Nužni i dovoljni uvjeti za ekstrem funkcije dviju varijabli. Točka se naziva točkom minimuma (maksimuma) funkcije ako je u nekoj okolini točke funkcija definirana i zadovoljava nejednakost (točka maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije.

Nužan uvjet za ekstrem. Ako u točki ekstrema funkcija ima prve parcijalne derivacije, one u toj točki nestaju. Slijedi da za pronalaženje točaka ekstrema takve funkcije treba riješiti sustav jednadžbi.Točke čije koordinate zadovoljavaju ovaj sustav nazivamo kritičnim točkama funkcije. Među njima mogu biti maksimalne točke, minimalne točke, kao i točke koje nisu točke ekstrema.

Uvjeti dostatnog ekstrema koriste se za odabir ekstremnih točaka iz skupa kritičnih točaka i navedeni su u nastavku.

Neka funkcija ima kontinuiranu drugu parcijalnu derivaciju u kritičnoj točki. Ako u ovom trenutku,

uvjetu, tada je to minimalna točka na i maksimalna točka na. Ako je na kritičnoj točki, onda to nije ekstremna točka. U tom je slučaju potrebno suptilnije proučavanje prirode kritične točke, koja u ovom slučaju može, ali i ne mora biti točka ekstrema.

Ekstremi funkcija triju varijabli. U slučaju funkcije triju varijabli, definicije točaka ekstrema doslovce ponavljaju odgovarajuće definicije za funkciju dviju varijabli. Ograničavamo se na predstavljanje postupka za proučavanje funkcije za ekstrem. Rješavanjem sustava jednadžbi treba pronaći kritične točke funkcije, a zatim u svakoj od kritičnih točaka izračunati veličine

Ako su sve tri veličine pozitivne, tada je kritična točka koja se razmatra minimalna točka; ako je tada dana kritična točka maksimalna točka.

Uvjetni ekstrem funkcije dviju varijabli. Točka se naziva uvjetna minimalna (maksimalna) točka funkcije, pod uvjetom da postoji okolina točke u kojoj je funkcija definirana i u kojoj (odnosno) za sve točke čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu

Za pronalaženje uvjetnih točaka ekstrema upotrijebite Lagrangeovu funkciju

gdje se broj naziva Lagrangeov množitelj. Rješavanje sustava triju jednadžbi

pronaći kritične točke Lagrangeove funkcije (kao i vrijednost pomoćnog faktora A). Na tim kritičnim točkama može postojati uvjetni ekstrem. Gornji sustav daje samo potrebne uvjete za ekstrem, ali ne i dovoljne: njega mogu zadovoljiti koordinate točaka koje nisu točke uvjetnog ekstremuma. No, polazeći od suštine problema često je moguće utvrditi prirodu kritične točke.

Uvjetni ekstrem funkcije više varijabli. Razmotrimo funkciju varijabli pod uvjetom da su one povezane jednadžbama

Ekstremi funkcija više varijabli. Nužan uvjet za ekstrem. Dovoljan uvjet za ekstrem. Uvjetni ekstrem. Metoda Lagrangeovih množitelja. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Predavanje 5

Definicija 5.1. Točka M 0 (x 0, y 0) nazvao maksimalna točka funkcije z = f(x, y), ako f (x o , y o) > f(x, y) za sve točke (x, y) M 0.

Definicija 5.2. Točka M 0 (x 0, y 0) nazvao minimalna točka funkcije z = f(x, y), ako f (x o , y o) < f(x, y) za sve točke (x, y) iz nekog susjedstva točke M 0.

Napomena 1. Pozivaju se maksimalne i minimalne točke ekstremne točke funkcije više varijabli.

Opaska 2. Točka ekstrema za funkciju bilo kojeg broja varijabli definirana je na sličan način.

Teorem 5.1(potrebni ekstremni uvjeti). Ako a M 0 (x 0, y 0) je ekstremna točka funkcije z = f(x, y), tada su u ovom trenutku parcijalne derivacije prvog reda ove funkcije jednake nuli ili ne postoje.

Dokaz.

Popravimo vrijednost varijable na brojanje y = y 0. Zatim funkcija f(x, y0) bit će funkcija jedne varijable x, za koji x = x 0 je ekstremna točka. Prema tome, po Fermatovom teoremu ili ne postoji. Ista tvrdnja je dokazana za .

