Ang ilang mga katangian ng mga operasyon sa mga matrix na expression. Mga matrice. Mga uri ng matrice. Mga operasyon sa mga matrice at ang kanilang mga katangian
Ang mga katangian ng matrice ay isang tanong na maaaring magdulot ng mga paghihirap para sa marami. Samakatuwid, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nito nang mas detalyado.
Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na naglalaman ng mga numero at elemento. Ito rin ay isang tiyak na koleksyon ng mga numero at elemento ng ilang iba pang istraktura, na nakasulat bilang isang hugis-parihaba na talahanayan na binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga hilera at haligi. Ang nasabing talahanayan ay dapat na nakapaloob sa mga panaklong. Ang mga ito ay maaaring bilugan na uri o double straight bracket. Ang lahat ng mga numero sa matrix ay tinatawag na elemento ng matrix, at mayroon din silang mga coordinate sa field ng talahanayan. Ang matrix ay kinakailangang ipahiwatig sa alpabetong Latin.
Ang mga katangian ng matrice o mathematical table ay kinabibilangan ng ilang aspeto. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice ay nangyayari nang mahigpit na elemento sa pamamagitan ng elemento. Ang pagpaparami at paghahati sa mga ito ay higit pa sa ordinaryong aritmetika. Upang i-multiply ang isang matrix sa isa pa, kailangan mong tandaan ang impormasyon tungkol sa scalar product ng isang vector sa isa pa.
C = (a, b) = b 1 + a 2 b 2 + ... + a N b N
Ang mga katangian ay may ilang mga nuances. Ang produkto ng isang matrix ng isa pa ay non-commutative, ibig sabihin, (a, b) ay hindi katumbas ng (a, b).
Kasama sa mga pangunahing katangian ng mga matrice ang gayong konsepto bilang sukatan ng pagiging disente. Ang determinant ay itinuturing na isang sukatan ng pagiging disente para sa mga naturang talahanayan. Ang determinant ay isang tiyak na function ng ilang elemento ng isang square matrix na kasama sa order n. Sa madaling salita, ang determinant ay tinatawag na determinant. Para sa second-order table, ang determinant ay itinutumbas sa pagkakaiba sa mga produkto ng mga numero o elemento ng dalawang diagonal ng matrix na ito A11A22-A12A21. Ang determinant para sa isang mas mataas na order na matrix ay ipinahayag ng mga determinant ng mga bloke nito.
Upang maunawaan kung gaano kabulok ang isang matrix, ipinakilala ang konsepto ng ranggo ng matrix. Ang ranggo ay ang bilang ng mga linearly independent na column at row ng isang ibinigay na table. Ang isang matrix ay maaaring baligtarin lamang kung ang ranggo nito ay kumpleto, iyon ay, ang ranggo (A) ay katumbas ng N.
Ang mga katangian ng matrix determinants ay kinabibilangan ng:
1. Para sa isang square matrix, ang determinant ay hindi nagbabago kapag ito ay inilipat. Ibig sabihin, ang determinant ng matrix na ito ay magiging katumbas ng determinant ng table na ito sa transposed form.
2. Kung ang anumang column o anumang row ay may kasamang mga zero lamang, ang determinant ng naturang matrix ay magiging katumbas ng zero.
3. Kung ang anumang dalawang hanay o anumang dalawang hanay ay ipinagpalit sa isang matrix, kung gayon ang tanda ng determinant ng naturang talahanayan ay magbabago ng halaga nito sa kabaligtaran.
4. Kung ang anumang column o row ng isang matrix ay pinarami ng anumang numero, kung gayon ang determinant nito ay i-multiply sa parehong numero.
5. Kung sa isang matrix ang alinman sa mga elemento ay isinulat bilang kabuuan ng dalawa o higit pang mga bahagi, kung gayon ang determinant ng naturang talahanayan ay isinulat bilang kabuuan ng ilang mga determinant. Ang bawat determinant ng naturang kabuuan ay isang determinant ng isang matrix kung saan, sa halip na ang elementong kinakatawan ng kabuuan, isa sa mga termino ng kabuuan na ito ay isinusulat ayon sa pagkakasunud-sunod ng determinant.
