrica identiteta E .
S obzirom Alati pomoći će vam da naučite kako matrične operacije: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverza matrice. Sav materijal predstavljen je u jednostavnom i pristupačnom obliku, dani su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi akcije s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.
Pokušat ću minimizirati teorijske izračune, ponegdje su moguća objašnjenja "na prste" i korištenje neznanstvenih pojmova. Ljubitelji čvrste teorije, molimo da se ne upuštate u kritiku, naša je zadaća naučiti kako raditi s matricama.
Za SUPER BRZU pripremu na temu (tko "pali") postoji intenzivni pdf-tečaj Matrica, determinanta i ofset!
Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. Kao elementi razmatrat ćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Poželjno je zapamtiti pojam, često će se javljati, nisam ga slučajno podebljao.
Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima
Primjer: Razmotrite matricu dva puta tri:
Ova se matrica sastoji od šest elementi:
Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora ni o kakvom oduzimanju:
To je samo tablica (skup) brojeva!
Također ćemo se složiti nemojte preuređivati broj, osim ako nije drugačije navedeno u obrazloženju. Svaki broj ima svoje mjesto i ne možete ih miješati!
Predmetna matrica ima dva reda:
i tri stupca:
STANDARD: kada govorimo o dimenzijama matrice, onda prvi navedite broj redaka, a tek onda - broj stupaca. Upravo smo raščlanili matricu dva po tri.
Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, na primjer: je matrica tri puta tri.
Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se i takve matrice nazivaju vektori.
Zapravo, koncept matrice znamo još od škole, razmotrite, na primjer, točku s koordinatama "x" i "y": . U biti, koordinate točke zapisuju se u matricu jedan po dva. Usput, evo vam primjera zašto je bitan redoslijed brojeva: i su dvije potpuno različite točke ravnine.
Sada prijeđimo na studiju. matrične operacije:
1) Radnja jedan. Uklanjanje minusa iz matrice (Uvođenje minusa u matricu).
Povratak na našu matricu . Kao što ste vjerojatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno u smislu izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je napisati toliko minusa, a samo izgleda ružno u dizajnu.
Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:
Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja, nula - također je nula u Africi.
Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.
Minus u matricu unosimo mijenjanjem predznaka SVAKOM elementu matrice:
Pa puno je ljepše. I što je najvažnije, bit će LAKŠE izvoditi bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takva matematika narodni predznak: što više minusa - to više zabune i grešaka.
2) Radnja dva. Množenje matrice brojem.
Primjer:
Jednostavno je, da biste pomnožili matricu s brojem, trebate svaki pomnožite element matrice zadanim brojem. U ovom slučaju tri.
Još jedan koristan primjer:
– množenje matrice razlomkom
Prvo pogledajmo što učiniti NEMA POTREBE:
U matricu NIJE POTREBNO unositi razlomak, prvo samo otežava daljnje radnje s matricom, a drugo učitelju otežava provjeru rješenja (pogotovo ako - konačni odgovor zadatka).
I pogotovo, NEMA POTREBE svaki element matrice podijelite s minus sedam:
Iz članka Matematika za glupane ili odakle početi Sjećamo se da se decimalni razlomci sa zarezom u višoj matematici na sve moguće načine pokušavaju izbjeći.
Jedina stvar poželjan u ovom primjeru treba umetnuti minus u matricu:
Ali ako SVI elementi matrice su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.
Primjer:
U ovom slučaju možete POTREBA pomnožite sve elemente matrice s jer su svi brojevi u matrici djeljivi s 2 bez traga.
Napomena: u teoriji viša matematika ne postoji školski koncept "podjele". Umjesto fraze "ovo je podijeljeno s ovim", uvijek možete reći "ovo je pomnoženo s razlomkom." Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.
3) Radnja tri. Transpozicija matrice.
Da biste transponirali matricu, trebate napisati njezine retke u stupce transponirane matrice.
Primjer:
Transponirajte matricu
Ovdje postoji samo jedan redak i prema pravilu mora biti napisan u stupcu:
je transponirana matrica.
Transponirana matrica obično se označava superskriptom ili crtom u gornjem desnom kutu.
Primjer korak po korak:
Transponirajte matricu
Prvo, prepisujemo prvi redak u prvi stupac:
Zatim prepisujemo drugi redak u drugi stupac:
I na kraju, prepisujemo treći redak u treći stupac:
Spreman. Grubo rečeno, transponirati znači okrenuti matricu na stranu.