Definicija 5.3. Točke koje pripadaju domeni funkcije više varijabli, u kojima su parcijalne derivacije funkcije jednake nuli ili ne postoje, nazivaju se stacionarne točke ovu funkciju.

Komentar. Dakle, ekstrem se može postići samo u stacionarnim točkama, ali se ne mora nužno promatrati u svakoj od njih.

Teorem 5.2(dovoljni uvjeti za ekstrem). Neka u nekoj blizini točke M 0 (x 0, y 0), koja je stacionarna točka funkcije z = f(x, y), ova funkcija ima kontinuirane parcijalne derivacije do uključivo 3. reda. Zatim označite:

1) f(x, y) ima u točki M 0 maksimalno ako AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ima u točki M 0 minimum ako AC-B² > 0, A > 0;

3) u kritičnoj točki nema ekstrema ako AC-B² < 0;

4) ako AC-B² = 0, potrebno je dodatno istraživanje.

Dokaz.

Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju f(x, y), imajući na umu da su u stacionarnoj točki parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli:

gdje Ako je kut između segmenta M 0 M, gdje M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ na), i O os x označavaju φ, zatim Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. U ovom slučaju, Taylorova formula će imati oblik: . Neka Tada možemo podijeliti i pomnožiti izraz u zagradama sa ALI. Dobivamo:

Razmotrite sada četiri moguća slučaja:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и za dovoljno male Δρ. Stoga, u nekom susjedstvu M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), to je M 0 je najveća točka.

2) Neka AC-B² > 0, A > 0. Zatim , i M 0 je minimalna točka.

3) Neka AC-B² < 0, A> 0. Promotrimo prirast argumenata duž zrake φ = 0. Tada iz (5.1) slijedi da , odnosno kada se kreće duž ove zrake, funkcija raste. Krećemo li se duž zrake tako da tg φ 0 \u003d -A / B, zatim , dakle, kada se kreće duž ove zrake, funkcija opada. Dakle poanta M 0 nije ekstremna točka.

3`) Kada AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

sličan prethodnom.

3``) Ako AC-B² < 0, A= 0, tada . pri čemu . Zatim, za dovoljno mali φ, izraz 2 B cos + C sinφ blizu 2 NA, odnosno zadržava konstantan predznak, a sinφ mijenja predznak u blizini točke M 0 . To znači da prirast funkcije mijenja predznak u blizini stacionarne točke, koja dakle nije točka ekstrema.

4) Ako AC-B² = 0, i , , odnosno predznak prirasta određen je predznakom 2α 0 . U isto vrijeme, potrebna su daljnja istraživanja kako bi se razjasnilo pitanje postojanja ekstrema.

Primjer. Nađimo točke ekstrema funkcije z=x² - 2 xy + 2g² + 2 x. Za traženje stacionarnih točaka rješavamo sustav . Dakle, stacionarna točka je (-2,-1). pri čemu A = 2, NA = -2, IZ= 4. Zatim AC-B² = 4 > 0, stoga se u stacionarnoj točki postiže ekstrem, odnosno minimum (jer A > 0).

Definicija 5.4. Ako argumenti funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) vezan dodatnim uvjetima u obrascu m jednadžbe ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdje funkcije φ i imaju kontinuirane parcijalne derivacije, tada se jednadžbe (5.2) nazivaju jednadžbe veze.

Definicija 5.5. Ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) pod uvjetima (5.2) zove se uvjetni ekstrem.

Komentar. Možemo ponuditi sljedeću geometrijsku interpretaciju uvjetnog ekstremuma funkcije dviju varijabli: neka su argumenti funkcije f(x,y) povezani su jednadžbom φ (x, y)= 0, definirajući neku krivulju u ravnini O hu. Vrativši iz svake točke ove krivulje okomice na ravninu O hu prije prelaska površine z = f (x, y), dobivamo prostornu krivulju koja leži na površini iznad krivulje φ (x, y)= 0. Problem je pronaći točke ekstrema dobivene krivulje koje se, naravno, u općem slučaju ne poklapaju s bezuvjetnim točkama ekstrema funkcije f(x,y).