6. Kung ang anumang matrix ay may dalawang hilera na may magkaparehong elemento o dalawang magkaparehong hanay, kung gayon ang determinant ng talahanayang ito ay katumbas ng zero.
7. Gayundin, ang determinant ay katumbas ng zero para sa isang matrix kung saan ang dalawang column o dalawang row ay proporsyonal sa isa't isa.
8. Kung ang mga elemento ng isang hilera o haligi ay pinarami ng anumang numero, at pagkatapos ay ang mga elemento sa isa pang hilera o haligi ng parehong matrix ay idinagdag sa kanila, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang determinant ng talahanayang ito ay hindi magbabago.
Sa kabuuan, maaari nating sabihin na ang mga katangian ng mga matrice ay kumakatawan sa isang hanay ng mga kumplikado, ngunit sa parehong oras kinakailangang kaalaman tungkol sa kakanyahan ng naturang mga yunit ng matematika. Ang lahat ng mga katangian ng matrix ay direktang nakasalalay sa mga bahagi at elemento nito.
Mga matrice. Mga aksyon sa matrice. Mga katangian ng pagpapatakbo sa mga matrice. Mga uri ng matrice.
Matrices (at, nang naaayon, ang mathematical section - matrix algebra) mayroon mahalaga sa inilapat na matematika, dahil pinapayagan nila ang isa na isulat ang isang makabuluhang bahagi ng mga modelo ng matematika ng mga bagay at proseso sa isang medyo simpleng anyo. Ang terminong "matrix" ay lumitaw noong 1850. Ang mga matrice ay unang nabanggit sa sinaunang Tsina, sa kalaunan ng mga Arab mathematician.
Matrix A=A mn tinatawag na ang order m*n parihabang talahanayan ng mga numero na naglalaman ng m - row at n - column.
Mga elemento ng matrix aij, kung saan ang i=j ay tinatawag na dayagonal at anyo pangunahing dayagonal.
Para sa isang square matrix (m=n), ang pangunahing dayagonal ay nabuo ng mga elementong a 11, a 22,..., a nn.
Pagkakapantay-pantay ng matrix.
A=B, kung utos ng matrix A At B ay pareho at a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Mga aksyon sa matrice.
1. Pagdaragdag ng matrix - pagpapatakbo ng matalinong elemento
2. Pagbabawas ng mga matrice - pagpapatakbo ng matalinong elemento
3. Ang produkto ng isang matrix at isang numero ay isang element-wise na operasyon
4. Pagpaparami A*B matrices ayon sa panuntunan hanay sa hanay(ang bilang ng mga column ng matrix A ay dapat na katumbas ng bilang ng mga row ng matrix B)
A mk *B kn =C mn at bawat elemento kasama si ij matrice Cmn ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ng matrix A ng mga kaukulang elemento ng j-th column ng matrix B, i.e.
Ipakita natin ang operasyon ng matrix multiplication gamit ang isang halimbawa
5. Exponentiation
Ang m>1 ay isang positibong integer. Ang A ay isang square matrix (m=n) i.e. may kaugnayan lamang para sa mga square matrice
6. Transpose ng matrix A. Ang transposed matrix ay tinukoy ng A T o A"
Pinagpalit ang mga row at column
Halimbawa
Mga katangian ng pagpapatakbo sa mga matrice
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Mga uri ng matrice
1. Parihaba: m At n- mga di-makatwirang positive integer
2. Square: m=n
3. Matrix row: m=1. Halimbawa, (1 3 5 7) - sa maraming praktikal na problema tulad ng isang matrix ay tinatawag na isang vector
4. column ng matrix: n=1. Halimbawa
5. Diagonal matrix: m=n At a ij =0, Kung i≠j. Halimbawa
6. Matrix ng pagkakakilanlan: m=n At
7. Zero matrix: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Triangular matrix: lahat ng elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay 0.
