Paglutas ng mga simetriko na sistema ng mga equation. Symmetric equation. I. Pagganyak para sa mga aktibidad sa pagkatuto ng mga mag-aaral
1.
Ang mga equation ay tinatawag simetriko equation ng 3rd degree, kung kamukha nila
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Upang matagumpay na malutas ang mga equation ng ganitong uri, kapaki-pakinabang na malaman at magamit ang mga sumusunod na simpleng katangian ng reciprocal equation:
A) Anumang reciprocal equation ng odd degree ay palaging may ugat na katumbas ng -1.
Sa katunayan, kung papangkatin natin ang mga termino sa kaliwang bahagi tulad ng sumusunod: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, kung gayon posible na alisin ang karaniwang kadahilanan, i.e. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, samakatuwid,
x + 1 = 0 o ax 2 + (b – a)x + a = 0, ang unang equation ay nagpapatunay sa pahayag na interesado tayo.
b) Ang reciprocal equation ay may mga ugat katumbas ng zero, Hindi.
V) Kapag hinahati ang isang polynomial ng kakaibang degree sa (x + 1), ang quotient ay muling isang paulit-ulit na polynomial at ito ay napatunayan sa pamamagitan ng induction.
Halimbawa.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Solusyon.
Ang orihinal na equation ay kinakailangang may ugat na x = -1, kaya hinahati natin ang x 3 + 2x 2 + 2x + 1 sa pamamagitan ng (x + 1) ayon sa pamamaraan ni Horner:
. |
1 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
Ang quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 ay walang mga ugat.
Sagot: -1.
2.
Ang mga equation ay tinatawag simetriko equation ng 4th degree, kung kamukha nila
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritmo ng solusyon ang mga katulad na equation ay:
A) Hatiin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng x 2. Ang pagkilos na ito ay hindi hahantong sa pagkawala ng ugat, dahil ang x = 0 ay hindi isang solusyon sa ibinigay na equation.
b) Gamit ang pagpapangkat, dalhin ang equation sa form:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Maglagay ng bagong hindi alam: t = (x + 1/x).
Gawin natin ang pagbabagong-anyo: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Kung ipinapahayag natin ngayon ang x 2 + 1/x 2, kung gayon ang t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Lutasin ang resulta sa mga bagong variable quadratic equation:
sa 2 + bt + c – 2a = 0.
d) Magsagawa ng reverse substitution.
Halimbawa.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Solusyon.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
Ilagay ang t: pagpapalit (x + 1/x) = t. Pagpapalit: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, mayroon tayong:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 o t = 10/3.
Bumalik tayo sa variable na x. Pagkatapos ng reverse substitution, malulutas namin ang dalawang resultang equation:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 o x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 o x = 1/3.
Sagot: -2; -1/2; 1/3; 3.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga equation ng mas mataas na antas
1. Mga equation na may anyo (x + a) n + (x + b) n = c, ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x + (a + b)/2. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na paraan ng symmetrization.
Ang isang halimbawa ng naturang equation ay isang equation ng form (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Halimbawa.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Solusyon.
Ginagawa namin ang pagpapalit na nabanggit sa itaas:
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, pagkatapos ng pagpapasimple: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
Ang pag-alis ng mga bracket gamit ang mga formula, nakukuha namin:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 o t 2 = -15.
Ang pangalawang equation ay hindi nagbibigay ng mga ugat, ngunit mula sa una mayroon kaming t = ± 3.
Pagkatapos ng reverse substitution makuha natin na x = -5 o x = 1.
Sagot: -5; 1.
Upang malutas ang mga naturang equation madalas itong epektibong paraan ng factoring sa kaliwang bahagi ng equation.
2. Mga equation ng form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, kung saan a + d = c + b.
Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay bahagyang buksan ang mga bracket at pagkatapos ay magpakilala ng bagong variable.
Halimbawa.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Solusyon.
Kinakalkula namin: 1 + 4 = 2 + 3. Igrupo ang mga bracket sa mga pares:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
Ang paggawa ng pagpapalit x 2 + 5x + 4 = t, mayroon tayong equation
t(t + 2) = 24, ito ay parisukat:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 o t = 4.
Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, madali nating mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation.
Sagot: -5; 0.