Definirajmo potrebne uvjetne uvjete ekstremuma za funkciju dviju varijabli uvođenjem sljedeće definicije unaprijed:

Definicija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

gdje λ i - neke konstante, tzv Lagrangeova funkcija, i brojevi λi– neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Teorem 5.3(nužni uvjetni uvjeti ekstrema). Uvjetni ekstrem funkcije z = f(x, y) u prisutnosti jednadžbe ograničenja φ ( x, y)= 0 može se postići samo u stacionarnim točkama Lagrangeove funkcije L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dokaz. Jednadžba ograničenja definira implicitnu ovisnost na iz x, pa ćemo to pretpostaviti na postoji funkcija iz x: y = y(x). Zatim z postoji složena funkcija x, a njegove kritične točke određene su uvjetom: . (5.4) Iz jednadžbe ograničenja slijedi da . (5.5)

Jednakost (5.5) pomnožimo s nekim brojem λ i pribrojimo je (5.4). Dobivamo:

, ili .

Posljednja jednakost mora vrijediti u stacionarnim točkama, iz čega slijedi:

(5.6)

Dobije se sustav od tri jednadžbe za tri nepoznanice: x, y i λ, pri čemu su prve dvije jednadžbe uvjeti za stacionarnu točku Lagrangeove funkcije. Eliminirajući pomoćnu nepoznanicu λ iz sustava (5.6), nalazimo koordinate točaka u kojima izvorna funkcija može imati uvjetni ekstrem.

Napomena 1. Prisutnost uvjetnog ekstremuma u pronađenoj točki može se provjeriti proučavanjem parcijalnih derivacija drugog reda Lagrangeove funkcije po analogiji s teoremom 5.2.

Napomena 2. Točke u kojima se može postići uvjetni ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) pod uvjetima (5.2), mogu se definirati kao rješenja sustava (5.7)

Primjer. Odredite uvjetni ekstrem funkcije z = xy pod uvjetom x + y= 1. Sastavite Lagrangeovu funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – jedan). Sustav (5.6) tada izgleda ovako:

Odatle -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. pri čemu L (x, y) može se predstaviti kao L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, dakle, u pronađenoj stacionarnoj točki L (x, y) ima maksimum i z = xy - uvjetni maksimum.

Uvjetni ekstrem.

Ekstremi funkcije više varijabli

Metoda najmanjeg kvadrata.

Lokalni ekstrem FNP

Neka funkcija i= f(P), RÎDÌR n i neka je točka R 0 ( a 1 , a 2 , ..., a str) –unutarnje točka skupa D.

Definicija 9.4.

1) Točka P 0 je tzv maksimalna točka funkcije i= f(P) ako postoji okolina te točke U(P 0) Ì D takva da za bilo koju točku P( x 1 , x 2 , ..., x n)n U(P 0) , R¹R 0 , uvjet f(P) £ f(P0) . Značenje f(P 0) funkcije u točki maksimuma naziva se maksimalna funkcija i označeno f(P 0) = maks f(P) .

2) Točka P 0 je tzv minimalna točka funkcije i= f(P) ako postoji okolina te točke U(P 0)Ì D takva da za bilo koju točku P( x 1 , x 2 , ..., x n)nU(P 0), R¹R 0 , uvjet f(P)³ f(P0) . Značenje f(P 0) funkcije u točki minimuma naziva se minimum funkcije i označeno f(P 0) = min f(P).

Točke minimuma i maksimuma funkcije nazivaju se ekstremne točke, nazivaju se vrijednosti funkcije u točkama ekstrema ekstremi funkcije.

Kao što slijedi iz definicije, nejednakosti f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) mora se izvršiti samo u određenoj okolini točke R 0, a ne u cijeloj domeni funkcije, što znači da funkcija može imati više ekstrema istog tipa (više minimuma, više maksimuma). Stoga se gore definirani ekstremi nazivaju lokalni(lokalni) ekstremi.

Teorem 9.1. (nužan uvjet za ekstrem FNP)

Ako funkcija i= f(x 1 , x 2 , ..., x n) ima ekstrem u točki P 0 , tada su njegove parcijalne derivacije prvog reda u ovoj točki ili jednake nuli ili ne postoje.