9. Symmetric matrix: m=n At a ij = a ji(ibig sabihin, ang mga pantay na elemento ay matatagpuan sa mga lugar na simetriko na may kaugnayan sa pangunahing dayagonal), at samakatuwid A"=A
Halimbawa,
10. Skew-symmetric matrix: m=n At a ij =-a ji(ibig sabihin, ang mga kabaligtaran na elemento ay matatagpuan sa mga lugar na simetriko na may kaugnayan sa pangunahing dayagonal). Dahil dito, may mga zero sa pangunahing dayagonal (mula noong i=j meron kami a ii =-a ii)
malinaw, A"=-A
11. Hermitian matrix: m=n At a ii =-ã ii (ã ji- kumplikado - conjugate sa isang ji, ibig sabihin. Kung A=3+2i, pagkatapos ay ang complex conjugate Ã=3-2i)
Halaga ang dalawang matrice ay isang matrix na tulad ng ( ).
Komento: ang pagpapatakbo ng matrix addition ay ipinakilala lamang para sa mga matrice na may parehong laki.
Parehong tinukoy pagkakaiba ng matrix.
Komento: pagkakaiba ng matrix A–B maaaring tukuyin tulad nito: .
Produkto ng matrix sa pamamagitan ng numero k tinatawag na matrix tulad na ( ).
Ang mga operasyon ng pagdaragdag ng mga matrice at pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay may ang mga sumusunod na katangian:
6. ;
7. ;
8. ,
9. kung saan ang A, B, C ay mga matrice, at mga numero.
Ang pagpaparami ng matrix ay may mga sumusunod na katangian:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ,
Kahulugan. Mga pagbabago sa elementarya na matrix ay:
Ø pagpapalit ng dalawang parallel na hanay ng matrix;
Ø pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang matrix row sa isang numero maliban sa zero;
Ø pagdaragdag sa lahat ng elemento ng serye ng matrix ng mga kaukulang elemento ng parallel series, na pinarami ng parehong numero.
Kahulugan. Operasyon transposisyon ay isang operasyon kung saan ang mga row ng isang matrix ay nagiging mga column, at ang mga column ay nagiging mga row.
Ang mga sumusunod na katangian ay totoo para sa pagpapatakbo ng transpose:
;
Pagtatapos ng trabaho -
Ang paksang ito ay kabilang sa seksyon:
Mga patnubay para sa pagkumpleto ng mga pagsusulit sa kurso ng mas mataas na matematika
Pederal na badyet ng estado institusyong pang-edukasyon mas mataas bokasyonal na edukasyon.. Voronezh Institute of State Fire Service..
Kung kailangan mo karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:
Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:
Kung ang materyal na ito ay kapaki-pakinabang sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:
Tweet |
Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:
Pagsasama ayon sa mga bahagi
Ang pagsasama ng mga bahagi ay batay sa formula; Mga pangunahing klase ng pag-andar, para sa
Mga operasyon sa mga matrice at ang kanilang mga katangian.
Ang konsepto ng isang determinant ng ikalawa at ikatlong mga order.Mga katangian ng mga determinant at ang kanilang pagkalkula.
3. Pangkalahatang paglalarawan mga gawain.
4. Pagkumpleto ng mga gawain.
5. Paghahanda ng isang ulat sa gawaing laboratoryo.
Talasalitaan
Alamin ang mga kahulugan ng mga sumusunod mga tuntunin:
Dimensyon Ang matrix ay isang koleksyon ng dalawang numero, na binubuo ng bilang ng mga hilera nito m at ang bilang ng mga haligi n.
Kung m=n, kung gayon ang matrix ay tinatawag parisukat matris ng pagkakasunud-sunod n.
Mga operasyon sa matrices: transposing ng isang matrix, pagpaparami (paghahati) ng isang matrix sa isang numero, pagdaragdag at pagbabawas, pagpaparami ng isang matrix sa isang matrix.
Ang paglipat mula sa isang matrix A hanggang sa isang matrix A m, ang mga hilera nito ay ang mga haligi, at ang mga haligi ay ang mga hilera ng matrix A, ay tinatawag na transposisyon matrices A.
Halimbawa: A = , A t = .
Upang multiply matrix sa pamamagitan ng numero, kailangan mong i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong ito.
Halimbawa: 2A= 2· = .