3. Mga equation ng form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, kung saan ang ad = cb.
Ang paraan ng solusyon ay bahagyang buksan ang mga bracket, hatiin ang magkabilang panig sa x 2 at lutasin ang isang set ng mga quadratic equation.
Halimbawa.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
Solusyon.
Ang pagpaparami ng unang dalawa at huling dalawang bracket sa kaliwang bahagi ay makukuha natin:
(x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Hatiin sa x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Pagpapalit (x + 24/x) = t dumating tayo sa quadratic equation:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 o t = 15.
Sa pamamagitan ng paggawa ng reverse substitution x + 24/x = 10 o x + 24/x = 15, nakita natin ang mga ugat.
Sagot: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Lutasin ang equation (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Solusyon.
Mahirap agad na uriin ang equation na ito at pumili ng paraan ng solusyon. Samakatuwid, una naming ibahin ang anyo gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube:
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Pagkatapos, pagkatapos kunin ang common factor, dumating tayo sa isang simpleng equation:
(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.
Sagot: -5; -9 ± √33.
Gawain.
Bumuo ng polynomial ng ikatlong antas kung saan ang isang ugat na katumbas ng 4 ay may multiplicity ng 2 at isang ugat na katumbas ng -2.
Solusyon.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) o f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
Ang pagpaparami ng unang dalawang bracket at pagdadala ng magkatulad na termino, makukuha natin ang: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).
Ang x 3 – 6x 2 + 32 ay isang polynomial ng ikatlong antas, samakatuwid, ang q(x) ay ilang numero mula sa R(i.e. totoo). Hayaang maging isa ang q(x), pagkatapos f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Sagot: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Tahanan > SolusyonRational equation at hindi pagkakapantay-pantay
I. Rational equation.
Linear na equation.
Mga sistema linear na equation.
Reciprocal equation.
Ang formula ng Vieta para sa mga polynomial na mas mataas ang antas.
Mga sistema ng mga equation ng ikalawang antas.
Isang paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong hindi alam kapag nilulutas ang mga equation at sistema ng mga equation.
Mga homogenous na equation.
Paglutas ng mga simetriko na sistema ng mga equation.
Mga equation at sistema ng mga equation na may mga parameter.
Grapikong pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation.
Mga equation na naglalaman ng modulus sign.
Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation
II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Mga katangian ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay.
Algebraic inequalities.
Paraan ng pagitan.
Fractional rational inequalities.
Mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng absolute value.
Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter.
Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay.
III. Pagsusulit sa screening.
Mga makatwirang equation
Function ng form
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,
kung saan ang n ay isang natural na numero, a 0, a 1,…, a n ay ilang tunay na numero, na tinatawag na isang buong rational function.
Ang isang equation ng form na P(x) = 0, kung saan ang P(x) ay isang buong rational function, ay tinatawag na isang buong rational equation.
Equation ng form
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,
kung saan ang P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) ay mga integer makatwirang pag-andar, ay tinatawag na rational equation.
Solusyon rational equation Ang P (x) / Q (x) = 0, kung saan ang P (x) at Q (x) ay mga polynomial (Q (x) 0), bumababa upang malutas ang equation na P (x) = 0 at suriin kung ang mga ugat ay nasiyahan kundisyon Q (x) 0.
Linear na equation.
Ang isang equation ng form na ax+b=0, kung saan ang a at b ay ilang constants, ay tinatawag na linear equation.
Kung a0, kung gayon ang linear equation ay may iisang ugat: x = -b /a.
Kung a=0; b0, kung gayon ang linear equation ay walang mga solusyon.
Kung a=0; b=0, pagkatapos, muling isulat ang orihinal na equation sa anyong ax = -b, madaling makita na ang anumang x ay isang solusyon sa linear equation.
Ang equation ng tuwid na linya ay: y = ax + b.
Kung ang isang linya ay dumaan sa isang punto na may mga coordinate X 0 at Y 0, kung gayon ang mga coordinate na ito ay nakakatugon sa equation ng linya, ibig sabihin, Y 0 = aX 0 + b.
Halimbawa 1.1. Lutasin ang equation
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
Solusyon. Sunud-sunod na buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at hanapin ang x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Halimbawa 1.2. Lutasin ang equation
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
Solusyon. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
Sagot: .
Halimbawa 1.3. Lutasin ang equation.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Solusyon. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 – 9,
Sagot: Kahit anong numero.