Dokaz. Neka je u točki R 0 ( a 1 , a 2 , ..., a str) funkcija i= f(P) ima ekstrem, kao što je maksimum. Popravimo argumente x 2 , ..., x n, stavljanje x 2 =a 2 ,..., x n = a str. Zatim i= f(P) = f 1 ((x 1 , a 2 , ..., a str) je funkcija jedne varijable x jedan . Pošto ova funkcija ima x 1 = a 1 ekstrem (maksimum), dakle f 1 ¢=0 ili ne postoji kada x 1 =a 1 (nužan uvjet za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable). Ali, tada ili ne postoji u točki P 0 - točki ekstrema. Slično, možemo razmotriti parcijalne derivacije u odnosu na druge varijable. CHTD.

Točke područja funkcije u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli ili ne postoje nazivaju se kritične točke ovu funkciju.

Kao što slijedi iz teorema 9.1, točke ekstrema FNP treba tražiti među kritičnim točkama funkcije. Ali, što se tiče funkcije jedne varijable, nije svaka kritična točka točka ekstrema.

Teorem 9.2

Neka je R 0 kritična točka funkcije i= f(P) i je diferencijal drugog reda ove funkcije. Zatim

što ako d 2 u(P 0) > 0 za , tada je R 0 točka minimum funkcije i= f(P);

b) ako d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funkcije i= f(P);

c) ako d 2 u(P 0) nije definiran predznakom, tada P 0 nije točka ekstrema;

Ovaj teorem smatramo bez dokaza.

Imajte na umu da teorem ne razmatra slučaj kada d 2 u(P 0) = 0 ili ne postoji. To znači da pitanje prisutnosti ekstrema u točki P 0 pod takvim uvjetima ostaje otvoreno - potrebna su dodatna istraživanja, na primjer, proučavanje prirasta funkcije u ovoj točki.

U detaljnijim matematičkim tečajevima dokazuje se da je, posebice, za funkciju z = f(x,g) dviju varijabli čiji je diferencijal drugog reda zbroj oblika

proučavanje prisutnosti ekstremuma u kritičnoj točki R 0 može se pojednostaviti.

Označavamo , , . Sastavi odrednicu

.

Ispada:

d 2 z> 0 u točki P 0 , tj. P 0 - minimalna točka, ako A(P 0) > 0 i D (P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ako je D(P 0)< 0, то d 2 z u blizini točke R 0 mijenja predznak i u točki R 0 nema ekstremuma;

ako je D(R 0) = 0, tada su također potrebna dodatna istraživanja funkcije u blizini kritične točke R 0.

Dakle, za funkciju z = f(x,g) dvije varijable, imamo sljedeći algoritam (nazovimo ga "algoritam D") za pronalaženje ekstremuma:

1) Nađi domenu definicije D( f) funkcije.

2) Pronađite kritične točke, tj. točke iz D( f) za koje su i jednaki nuli ili ne postoje.

3) U svakoj kritičnoj točki R 0 provjeriti dovoljne uvjete za ekstrem. Da biste to učinili, pronađite , gdje je , , i izračunajte D(R 0) i ALI(P 0). Zatim:

ako je D(R 0) >0, tada postoji ekstrem u točki R 0, štoviše, ako ALI(P 0) > 0 - onda je to minimum, a ako ALI(P 0)< 0 – максимум;

ako je D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ako je D(R 0) = 0, potrebna su dodatna istraživanja.

4) Izračunajte vrijednost funkcije u pronađenim točkama ekstrema.

Primjer1.

Pronađite ekstrem funkcije z = x 3 + 8g 3 – 3xy .

Riješenje. Domena ove funkcije je cijela koordinatna ravnina. Pronađimo kritične točke.

, , Þ R 0 (0,0) , .

Provjerimo ispunjenje dovoljnih ekstremnih uvjeta. Nađimo

6x, = -3, = 48na i = 288hu – 9.

Tada je D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 - postoji ekstrem u točki R 1, a budući da ALI(P 1) = 3 >0, tada je ovaj ekstrem minimum. Znači min z=z(P1) = .

Primjer 2

Pronađite ekstrem funkcije .

Rješenje: D( f) = R 2 . Kritične točke: ; ne postoji na na= 0, pa je P 0 (0,0) kritična točka ove funkcije.