Sum (pagkakaiba) Ang mga matrice A at B ng parehong dimensyon ay tinatawag na matrix C=A B, ang mga elemento nito ay pantay may ij = a ij b ij para sa lahat i At j.
Halimbawa: A = ; B = . A+B= = .
Ang trabaho matrix A m n by matrix B n k ay tinatawag na matrix C m k , ang bawat elemento kung saan c ij ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ng matrix A ng kaukulang elemento ng j-th column ng matrix B:
c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .
Upang ma-multiply ang isang matrix sa isang matrix, dapat sila ay napagkasunduang para sa pagpaparami, ibig sabihin bilang ng mga hanay sa unang matrix ay dapat na katumbas ng bilang ng mga linya sa pangalawang matrix.
Halimbawa: A= at B=.
А·В—imposible, dahil hindi sila consistent.
VA= . = =
.
Mga katangian ng operasyon ng pagpaparami ng matrix.
1. Kung ang matrix A ay may sukat m n, at ang matrix B ay ang dimensyon n k, pagkatapos ay umiiral ang produktong A·B.
Ang produktong BA ay maaaring umiral lamang kapag m=k.
2. Ang matrix multiplication ay hindi commutative, i.e. Ang A·B ay hindi palaging katumbas ng BA·A kahit na ang parehong mga produkto ay tinukoy. Gayunpaman, kung ang kaugnayan А·В=В·А ay nasiyahan, kung gayon ang mga matrice A at B ay tinatawag na nababago.
Halimbawa. Kalkulahin.
menor de edad ang elemento ay ang determinant ng order matrix, na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal sa ika-hilera ng ika-kolum.
Algebraic na pandagdag elemento ay tinatawag na .
Laplace expansion theorem:
Ang determinant ng isang square matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row (column) sa pamamagitan ng kanilang mga algebraic complements.
Halimbawa. Kalkulahin.
Solusyon. .
Mga katangian ng nth order determinants:
1) Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga row at column ay pinagpalit.
2) Kung ang determinant ay naglalaman ng isang row (column) ng mga zero lamang, kung gayon ito ay katumbas ng zero.
3) Kapag ang dalawang row (column) ay muling inayos, ang determinant ay nagbabago ng sign.
4) Ang determinant na may dalawang magkaparehong row (column) ay katumbas ng zero.
5) Ang karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang row (column) ay maaaring alisin sa determinant sign.
6) Kung ang bawat elemento ng isang tiyak na row (column) ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng dalawang determinant, sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga row (column), maliban sa nabanggit, ay kapareho ng sa determinant na ito, at sa nabanggit na hilera ( Column) ng unang determinant ay naglalaman ng mga unang termino, ang pangalawa - ang pangalawa.
7) Kung ang dalawang row (columns) sa determinant ay proporsyonal, kung gayon ito ay katumbas ng zero.
8) Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (column) ay idinagdag sa mga elemento ng isang tiyak na row (column), na pinarami ng parehong numero.
9) Ang mga determinant ng triangular at diagonal matrice ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal.
Ang paraan ng pag-iipon ng mga zero para sa pagkalkula ng mga determinant ay batay sa mga katangian ng mga determinant.
Halimbawa. Kalkulahin.
Solusyon. Ibawas ang double third mula sa unang row, pagkatapos ay gamitin ang expansion theorem sa unang column.
~ .
Kontrolin ang mga tanong(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
1. Ano ang tinatawag na second-order determinant?
2. Ano ang mga pangunahing katangian ng mga determinant?
3. Ano ang menor ng isang elemento?
4. Ano ang tinatawag na algebraic complement ng isang elemento ng isang determinant?
5. Paano palawakin ang third-order determinant sa mga elemento ng isang row (column)?
6. Ano ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng isang row (o column), ang determinant ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (o column)?