Mga sistema ng linear equation.
Equation ng form
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
kung saan ang a 1, b 1, …, a n, b ay ilang constants, na tinatawag na linear equation na may n unknowns x 1, x 2, …, x n.
Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na linear kung ang lahat ng mga equation na kasama sa sistema ay linear. Kung ang sistema ay binubuo ng n hindi alam, posible ang sumusunod na tatlong kaso:
ang sistema ay walang mga solusyon;
ang sistema ay may eksaktong isang solusyon;
ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.4. lutasin ang sistema ng mga equation
Solusyon. Maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit, na binubuo ng pagpapahayag ng isang hindi alam sa mga tuntunin ng iba pang mga hindi alam para sa anumang equation ng system, at pagkatapos ay palitan ang halaga ng hindi alam na ito sa natitirang mga equation.
Mula sa unang equation, ipinapahayag natin ang: x= (8 – 3y) / 2. Pinapalitan natin ang expression na ito sa pangalawang equation at kumuha ng sistema ng mga equation
X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. Mula sa pangalawang equation ay nakukuha natin ang y = 2. Kung isasaalang-alang ito, mula sa unang equation x = 1. Sagot: (1 Halimbawa 2.5. Lutasin ang sistema ng mga equation
Solusyon. Ang sistema ay walang mga solusyon, dahil ang dalawang equation ng system ay hindi maaaring masiyahan nang sabay-sabay (mula sa unang equation x + y = 3, at mula sa pangalawang x + y = 3.5).
Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa 2.6. lutasin ang sistema ng mga equation
Solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon, dahil ang pangalawang equation ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2 (i.e., sa katunayan, mayroon lamang isang equation na may dalawang hindi alam).
Sagot: Mayroong walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.7. lutasin ang sistema ng mga equation
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
Solusyon. Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, maginhawang gamitin ang Gauss method, na binubuo ng pagbabago ng system sa isang triangular na anyo.
Pina-multiply natin ang unang equation ng system sa – 2 at, pagdaragdag ng resulta sa pangalawang equation, nakukuha natin – 3y + 6z = – 3. Ang equation na ito ay maaaring isulat muli bilang y – 2z = 1. Pagdaragdag ng unang equation sa pangatlo, nakukuha natin ang 7y = 7, o y = 1.
Kaya, ang sistema ay nakakuha ng isang tatsulok na hugis
x + y – z = 2,
Ang pagpapalit ng y = 1 sa pangalawang equation, makikita natin ang z = 0. Ang pagpapalit ng y = 1 at z = 0 sa unang equation, makikita natin ang x = 1. Sagot: (1; 1; 0). sa anong mga halaga ng parameter a ang sistema ng mga equation
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
may walang katapusang maraming solusyon? Solusyon. Mula sa unang equation ipinapahayag namin ang x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Ang pagpapalit ng expression na ito sa pangalawang equation, nakukuha natin
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Pagsusuri sa huling equation, tandaan namin na para sa a = 3 mayroon itong anyo na 0y = 0, i.e. ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng y. Sagot: 3.
Quadratic equation at equation na maaaring bawasan sa kanila.
Isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero (a0);
Ang x ay isang variable na tinatawag na quadratic equation.
Formula para sa paglutas ng isang quadratic equation.
Una, hatiin natin ang magkabilang panig ng equation na ax 2 + bx + c = 0 ng a - hindi nito babaguhin ang mga ugat nito. Upang malutas ang nagresultang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
pumili ng isang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).
Para sa kaiklian, tinutukoy namin ang expression (b 2 – 4ac) ng D. Pagkatapos ang nagresultang pagkakakilanlan ay nasa anyo
Tatlong kaso ang posible:
kung ang numero D ay positibo (D > 0), sa kasong ito maaari mong kunin ang square root ng D at isulat ang D sa anyong D = (D) 2. Pagkatapos
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, samakatuwid ang pagkakakilanlan ay nasa anyo
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .
Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin mula dito:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).
Teorama: Kung hawak ang pagkakakilanlan
ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
pagkatapos ay ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 para sa X 1 X 2 ay may dalawang ugat X 1 at X 2, at para sa X 1 = X 2 - isang ugat lamang X 1.