2, = 0, = , = , ali D(R 0) nije definiran, pa je nemoguće proučavati njegov predznak.

Iz istog razloga, nemoguće je izravno primijeniti teorem 9.2 − d 2 z ne postoji u ovom trenutku.

Razmotrimo prirast funkcije f(x, g) u točki R 0 . Ako D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, tada je P 0 minimalna točka, ako je D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Imamo u našem slučaju

D f = f(x, g) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D g) – f(0, 0) = .

U D x= 0,1 i D g= -0,008 dobivamo D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 i D g= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tj. u blizini točke R 0 niti uvjet D f <0 (т.е. f(x, g) < f(0, 0) i stoga P 0 nije maksimalna točka), niti uvjet D f>0 (tj. f(x, g) > f(0, 0) i tada R 0 nije minimalna točka). Dakle, prema definiciji ekstrema, ova funkcija nema ekstrema.

Uvjetni ekstrem.

Razmatrani ekstrem funkcije naziva se bezuvjetno, budući da nema ograničenja (uvjeta) na argumente funkcije.

Definicija 9.2. Ekstrem funkcije i = f(x 1 , x 2 , ... , x n), pronađeno pod uvjetom da njegovi argumenti x 1 , x 2 , ... , x n zadovoljavaju jednadžbe j 1 ( x 1 , x 2 , ... , x n) = 0, …, j t(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0, gdje je P ( x 1 , x 2 , ... , x n) O D( f), Zove se uvjetni ekstrem .

Jednadžbe j k(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, se zovu jednadžbe veze.

Razmotrite funkcije z = f(x,g) dviju varijabli. Ako postoji samo jedna jednadžba ograničenja, tj. , tada pronalaženje uvjetnog ekstrema znači da se ekstrem ne traži u cijeloj domeni funkcije, već na nekoj krivulji koja leži u D( f) (tj. ne pretražuju se najviše ili najniže točke površine z = f(x,g), te najviše ili najniže točke među točkama presjeka ove površine s cilindrom , sl. 5).

Uvjetni ekstrem funkcije z = f(x,g) dviju varijabli može se pronaći na sljedeći način ( metoda eliminacije). Iz jednadžbe izrazite jednu od varijabli kao funkciju druge (na primjer, napišite ) i, zamijenivši ovu vrijednost varijable u funkciju , napišite potonju kao funkciju jedne varijable (u razmatranom slučaju ). Nađite ekstrem rezultirajuće funkcije jedne varijable.

Dovoljan uvjet za ekstrem funkcije dviju varijabli

1. Neka je funkcija kontinuirano diferencijabilna u nekoj okolini točke i neka ima kontinuiranu parcijalnu derivaciju drugog reda (čistu i mješovitu).

2. Označiti determinantom drugog reda

extremum varijabla lection function

Teorema

Ako je točka s koordinatama stacionarna točka za funkciju, tada:

A) Kada je točka lokalnog ekstrema i, na lokalnom maksimumu, - lokalnog minimuma;

C) kada točka nije lokalna točka ekstrema;

C) ako, možda oboje.

Dokaz

Napisujemo Taylorovu formulu za funkciju, ograničavajući se na dva člana:

Kako je prema uvjetu teorema točka stacionarna, parcijalne derivacije drugog reda jednake su nuli, tj. i. Zatim

Označiti

Tada će inkrement funkcije imati oblik:

Zbog neprekidnosti parcijalnih derivacija drugog reda (čiste i mješovite), prema uvjetu teoreme u točki, možemo napisati:

Gdje ili; ,

1. Neka je i, tj. ili.

2. Pomnožimo prirast funkcije i podijelimo s, dobivamo:

3. Dopuni izraz u vitičastim zagradama na puni kvadrat zbroja:

4. Izraz u vitičastim zagradama je nenegativan, jer

5. Prema tome, ako i stoga, i, tada i, prema definiciji, točka je točka lokalnog minimuma.

6. Ako i znači, i, tada je, prema definiciji, točka s koordinatama točka lokalnog maksimuma.

2. Razmotrimo kvadratni trinom, njegov diskriminant, .

3. Ako, onda postoje točke takve da je polinom

4. Ukupni prirast funkcije u točki u skladu s izrazom dobivenim u I, zapisujemo u obliku:

5. Zbog kontinuiteta parcijalnih derivacija drugog reda, prema uvjetu teoreme u točki, možemo napisati da

dakle, postoji okolina točke takva da je, za bilo koju točku, kvadratni trinom veći od nule:

6. Razmotrimo - okolicu točke.

Odaberimo bilo koju vrijednost, pa to je poanta. Uz pretpostavku da u formuli za prirast funkcije

Što dobivamo:

7. Budući, dakle.

8. Raspravljajući slično za korijen, dobivamo da u bilo kojoj -okolici točke postoji točka za koju, dakle, u okolici točke ne zadržava predznak, dakle nema ekstrema u točki.

Uvjetni ekstrem funkcije dviju varijabli

Pri traženju ekstrema funkcije dviju varijabli često se javljaju problemi vezani uz tzv. uvjetni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dviju varijabli.

Neka su na ravnini 0xy zadane funkcija i pravac L. Zadatak je pronaći točku P (x, y) na liniji L, u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u točkama linije L, koje se nalaze u blizini točka P. Takve točke P nazivaju se funkcijama uvjetnih ekstremnih točaka na liniji L. Za razliku od uobičajene ekstremne točke, vrijednost funkcije u uvjetnoj ekstremnoj točki uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim točkama u nekim njegovim susjedstvima, ali samo kod onih koji leže na liniji L.

Sasvim je jasno da je točka uobičajenog ekstremuma (kažu i bezuvjetni ekstrem) ujedno i točka uvjetnog ekstremuma za svaki pravac koji prolazi ovom točkom. Obrnuto, naravno, nije točno: uvjetna točka ekstrema ne mora biti konvencionalna točka ekstrema. Ilustrirajmo rečeno primjerom.

Primjer #1. Graf funkcije je gornja hemisfera (sl. 2).

Riža. 2.

Ova funkcija ima maksimum u ishodištu; ona odgovara vrhu M hemisfere. Ako je pravac L pravac koji prolazi točkama A i B (njegova jednadžba), tada je geometrijski jasno da se za točke tog pravca najveća vrijednost funkcije postiže u točki koja leži u sredini između točaka A i B. Ovo je uvjetni ekstrem (maksimum) točkaste funkcije na ovoj liniji; odgovara točki M 1 na hemisferi, a iz slike se vidi da ovdje ne može biti riječi ni o kakvom običnom ekstremu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema nalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području treba pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici tog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem za uvjetni ekstrem.

Definicija 1. Kažu da gdje ima uvjetni ili relativni maksimum (minimum) u točki koja zadovoljava jednadžbu: ako za bilo koju koja zadovoljava jednadžbu vrijedi nejednakost

Definicija 2. Jednadžba oblika naziva se jednadžba ograničenja.

Teorema

Ako su funkcije i kontinuirano diferencijabilne u okolini točke i parcijalne derivacije, a točka je točka uvjetnog ekstremuma funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja, tada je determinanta drugog reda jednaka nuli:

Dokaz

1. Budući da je prema uvjetu teorema parcijalna derivacija i vrijednost funkcije, tada u nekom pravokutniku

definirana implicitna funkcija

Složena funkcija dviju varijabli u točki će imati lokalni ekstrem, dakle, ili.

2. Doista, prema svojstvu invarijantnosti diferencijalne formule prvog reda

3. Jednadžba veze može se prikazati u ovom obliku, što znači

4. Pomnožite jednadžbu (2) s i (3) s i zbrojite ih

Stoga, na

proizvoljan. h.t.d.

Posljedica

Traženje uvjetnih točaka ekstrema funkcije dviju varijabli u praksi se provodi rješavanjem sustava jednadžbi

Dakle, u gornjem primjeru broj 1 iz jednadžbe komunikacije imamo. Odavde je lako provjeriti što doseže maksimum na . Ali onda iz jednadžbe komunikacije. Dobivamo točku P, pronađenu geometrijski.

Primjer #2. Pronađite uvjetne ekstremne točke funkcije s obzirom na jednadžbu ograničenja.