7. Ano ang tuntunin ng mga tatsulok?
8. Paano kinakalkula ang mga determinant ng mas matataas na order gamit ang paraan ng pagbabawas ng order?
10. Aling matrix ang tinatawag na parisukat? Wala? Ano ang isang row matrix, column matrix?
11. Aling mga matrice ang tinatawag na pantay?
12. Magbigay ng mga kahulugan ng mga operasyon ng karagdagan, pagpaparami ng mga matrice, pagpaparami ng isang matrix sa isang numero
13. Anong mga kundisyon ang dapat matugunan ng mga sukat ng mga matrice sa panahon ng pagdaragdag at pagpaparami?
14. Ano ang mga katangian ng algebraic operations: commutativity, associativity, distributivity? Alin sa mga ito ang natutupad para sa mga matrice sa panahon ng pagdaragdag at pagpaparami, at alin ang hindi?
15. Ano ang inverse matrix? Para sa anong mga matrice ito tinukoy?
16. Bumuo ng teorama sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng inverse matrix.
17. Bumuo ng isang lemma sa transposisyon ng isang produkto ng mga matrice.
Pangkalahatang praktikal na gawain(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
No. 1. Hanapin ang kabuuan at pagkakaiba ng mga matrice A at B :
A)
b)
V)
No. 2. Sundin ang mga hakbang :
c) Z= -11A+7B-4C+D
Kung
No. 3. Sundin ang mga hakbang :
V)
No. 4. Gamit ang apat na paraan ng pagkalkula ng determinant ng isang square matrix, hanapin ang mga determinant ng mga sumusunod na matrice :
No. 5. Maghanap ng mga determinant ng ika-na-order, batay sa mga elemento ng column (row) :
A) b)
No. 6. Hanapin ang determinant ng isang matrix gamit ang mga katangian ng mga determinant:
A) b)
Sasaklawin ng paksang ito ang mga operasyon tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice, pagpaparami ng isang matrix sa isang numero, pagpaparami ng isang matrix sa isang matrix, at paglipat ng isang matrix. Ang lahat ng mga simbolo na ginamit sa pahinang ito ay kinuha mula sa nakaraang paksa.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice.
Ang kabuuan ng $A+B$ ng mga matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay tinatawag na matrix $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kung saan $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline( 1,n) $.
Ang isang katulad na kahulugan ay ipinakilala para sa pagkakaiba ng mga matrice:
Ang pagkakaiba sa pagitan ng $A-B$ matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times n)=( c_(ij))$, kung saan $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1, n)$.
Paliwanag para sa entry na $i=\overline(1,m)$: ipakita\itago
Ang notasyong "$i=\overline(1,m)$" ay nangangahulugan na ang parameter na $i$ ay nag-iiba mula 1 hanggang m. Halimbawa, ang notasyong $i=\overline(1,5)$ ay nagpapahiwatig na ang parameter na $i$ ay kumukuha ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5.
Kapansin-pansin na ang mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas ay tinukoy lamang para sa mga matrice na may parehong laki. Sa pangkalahatan, ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice ay mga operasyong malinaw na intuitive, dahil ang ibig sabihin ng mga ito ay ang kabuuan o pagbabawas lamang ng mga kaukulang elemento.
Halimbawa Blg. 1
Tatlong matrice ang ibinigay:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
Posible bang mahanap ang matrix na $A+F$? Maghanap ng mga matrice na $C$ at $D$ kung $C=A+B$ at $D=A-B$.
Ang matrix $A$ ay naglalaman ng 2 row at 3 column (sa madaling salita, ang laki ng matrix $A$ ay $2\times 3$), at ang matrix na $F$ ay naglalaman ng 2 row at 2 column. Ang mga sukat ng mga matrice na $A$ at $F$ ay hindi nagtutugma, kaya hindi namin maidaragdag ang mga ito, i.e. ang $A+F$ na operasyon ay hindi tinukoy para sa mga matrice na ito.
Ang mga sukat ng mga matrice na $A$ at $B$ ay pareho, i.e. Ang data ng matrix ay naglalaman ng pantay na bilang ng mga row at column, kaya naaangkop sa kanila ang pagpapatakbo ng karagdagan.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Hanapin natin ang matrix $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
Sagot: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Pagpaparami ng matrix sa isang numero.
Ang produkto ng matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ sa numerong $\alpha$ ay ang matrix $B_(m\times n)=(b_(ij))$, kung saan $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n)$.