Sa bisa ng teorama na ito, mula sa pagkakakilanlan na hinango sa itaas ay sumusunod na ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
at sa gayon ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat:
X 1 =(-b + D) / 2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
Kaya x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Karaniwan ang mga ugat na ito ay nakasulat sa isang pormula:
kung saan b 2 – 4ac = D.
kung ang numero D ay zero (D = 0), kung gayon ang pagkakakilanlan
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
kumukuha ng anyong x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.
Kasunod nito na para sa D = 0 ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may isang ugat ng multiplicity 2: X 1 = – b / 2a
3) Kung ang numero D ay negatibo (D< 0), то – D >0, at samakatuwid ang expression
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
ay ang kabuuan ng dalawang termino, ang isa ay hindi negatibo at ang isa ay positibo. Ang nasabing kabuuan ay hindi maaaring katumbas ng zero, kaya ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
walang tunay na ugat. Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay wala rin sa kanila.
Kaya, upang malutas ang isang quadratic equation, dapat kalkulahin ng isa ang discriminant
D = b 2 – 4ac.
Kung D = 0, kung gayon ang quadratic equation ay may natatanging solusyon:
Kung D > 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat:
X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
Kung si D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Kung ang isa sa mga coefficient b o c ay zero, kung gayon ang quadratic equation ay maaaring malutas nang hindi kinakalkula ang discriminant:
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Ang mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient ng x 2 ay katumbas ng 1 ay tinatawag na reduced. Karaniwan ang ibinigay na quadratic equation ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
x 2 + px + q = 0.
Ang teorama ni Vieta.
Nakuha namin ang pagkakakilanlan
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
kung saan ang X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c =0. Buksan natin ang mga bracket sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2.
Kasunod nito na X 1 + X 2 = – b / a at X 1 X 2 = c / a. Napatunayan natin ang sumusunod na teorama, na unang itinatag ng Pranses na matematiko na si F. Vieta (1540 – 1603):
Teorama 1 (Vieta). Ang kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng coefficient ng X, na kinuha gamit ang kabaligtaran na sign at hinati sa coefficient ng X 2 ; ang produkto ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng libreng term na hinati sa coefficient ng X 2 .
Theorem 2 (converse). Kung ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan
X 1 + X 2 = – b / a at X 1 X 2 = c / a,
pagkatapos ang mga numerong X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0.
Magkomento. Ang mga formula X 1 + X 2 = – b / a at X 1 X 2 = c / a ay nananatiling totoo sa kaso kapag ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may isang ugat X 1 ng maramihang 2, kung ilalagay namin ang X sa ipinahiwatig na mga formula 2 = X 1. Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na sa D = 0 ang equation na ax 2 + bx +c = 0 ay may dalawang ugat na nag-tutugma sa bawat isa.
Kapag nilulutas ang mga problemang nauugnay sa teorama ni Vieta, kapaki-pakinabang na gamitin ang mga ugnayan
(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).
Halimbawa 3.9. Lutasin ang equation na 2x 2 + 5x – 1 = 0.
Solusyon. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Sagot: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Halimbawa 3.10. Lutasin ang equation x 3 – 5x 2 + 6x = 0
Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation x(x 2 – 5x + 6) = 0,
kaya x = 0 o x 2 – 5x + 6 = 0.
Ang paglutas ng quadratic equation, nakukuha natin ang X 1 = 2, X 2 = 3.
Sagot: 0; 2; 3.
Halimbawa 3.11.
x 3 – 3x + 2 = 0. Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa pamamagitan ng pagsulat –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, at ngayon ay pangkatin ang x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x(x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. Sagot: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2.Halimbawa 3.12. Lutasin ang equation7
(x – 1)(x – 3)(x – 4)
(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Solusyon. Hanapin natin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga x:X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 o x – 2; x 6; x 3.5 Binabawasan namin ang equation sa anyo (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), buksan ang mga bracket – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0.11x 3 – 93x 2 + 190x = 0.x(11x 2 – 93x + 190) = 0.x(11x 2 – 93x + 190) = 0.11x 3 – 93x + 190 = 0.93(8649 – 8360) 93 17 x 2.3 = = ,
Yung. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.
Ang mga nahanap na halaga ay nakakatugon sa ODZ.
Sagot: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38 / 11.