Nađimo parcijalne derivacije dana funkcija i jednadžbe veze:

Napravimo determinantu drugog reda:

Zapišimo sustav jednadžbi za pronalaženje uvjetnih točaka ekstrema:

dakle postoje četiri uvjetne točke ekstrema funkcije s koordinatama: .

Primjer #3. Nađi točke ekstrema funkcije.

Izjednačujući parcijalne derivacije s nulom: , nalazimo jednu stacionarnu točku - ishodište. Ovdje,. Dakle, ni točka (0, 0) nije točka ekstrema. Jednadžba je jednadžba hiperboličkog paraboloida (slika 3), slika pokazuje da točka (0, 0) nije točka ekstrema.

Riža. 3.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području

1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana u ograničenoj zatvorenoj domeni D.

2. Neka funkcija ima konačne parcijalne derivacije u ovom području, osim u pojedinim točkama područja.

3. U skladu s Weierstrassovim teoremom, u ovom području postoji točka u kojoj funkcija poprima najveću i najmanju vrijednost.

4. Ako su te točke unutarnje točke područja D, onda je očito da će imati maksimum ili minimum.

5. U ovom slučaju, točke koje nas zanimaju su među sumnjivim točkama na ekstremumu.

6. Međutim, funkcija također može poprimiti maksimalnu ili minimalnu vrijednost na granici područja D.

7. Da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost funkcije u području D, potrebno je pronaći sve unutarnje točke sumnjive na ekstremum, izračunati vrijednost funkcije u njima, zatim usporediti s vrijednošću funkcije na granične točke područja, a najveća od svih pronađenih vrijednosti bit će najveća u zatvorenoj regiji D.

8. Metoda pronalaženja lokalnog maksimuma ili minimuma razmatrana je ranije u odjeljku 1.2. i 1.3.

9. Ostaje razmotriti metodu pronalaženja maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije na granici regije.

10. U slučaju funkcije dviju varijabli područje se obično ispostavlja da je ograničeno krivuljom ili nekoliko krivulja.

11. Duž takve krivulje (ili više krivulja) varijable i ili ovise jedna o drugoj, ili obje ovise o jednom parametru.

12. Dakle, na granici se funkcija ispostavlja ovisnom o jednoj varijabli.

13. Metoda pretraživanja najveća vrijednost funkcijama jedne varijable bilo je riječi ranije.

14. Neka je granica područja D dana parametarskim jednadžbama:

Tada će na ovoj krivulji funkcija dviju varijabli biti složena funkcija parametra: . Za takvu funkciju najveća i najmanja vrijednost određena je metodom određivanja najveće i najmanje vrijednosti za funkciju jedne varijable.

UVJETNI EKSTREM

Minimalna ili maksimalna vrijednost koju postiže određena funkcija (ili funkcional) pod uvjetom da neke druge funkcije (funkcionali) uzimaju vrijednosti iz danog dopuštenog skupa. Ako ne postoje uvjeti koji ograničavaju promjene nezavisnih varijabli (funkcija) u navedenom smislu, tada se govori o bezuvjetnom ekstremumu.
klasična zadatak za W. e. je problem određivanja minimuma funkcije više varijabli

Pod uvjetom da neke druge funkcije uzimaju zadane vrijednosti:

U ovom problemu G, kojem su vrijednosti vektorske funkcije g=(g 1 , ...,g m), uključeno u dodatne uvjete (2) je fiksna točka c=(c 1, ..., s t) u m-dimenzionalnom euklidskom prostoru
Ako su u (2) uz znak jednakosti dopušteni znakovi nejednakosti