4) Radnja četiri. Zbroj (razlika) matrica.
Zbroj matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SASVITI. Za zbrajanje (oduzimanje) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.
Na primjer, ako je dana matrica dva puta dva, tada se može dodati samo matrici dva puta dva i nijednom drugom!
Primjer:
Dodajte matrice i
Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:
Za razliku matrica, pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.
Primjer:
Nađi razliku matrica ,
Kako odlučiti dati primjer lakše izbjeći zabunu? Preporučljivo je riješiti se nepotrebnih minusa, za to ćemo dodati minus u matricu:
Napomena: u teoriji više matematike ne postoji školski koncept "oduzimanja". Umjesto izraza "oduzmi ovo od ovoga", uvijek možeš reći "dodaj negativan broj ovome". Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj zbrajanja.
5) Radnja pet. Množenje matrice.
Koje se matrice mogu množiti?
Da bi se matrica pomnožila matricom, tako da je broj stupaca matrice jednak broju redaka matrice.
Primjer:
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?
Dakle, možete množiti podatke matrice.
Ali ako se matrice preslože, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!
Stoga je množenje nemoguće:
Nisu rijetki zadaci s trikom, kada se od učenika traži množenje matrica čije je množenje očito nemoguće.
Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množenje matrica na oba načina.
Na primjer, za matrice, a moguće je i množenje i množenje
Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda
Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.
Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prolaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:
inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice koje imaju isti broj redaka i stupaca.
Teorem o uvjetu postojanja inverzne matrice
Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nedegenerirana.
Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran ako su vektori stupci linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i desno (na mjesto desnih dijelova jednadžbi) dodijelite joj matricu E.
- Koristeći Jordanove transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
- Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da se dobije matrica identiteta E ispod matrice A izvorne tablice.
- Napišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.
Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1
Rješenje: Zapisujemo matricu A i desno pridružujemo matricu identiteta E. Pomoću Jordanovih transformacija reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su prikazani u tablici 31.1.
Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.
Kao rezultat množenja matrica dobiva se matrica identiteta. Dakle, izračuni su točni.
Odgovor:
Rješenje matričnih jednadžbi
Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:
AX = B, XA = B, AXB = C,
gdje su A, B, C zadane matrice, X je željena matrica.
Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.
Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, trebate pomnožiti ovu jednadžbu s s lijeve strane.
Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.
Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.
Primjer 2Riješite jednadžbu AX = B ako
Riješenje: Budući da je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)
Matrična metoda u ekonomskoj analizi
Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve metode koriste se za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno usporediti funkcioniranje organizacija i njihovih strukturnih odjela.
U procesu primjene matričnih metoda analize može se razlikovati nekoliko faza.
U prvoj fazi provodi se formiranje sustava ekonomskih pokazatelja i na temelju njega sastavlja se matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su brojevi sustava prikazani u njegovim pojedinačnim recima (i = 1,2,....,n), a duž okomitih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).
U drugoj fazi za svaki okomiti stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti pokazatelja, koja se uzima kao jedinica.
Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najveća vrijednost te se formira matrica standardiziranih koeficijenata.
U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje vještak.
Na posljednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupirani prema rastućem ili opadajućem redoslijedu.
Gore navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, kada komparativna analiza razne investicijski projekti, kao i u procjeni drugih ekonomskih pokazatelja uspješnosti organizacija.
DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA
Veličina matrice m× n naziva se ukupnost m n brojevi raspoređeni u pravokutnu tablicu od m linije i n stupci. Ova se tablica obično nalazi u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:
Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, ALI ili NA.
Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako
.
Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice. Prikladno je opskrbiti elemente matrice s dva indeksa aij: Prvi označava broj retka, a drugi označava broj stupca. Na primjer, a 23– element se nalazi u 2. redu, 3. stupcu.
Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica - njen redoslijed je 1.
Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima, ovo je prva matrica i treća.
Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jedan stupac.
Poziva se matrica sa samo jednim retkom matrica – redak(ili niz), i matricu koja ima samo jedan stupac, matrica – stupac.
Matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli naziva se ništavan i označava se s (0), ili jednostavno 0. Na primjer,
.
glavna dijagonala Kvadratna matrica je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.
Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.
.
Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.
Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedinici singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .
DJELOVANJA NA MATRICAMA
Jednakost matrice. Dvije matrice A i B kaže se da su jednaki ako imaju isti broj redaka i stupaca i ako su im odgovarajući elementi jednaki aij = b ij. Pa ako i , onda A=B, ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 i a 22 = b 22.
transpozicija. Promotrimo proizvoljnu matricu A iz m linije i n stupci. Može se povezati sa sljedećom matricom B iz n linije i m stupaca, gdje je svaki redak stupac matrice A s istim brojem (stoga je svaki stupac redak matrice A s istim brojem). Pa ako , onda .
Ova matrica B nazvao transponirano matrica A, i prijelaz iz A do B transpozicija.
Dakle, transpozicija je zamjena uloga redaka i stupaca matrice. Matrica transponirana u matricu A, obično označeno A T.
Komunikacija između matrice A a transponirano se može napisati kao .
Na primjer. Nađi matricu transponiranu na zadanu.
Zbrajanje matrice. Neka matrice A i B sastoje se od istog broja redaka i istog broja stupaca, tj. imati iste veličine. Zatim kako bismo dodali matrice A i B potrebno matrica elemenata A dodati elemente matrice B stojeći na istim mjestima. Dakle, zbroj dviju matrica A i B naziva matrica C, što je određeno pravilom, npr.
Primjeri. Nađi zbroj matrica:
Lako je provjeriti da zbrajanje matrica poštuje sljedeće zakone: komutativno A+B=B+A i asocijativne ( A+B)+C=A+(B+C).
Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k treba svaki element matrice A pomnožite s tim brojem. Dakle, proizvod matrice A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .
Za bilo koji broj a i b i matrice A i B ispunjene su jednakosti:
Primjeri.
Množenje matrice. Ova se operacija odvija prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine faktora matrice moraju biti dosljedne. Možete množiti samo one matrice čiji broj stupaca prve matrice odgovara broju redaka druge matrice (tj. duljina prvog retka jednaka je visini drugog stupca). raditi matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:
Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element u 1. retku i 3. stupcu od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente retka s odgovarajućim elementima stupca i zbrojiti dobivene umnoške. I ostali elementi matrice umnoška dobivaju se korištenjem sličnog umnoška redaka prve matrice sa stupcima druge matrice.
Općenito, ako pomnožimo matricu A = (aij) veličina m× n matrica B = (bij) veličina n× str, tada dobivamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij se dobiva kao rezultat produkta elemenata ja redak matrice A na relevantnim elementima j-ti stupac matrice B i njihovo zbrajanje.
Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, kao rezultat dobivamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica uvijek se može pomnožiti sama sa sobom, tj. ugladiti se.
Drugi važan slučaj je množenje retka matrice sa stupcem matrice, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, kao rezultat dobivamo matricu prvog reda (tj. jedan element). Stvarno,
.
Primjeri.
Dakle, ove jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.
Može se provjeriti da množenje matrice slijedi asocijativni i distributivni zakon, tj. (AB)C=A(BC) i (A+B)C=AC+BC.
To je također lako provjeriti kod množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda, opet dobivamo matricu A, štoviše AE=EA=A.
Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što je poznato, umnožak 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to ne mora biti slučaj, tj. umnožak 2 različite matrice može biti jednak nultoj matrici.
Na primjer, ako , onda
.
POJAM DETERMINACIJA
Neka je dana matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva retka i dva stupca .
Odrednica drugog reda koji odgovara ovoj matrici je broj dobiven na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.
Odrednica je označena simbolom .
Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, trebate oduzeti umnožak elemenata duž druge dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale.
Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.
Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i odgovarajuću determinantu.
Odrednica trećeg reda, koji odgovara danoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:
.
Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 te svodi izračun determinante trećeg reda na izračun determinanti drugog reda.
Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.
Slično se mogu uvesti pojmovi odrednica četvrtog, petog itd. reda, snižavajući njihov poredak širenjem preko elemenata 1. reda, dok se znakovi "+" i "-" za pojmove izmjenjuju.
Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.
- Koji proizvodi od meda. Pčelarski proizvodi. Matična mliječ, pčelinji vosak, pčelinji polen. Snaga prirode na čuvanju zdravlja
- Što zapravo znači ako muškarac kaže da mu je dosadno?
- Online proricanje sudbine na talogu kave s tumačenjem znakova Gatanje o želji na talogu kave
- Sofija Kalčeva - o Nikolaju Baškovu: Obukao me u mini, a sad sam gorjela od srama Sofija Kalčeva