Halimbawa 3.13. Lutasin ang equation x 6 – 5x 3 + 4 = 0
Solusyon. Ipatukoy natin ang y = x 3 , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay kumukuha ng anyo
y 2 – 5y + 4 = 0, paglutas na nakukuha natin Y 1 = 1; Y2 = 4.
Kaya, ang orihinal na equation ay katumbas ng set
equation: x 3 = 1 o x 3 = 4, ibig sabihin, X 1 = 1 o X 2 = 3 4
Sagot: 1; 3 4.
Halimbawa 3.14. Lutasin ang equation (x 3 – 27) / (x – 3) = 27
Solusyon. I-factorize natin ang numerator (gamit ang difference ng cubes formula):
UlatScientific superbisor: Kulabukhov Sergey Yurievich, kandidato ng physical at mathematical sciences, guro karagdagang edukasyon MOU DOD DTDiM, Rostov-on-Don.
Layunin ng aralin:
- pang-edukasyon: pagsasanay sa paglutas ng mga sistema ng mga equation na naglalaman ng homogenous na equation, simetriko sistema ng mga equation;
- umuunlad: pag-unlad ng pag-iisip, atensyon, memorya, kakayahang i-highlight ang pangunahing bagay;
- pang-edukasyon: pag-unlad ng mga kasanayan sa komunikasyon.
Uri ng aralin: aral ng pag-aaral ng bagong materyal.
Mga teknolohiyang ginamit sa pagtuturo:
- gumawa ng sama sama;
- paraan ng disenyo.
Kagamitan: computer, multimedia projector.
Isang linggo bago ang aralin, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga paksa para sa mga malikhaing takdang-aralin (ayon sa mga opsyon).
Opsyon ko. Symmetric system ng mga equation. Mga solusyon.
Pagpipilian II. Mga sistemang naglalaman ng homogenous equation. Mga solusyon.
Ang bawat mag-aaral, gamit ang karagdagang panitikang pang-edukasyon, dapat mahanap ang naaangkop na materyal na pang-edukasyon, pumili ng isang sistema ng mga equation at lutasin ito.
Isang mag-aaral mula sa bawat opsyon ang lumilikha ng mga multimedia presentation sa paksa ng malikhaing gawain. Ang guro ay nagbibigay ng mga konsultasyon para sa mga mag-aaral kung kinakailangan.
I. Pagganyak para sa mga aktibidad sa pagkatuto ng mga mag-aaral
Pambungad na talumpati ng guro
Sa nakaraang aralin, tiningnan namin ang paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hindi alam. Pangkalahatang tuntunin walang pagpipilian ng mga bagong variable. Gayunpaman, ang dalawang uri ng mga sistema ng mga equation ay maaaring makilala kapag mayroong isang makatwirang pagpili ng mga variable:
- simetriko sistema ng mga equation;
- sistema ng mga equation, ang isa ay homogenous.
II. Pag-aaral ng bagong materyal
Ang mga mag-aaral sa opsyon 2 ay nag-uulat sa kanilang takdang-aralin.
1. Pagpapakita ng mga slide ng multimedia presentation na "Systems containing a homogeneous equation" (presentation 1).
2. Magtrabaho nang magkapares ng mga mag-aaral na nakaupo sa parehong desk: ipinapaliwanag ng isang mag-aaral ng opsyon 2 sa kanyang kapitbahay sa desk ang solusyon sa isang sistemang naglalaman ng homogenous na equation.
Ulat ng mag-aaral ng opsyon 1.
1. Pagpapakita ng mga slide ng multimedia presentation na "Symmetric systems of equation" (presentation 2).
Isulat ng mga mag-aaral sa kanilang kuwaderno:
2. Magtrabaho nang magkapares ng mga mag-aaral na nakaupo sa parehong desk: ipinapaliwanag ng isang mag-aaral sa opsyon 1 sa kanyang kapitbahay sa desk ang solusyon sa isang simetriko na sistema ng mga equation.
III. Pagpapatibay ng materyal na natutunan
Magtrabaho sa mga pangkat (ang mga mag-aaral na nakaupo sa katabing mga mesa ay pinagsama sa isang grupo ng 4 na mga mag-aaral).
Bawat isa sa 6 na pangkat ay kumpleto sa sumusunod na gawain.