To dovodi do problema nelinearno programiranje(13). U problemu (1), (3), skup G dopuštenih vrijednosti vektorske funkcije g je određeni krivolinijski , koji pripada (n-m 1)-dimenzionalnoj hiperpovršini definiranoj s m 1 , m 1 uvjeti tipa jednakosti (3). Granice navedenog krivocrtnog poliedra konstruiraju se uzimajući u obzir p-m 1 nejednakosti uključene u (3).
Poseban slučaj problema (1), (3) na U.v. je zadatak linearno programiranje, u kojoj su sve razmatrane funkcije f i gi su linearne u x l , ... , x str. U problemu linearnog programiranja, skup G mogućih vrijednosti vektorske funkcije g, uključeni u uvjete koji ograničavaju raspon varijabli x 1 , .....x n , je , koji pripada (n-t 1)-dimenzionalnoj hiperravnini definiranoj m 1 uvjetima tipa jednakosti u (3).
Slično, većina optimizacijskih problema za funkcionale koji predstavljaju praktične interesa, svodi se na zadatke na U. e. (cm. Izoperimetrijski problem, Ringov problem, Lagrangeov problem, Mannerov problem). Baš kao u matematici. programiranja, glavni problemi varijacijskog računa i teorije optimalnog upravljanja su problemi na konveksnoj npr.
Pri rješavanju problema u U. e., osobito pri razmatranju teorijskog. pitanja vezana uz probleme na C. e., pokazalo se vrlo korisnim koristiti neodređeno Lagrangeovi množitelji, omogućujući smanjenje problema na U. e. problemu na bezuvjetnom i pojednostaviti potrebne uvjete optimalnosti. Korištenje Lagrangeovih multiplikatora leži u osnovi većine klasičnih metode za rješavanje problema u U. e.

Lit.: Hadley J., Nelinearno i , trans. s engleskog, M., 1967.; Bliss G.A., Predavanja o varijacijskom računu, trans. s engleskog, M., 1950.; Pontrjagin L. S. [et al.], Matematički optimalni procesi, 2. izdanje, M., 1969.
I. B. Vapnjarski.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što je "CONDITIONAL EXTREME" u drugim rječnicima:

Relativni ekstrem, ekstrem funkcije f (x1,..., xn + m) od n + m varijabli, uz pretpostavku da ove varijable podliježu još m jednadžbi (uvjeta): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (vidi Ekstremum).… …

Neka su otvoreni skup i on zadane funkcije. Neka. Te se jednadžbe nazivaju jednadžbama ograničenja (terminologija je posuđena iz mehanike). Neka je funkcija definirana na G ... Wikipedia

- (od lat. extremum krajnji) vrijednost kontinuirane funkcije f (x), koja je ili maksimum ili minimum. Preciznije: funkcija f (x) kontinuirana u točki x0 ima maksimum (minimum) u x0 ako postoji susjedstvo (x0 + δ, x0 δ) te točke, ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Ekstremno (značenja). Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na danom skupu. Točka u kojoj je dostignut ekstrem je ... ... Wikipedia

Funkcija koja se koristi u rješavanju problema za uvjetni ekstrem funkcija više varijabli i funkcionala. Uz pomoć L. f. potrebni uvjeti optimalnosti zapisani su u problemima za uvjetni ekstrem. Nema potrebe izražavati samo varijable... Matematička enciklopedija

Matematička disciplina posvećena pronalaženju ekstremnih (maksimalnih i minimalnih) vrijednosti funkcionala varijabli ovisno o izboru jedne ili više funkcija. U i. je prirodan razvoj tog poglavlja... ... Velika sovjetska enciklopedija

Varijable uz pomoć kojih se konstruira Lagrangeova funkcija u proučavanju problema za uvjetni ekstrem. Korištenje L. m. i Lagrangeove funkcije omogućuje dobivanje potrebnih uvjeta optimalnosti na uniforman način u problemima za uvjetni ekstrem ... Matematička enciklopedija

Varijacijski račun je grana funkcionalne analize koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji zadatak varijacijskog računa je pronaći funkciju na kojoj dani funkcional doseže ... ... Wikipedia

Dio matematike posvećen proučavanju metoda za pronalaženje ekstrema funkcionala koji ovise o izboru jedne ili više funkcija pod raznim vrstama ograničenja (faza, diferencijal, integral, itd.) nametnutih ovim ... ... Matematička enciklopedija

Varijacijski račun je grana matematike koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji zadatak varijacijskog računa je pronaći funkciju na kojoj funkcional doseže ekstremnu vrijednost. Metode ... ... Wikipedia

knjige

• Predavanja iz teorije upravljanja. Svezak 2. Optimalno upravljanje, V. Boss. Razmatraju se klasični problemi teorije optimalnog upravljanja. Izlaganje započinje osnovnim konceptima optimizacije u konačnodimenzionalnim prostorima: uvjetni i bezuvjetni ekstrem, ...