Sa madaling salita, ang pagpaparami ng isang matrix sa isang tiyak na numero ay nangangahulugan ng pagpaparami ng bawat elemento binigay na matrix para sa numerong ito.
Halimbawa Blg. 2
Ang matrix ay ibinigay: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Maghanap ng mga matrice na $3\cdot A$, $-5\cdot A$ at $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan). $$
Ang notasyong $-A$ ay isang shorthand notation para sa $-1\cdot A$. Iyon ay, upang mahanap ang $-A$ kailangan mong i-multiply ang lahat ng elemento ng matrix na $A$ sa (-1). Sa esensya, nangangahulugan ito na ang tanda ng lahat ng elemento ng matrix na $A$ ay magbabago sa kabaligtaran:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ kaliwa(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Sagot: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Produkto ng dalawang matrice.
Ang kahulugan ng operasyong ito ay mahirap at, sa unang tingin, hindi malinaw. Samakatuwid, una ay ipahiwatig ko ang isang pangkalahatang kahulugan, at pagkatapos ay susuriin namin nang detalyado kung ano ang ibig sabihin nito at kung paano ito gagawin.
Ang produkto ng matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ng matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times k )=(c_(ij))$, kung saan ang bawat elemento $c_(ij)$ ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng katumbas na mga elemento ng i-th mga hilera ng matrix $A$ hanggang sa mga elemento ng j-th column ng matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \ ;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Tingnan natin ang matrix multiplication step by step gamit ang isang halimbawa. Gayunpaman, dapat mong agad na tandaan na hindi lahat ng matrice ay maaaring i-multiply. Kung gusto nating i-multiply ang matrix $A$ sa matrix $B$, kailangan muna nating tiyakin na ang bilang ng mga column ng matrix $A$ ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix $B$ (madalas na tinatawag ang mga naturang matrice napagkasunduang). Halimbawa, ang matrix na $A_(5\times 4)$ (ang matrix ay naglalaman ng 5 row at 4 na column) ay hindi maaaring i-multiply sa matrix na $F_(9\times 8)$ (9 row at 8 column), dahil ang numero ng mga column ng matrix $A $ ay hindi katumbas ng bilang ng mga row ng matrix $F$, i.e. $4\neq 9$. Ngunit maaari mong i-multiply ang matrix $A_(5\times 4)$ sa matrix na $B_(4\times 9)$, dahil ang bilang ng mga column ng matrix $A$ ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix $ B$. Sa kasong ito, ang resulta ng pagpaparami ng mga matrice na $A_(5\times 4)$ at $B_(4\times 9)$ ang magiging matrix na $C_(5\times 9)$, na naglalaman ng 5 row at 9 na column:
Halimbawa Blg. 3
Mga ibinigay na matrice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ at $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Hanapin ang matrix na $C=A\cdot B$.
Una, agad nating tukuyin ang laki ng matrix na $C$. Dahil ang matrix $A$ ay may sukat na $3\beses 4$, at ang matrix na $B$ ay may sukat na $4\beses 2$, ang laki ng matrix $C$ ay: $3\beses 2$:
Kaya, bilang resulta ng produkto ng mga matrice na $A$ at $B$, dapat tayong kumuha ng matrix na $C$, na binubuo ng tatlong row at dalawang column: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) at c_( 12) \\ c_(21) at c_(22) \\ c_(31) at c_(32) \end(array) \right)$. Kung ang pagtatalaga ng mga elemento ay nagtataas ng mga katanungan, maaari mong tingnan ang nakaraang paksa: "Mga Uri ng Mga Pangunahing termino", sa simula kung saan ipinaliwanag ang pagtatalaga ng mga elemento ng matrix. Ang aming layunin: upang mahanap ang mga halaga ng lahat ng mga elemento ng matrix $C$.