Tukuyin ang uri ng system at lutasin ito:
Ang mga mag-aaral sa mga grupo ay nagsusuri ng mga sistema, tinutukoy ang kanilang uri, pagkatapos, sa panahon ng gawaing pangharap, talakayin ang mga solusyon sa mga sistema.
a) sistema
simetriko, ipakilala natin ang mga bagong variable x+y=u, xy=v
b) sistema
naglalaman ng isang homogenous na equation.
Ang pares ng mga numero (0;0) ay hindi solusyon sa system.
IV. Pagsubaybay sa kaalaman ng mag-aaral
Malayang gawain sa mga opsyon.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
Ibinibigay ng mga mag-aaral ang kanilang mga notebook sa guro para suriin.
V. Takdang-Aralin
1. Nakumpleto ng lahat ng mag-aaral.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
2. Isinasagawa ng mga “malakas” na mag-aaral.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
VI. Buod ng Aralin
Mga Tanong:
Anong mga uri ng sistema ng mga equation ang natutunan mo sa klase?
Anong paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ang ginagamit upang malutas ang mga ito?
Pag-uulat ng mga markang natanggap ng mga mag-aaral sa panahon ng aralin.
Panimula Ang problema ng aking proyekto ay para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam nangangailangan ng kakayahang malutas iba't ibang sistema equation, at sa alam mataas na paaralan Hindi sila nabigyan ng sapat na panahon upang maunawaan nang mas malalim ang isyung ito. Layunin ng gawain: upang maghanda para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam. Mga layunin ng gawain: Palawakin ang iyong kaalaman sa larangan ng matematika na may kaugnayan sa konsepto ng "symmetry". Pagbutihin ang iyong kultura sa matematika sa pamamagitan ng paggamit ng konsepto ng "symmetry" kapag nilulutas ang mga sistema ng mga equation na tinatawag na simetriko, pati na rin ang iba pang mga problema sa matematika.
Ang konsepto ng simetrya. Symmetry - (sinaunang Greek συμμετρία), sa isang malawak na kahulugan - immutability sa ilalim ng anumang pagbabago. Halimbawa, ang spherical symmetry ng isang katawan ay nangangahulugan na ang hitsura ng katawan ay hindi magbabago kung ito ay paikutin sa espasyo sa mga arbitrary na anggulo. Ang bilateral symmetry ay nangangahulugan na ang kanan at kaliwa na may kaugnayan sa ilang eroplano ay magkamukha.
Paglutas ng mga problema gamit ang simetrya. Gawain Blg. 1 Dalawang tao ang humalili sa paglalagay ng magkaparehong mga barya sa isang bilog na mesa, at ang mga barya ay hindi dapat magkatakpan. Talo ang hindi makagalaw. Sino ang mananalo kapag tamang laro? (Sa madaling salita, sinong manlalaro ang may diskarte sa panalong?)
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga simetriko na sistema. Ang mga sistema ng simetriko ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga variable, na nilalaro ng mga pangunahing simetriko polynomial. Ang isang simetriko na sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na x at y ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = x + y, v = xy.
Halimbawa Blg. 2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial, maaaring isulat ang system sa sumusunod na anyo 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . Ang pagpapahayag ng u = mula sa pangalawang equation at pagpapalit nito sa unang equation, nakukuha natin ang 9v2– 28v – 156 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito v 1 = 6 at v 2 = - ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga katumbas na halaga u1 = 5, u2= - mula sa expression na u = .
Lutasin natin ngayon ang sumusunod na hanay ng mga sistema. x = 5 – y, at y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y, at y = -x - , y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y, at y = -x - , y 1 = 3, y 2 =2 x 1 = , x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3, at x 1 = , x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= Sagot: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
Theorems na ginagamit sa paglutas ng simetriko system. Theorem 1. (tungkol sa simetriko polynomial) Maaari nating katawanin ang anumang simetriko polynomial sa dalawang variable bilang isang function ng dalawang pangunahing simetriko polynomial Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong isang function ng dalawang variable φ (u. , v) ganyan
Theorem 2. (tungkol sa simetriko polynomial) Theorem 2. (tungkol sa simetriko polynomial) Anumang simetriko polynomial sa tatlong variable ay maaaring katawanin bilang isang function ng tatlong pangunahing simetriko polynomial: Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong ganyan function ng tatlo mga variable θ (u, v, w), na
Mas kumplikadong symmetric system - mga system na naglalaman ng module: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Isaalang-alang natin ang sistemang ito nang hiwalay para sa x< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) para sa x ≤ y< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) kinukuha ng system ang anyo - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, mula sa kung saan natin makikita x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. Ang pangalawang pares ng mga numero ay kabilang sa lugar na isinasaalang-alang, iyon ay, ito ay isang solusyon sa sistemang ito.
Kung x ≥ 1, kung gayon: Kung x ≥ 1, kung gayon: a) x > y at y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y at y ≥ 1 ang sistema ay nasa anyong x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, o x – y + y 2 = 3, x + y = 4, mula sa kung saan natin makikita ang x = 1, y = 3. Ang pares ng mga numerong ito ay hindi kabilang sa rehiyong isinasaalang-alang;
c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1) ang sistema ay nasa anyong c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1) ang sistema ay nasa anyo - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, mula sa kung saan makikita natin ang x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ang mga pares ng numerong ito ay hindi kabilang sa rehiyong pinag-uusapan. Kaya, x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Sagot: (- 1; 1); (labing-isa).
Konklusyon Ang matematika ay nagpapaunlad ng pag-iisip ng tao, nagtuturo sa atin na humanap ng iba't ibang solusyon sa pamamagitan ng lohika. Kaya, natutunan kong lutasin ang mga simetriko na sistema, napagtanto ko na magagamit ang mga ito hindi lamang upang malutas tiyak na mga halimbawa, ngunit ako ay para sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema. Sa tingin ko, hindi lang ako ang makikinabang sa proyekto. Para sa mga nais ding maging pamilyar sa paksang ito, ang aking trabaho ay magiging isang mahusay na katulong.
Listahan ng mga ginamit na panitikan: Bashmakov M.I., "Algebra at ang simula ng pagsusuri", 2nd edition, Moscow, "Prosveshchenie", 1992, 350 pp. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra at elementary functions ", reference book; ikatlong edisyon, binago at pinalawak; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 pp. Sharygin I.F., "Mathematics for high school students," Moscow, "Drofa" publishing house, 1995, 490 pp. Mga mapagkukunan ng Internet: http://www.college.
Maaaring gamitin ang gawain para sa mga aralin at ulat sa paksang "Matematika"
Ang mga handa na presentasyon sa matematika ay ginagamit bilang visual aid, na nagpapahintulot sa isang guro o magulang na magpakita ng isang paksang pinag-aaralan mula sa isang aklat-aralin gamit ang mga slide at talahanayan, magpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema at equation, at pagsubok ng kaalaman. Sa seksyong ito ng site ay mahahanap at mada-download mo ang maraming handa na mga presentasyon sa matematika para sa mga mag-aaral sa baitang 1, 2, 3, 4, 5, 6, gayundin ang mga presentasyon sa mas mataas na matematika para sa mga estudyante sa unibersidad.
1.
Ang mga equation ay tinatawag simetriko equation ng 3rd degree, kung kamukha nila
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Upang matagumpay na malutas ang mga equation ng ganitong uri, kapaki-pakinabang na malaman at magamit ang mga sumusunod na simpleng katangian ng reciprocal equation:
A) Anumang reciprocal equation ng odd degree ay palaging may ugat na katumbas ng -1.
Sa katunayan, kung papangkatin natin ang mga termino sa kaliwang bahagi tulad ng sumusunod: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, kung gayon posible na alisin ang karaniwang kadahilanan, i.e. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, samakatuwid,
x + 1 = 0 o ax 2 + (b – a)x + a = 0, ang unang equation ay nagpapatunay sa pahayag na interesado tayo.
b) Ang reciprocal equation ay walang mga ugat na katumbas ng zero.
V) Kapag hinahati ang isang polynomial ng kakaibang degree sa (x + 1), ang quotient ay muling isang paulit-ulit na polynomial at ito ay napatunayan sa pamamagitan ng induction.
Halimbawa.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Solusyon.
Ang orihinal na equation ay kinakailangang may ugat na x = -1, kaya hinahati natin ang x 3 + 2x 2 + 2x + 1 sa pamamagitan ng (x + 1) ayon sa pamamaraan ni Horner:
. |
1 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
Ang quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 ay walang mga ugat.
Sagot: -1.
2.