Magsimula tayo sa elementong $c_(11)$. Upang makuha ang elementong $c_(11)$, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ at ang unang column ng matrix na $B$:
Upang mahanap ang elementong $c_(11)$ mismo, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ sa mga kaukulang elemento ng unang column ng matrix na $B$, i.e. ang unang elemento sa una, ang pangalawa hanggang sa pangalawa, ang ikatlo sa ikatlo, ang ikaapat hanggang sa ikaapat. Binubuod namin ang mga resultang nakuha:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Ipagpatuloy natin ang solusyon at hanapin ang $c_(12)$. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng unang row ng matrix $A$ at ang pangalawang column ng matrix $B$:
Katulad ng nauna, mayroon kaming:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Nahanap na ang lahat ng elemento ng unang hilera ng matrix $C$. Lumipat tayo sa pangalawang linya, na nagsisimula sa elementong $c_(21)$. Upang mahanap ito, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng pangalawang row ng matrix $A$ at ang unang column ng matrix $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Nahanap namin ang susunod na elemento $c_(22)$ sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga elemento ng pangalawang hilera ng matrix $A$ sa mga kaukulang elemento ng pangalawang column ng matrix $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Upang mahanap ang $c_(31)$, i-multiply ang mga elemento ng ikatlong row ng matrix na $A$ sa mga elemento ng unang column ng matrix na $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
At sa wakas, upang mahanap ang elementong $c_(32)$, kakailanganin mong i-multiply ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na $A$ sa mga katumbas na elemento ng pangalawang column ng matrix na $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Ang lahat ng mga elemento ng matrix na $C$ ay natagpuan, ang natitira lamang ay isulat na $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . O, upang magsulat nang buo:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Sagot: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
Sa pamamagitan ng paraan, madalas na walang dahilan upang ilarawan nang detalyado ang lokasyon ng bawat elemento ng resulta ng matrix. Para sa mga matrice na ang laki ay maliit, magagawa mo ito:
Dapat ding tandaan na ang pagpaparami ng matrix ay hindi commutative. Nangangahulugan ito na sa pangkalahatang kaso $A\cdot B\neq B\cdot A$. Para lamang sa ilang uri ng matrice, na tinatawag nababago(o pag-commute), totoo ang pagkakapantay-pantay na $A\cdot B=B\cdot A$. Ito ay tiyak na nakabatay sa non-commutativity ng multiplication na kailangan nating ipahiwatig nang eksakto kung paano natin i-multiply ang expression sa isang partikular na matrix: sa kanan o sa kaliwa. Halimbawa, ang pariralang "multiply both sides of the equality $3E-F=Y$ by the matrix $A$ on the right" ay nangangahulugang gusto mong makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Ang transposed na may paggalang sa matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ay ang matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para sa mga elemento na $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Sa madaling salita, para makakuha ng transposed matrix na $A^T$, kailangan mong palitan ang mga column sa orihinal na matrix na $A$ ng kaukulang mga row ayon sa prinsipyong ito: nagkaroon ng unang row - magkakaroon ng unang column ; nagkaroon ng pangalawang hilera - magkakaroon ng pangalawang hanay; nagkaroon ng ikatlong hanay - magkakaroon ng ikatlong hanay at iba pa. Halimbawa, hanapin natin ang transposed matrix sa matrix $A_(3\times 5)$:
Alinsunod dito, kung ang orihinal na matrix ay may sukat na $3\beses 5$, ang transposed matrix ay may sukat na $5\beses 3$.
Ang ilang mga katangian ng mga operasyon sa mga matrice.
Dito ipinapalagay na ang $\alpha$, $\beta$ ay ilang mga numero, at ang $A$, $B$, $C$ ay mga matrice. Para sa unang apat na katangian, ipinahiwatig ko ang mga pangalan;
- $A+B=B+A$ (commutativity ng karagdagan)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (associativity ng karagdagan)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivity ng multiplication sa isang matrix na may kinalaman sa pagdaragdag ng mga numero)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivity ng multiplication sa isang numero na nauugnay sa matrix addition)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, kung saan ang $E$ ay ang identity matrix ng kaukulang order.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, kung saan ang $O$ ay isang zero matrix ng naaangkop na laki.
- $\left(A^T \right)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
Sa susunod na bahagi, isasaalang-alang namin ang pagpapatakbo ng pagtaas ng isang matrix sa isang di-negatibong kapangyarihan ng integer, at lutasin din ang mga halimbawa kung saan kinakailangan na magsagawa ng ilang mga operasyon sa mga matrice.