Ang mga equation ay tinatawag simetriko equation ng 4th degree, kung kamukha nila
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritmo ng solusyon ang mga katulad na equation ay:
A) Hatiin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng x 2. Ang pagkilos na ito ay hindi hahantong sa pagkawala ng ugat, dahil ang x = 0 ay hindi isang solusyon sa ibinigay na equation.
b) Gamit ang pagpapangkat, dalhin ang equation sa form:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V) Maglagay ng bagong hindi alam: t = (x + 1/x).
Gawin natin ang pagbabagong-anyo: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Kung ipinapahayag natin ngayon ang x 2 + 1/x 2, kung gayon ang t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Lutasin ang nagreresultang quadratic equation sa mga bagong variable:
sa 2 + bt + c – 2a = 0.
d) Magsagawa ng reverse substitution.
Halimbawa.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Solusyon.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
Ilagay ang t: pagpapalit (x + 1/x) = t. Pagpapalit: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, mayroon tayong:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 o t = 10/3.
Bumalik tayo sa variable na x. Pagkatapos ng reverse substitution, malulutas namin ang dalawang resultang equation:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 o x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 o x = 1/3.
Sagot: -2; -1/2; 1/3; 3.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga equation ng mas mataas na antas
1. Mga equation na may anyo (x + a) n + (x + b) n = c, ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x + (a + b)/2. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na paraan ng symmetrization.
Ang isang halimbawa ng naturang equation ay isang equation ng form (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Halimbawa.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Solusyon.
Ginagawa namin ang pagpapalit na nabanggit sa itaas:
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, pagkatapos ng pagpapasimple: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
Ang pag-alis ng mga bracket gamit ang mga formula, nakukuha namin:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 o t 2 = -15.
Ang pangalawang equation ay hindi nagbibigay ng mga ugat, ngunit mula sa una mayroon kaming t = ± 3.
Pagkatapos ng reverse substitution makuha natin na x = -5 o x = 1.
Sagot: -5; 1.
Upang malutas ang mga naturang equation madalas itong epektibong paraan ng factoring sa kaliwang bahagi ng equation.
2. Mga equation ng form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, kung saan a + d = c + b.
Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay bahagyang buksan ang mga bracket at pagkatapos ay magpakilala ng bagong variable.
Halimbawa.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Solusyon.
Kinakalkula namin: 1 + 4 = 2 + 3. Igrupo ang mga bracket sa mga pares:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
Ang paggawa ng pagpapalit x 2 + 5x + 4 = t, mayroon tayong equation
t(t + 2) = 24, ito ay parisukat:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 o t = 4.
Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, madali nating mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation.
Sagot: -5; 0.
3. Mga equation ng form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, kung saan ang ad = cb.
Ang paraan ng solusyon ay bahagyang buksan ang mga bracket, hatiin ang magkabilang panig sa x 2 at lutasin ang isang set ng mga quadratic equation.
Halimbawa.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
Solusyon.
Ang pagpaparami ng unang dalawa at huling dalawang bracket sa kaliwang bahagi ay makukuha natin:
(x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Hatiin sa x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Pagpapalit (x + 24/x) = t dumating tayo sa quadratic equation:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 o t = 15.
Sa pamamagitan ng paggawa ng reverse substitution x + 24/x = 10 o x + 24/x = 15, nakita natin ang mga ugat.
Sagot: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Lutasin ang equation (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Solusyon.
Mahirap agad na uriin ang equation na ito at pumili ng paraan ng solusyon. Samakatuwid, una naming ibahin ang anyo gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube:
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Pagkatapos, pagkatapos kunin ang common factor, dumating tayo sa isang simpleng equation:
(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.
Sagot: -5; -9 ± √33.
Gawain.
Bumuo ng polynomial ng ikatlong antas kung saan ang isang ugat na katumbas ng 4 ay may multiplicity ng 2 at isang ugat na katumbas ng -2.
Solusyon.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) o f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
Ang pagpaparami ng unang dalawang bracket at pagdadala ng magkatulad na termino, makukuha natin ang: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).
Ang x 3 – 6x 2 + 32 ay isang polynomial ng ikatlong antas, samakatuwid, ang q(x) ay ilang numero mula sa R(i.e. totoo). Hayaang maging isa ang q(x), pagkatapos f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Sagot: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!
blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.