Первый этап – компьютер , оправдывая свое название (в переводе с англ. "вычислитель"), работал как мощный программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически ( по веденной программе) выполнять сложные и громоздкие арифметические и логические операции над числами.

Успехи вычислительной математики и постоянно совершенствующиеся численные методы позволяют решить таким способом любую математическую задачу применительно к любой отрасли знаний. Важно отметить, что результат вычислений при этом представляется одним конечным числом в арифметическом виде, то есть при помощи десятичных цифр. Иногда результат представляется множеством (массивом, матрицей) таких чисел, но существо представления от этого не меняется – результат в виде конечного десятичного арифметического числа.

Однако такой результат часто не удовлетворял профессиональных математиков, и вот почему. Подавляющее большинство результатов нетривиальных математических вычислений в классической математике традиционно записывается в символьной форме: с использованием специальных общеизвестных чисел: , , , а иррациональные значения – с помощью радикала. Считается, что в противном случае имеет место принципиальная потеря точности .

Другой классический пример, вызывающий замечание математика – выражение , знакомое любому школьнику:

всегда равное единице; а в компьютере либо будет предпринята попытка вычислить это выражение (с неизбежными ошибками округления), либо будет выдано сообщение о неопределенности аргумента Х и всякие дальнейшие действия будут прекращены.

На этом первый этап завершился...

Естественно, вслед за стремительным совершенствованием компьютерных систем человеку в компьютерных расчетах захотелось большего: почему бы не заставить компьютер выполнять преобразования традиционными для математики способами (дробно-рациональные преобразования, подстановки, упрощения, решение уравнений, дифференцирование и т.п.).

Их принято называть преобразованиями в символьном виде или аналитическими преобразованиями, а результат получать не как раньше – в виде одного числа, а в виде формулы.

К этому моменту практически все области человеческой деятельности оказались охваченными каждая своим собственным математическим аппаратом и обзавелись собственными пакетами прикладного программного обеспечения (ППО). При этом всем понадобился универсальный математический инструмент, ориентированный на широкий круг пользователей, которые не являются ни профессионалами в математике, ни программистами, воспитанными на узкоспециальных, малопонятных большинству конечных пользователей компьютерных языках.

Это привело к созданию компьютерных систем символьной математики, рассчитанных на широкие круги пользователей – непрофессионалов в математике. Так началась с середины 60-х годов ХХ века эра систем компьютерной математики (СКМ), по -английски CAS – Сomputer algebra system .

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования " Аналитик ", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Конечно, даже самые простые неинтеллектуальные компьютерные математические справочники представляют большой практический интерес – ведь ни один самый способный человек не в состоянии вместить в своей голове все математические законы и правила, созданные за многовековую историю человечества.

Данные об особенностях существующих СКМ приведены в табл. 12.1 .

Таблица 12.1. Современные СКМ и их возможности

Система	Назначение и возможности	Недостатки
Mathcad 13, Mathcad 14	Система универсального назначения в основном для непрофессиональных математиков и целей образования всех ступеней. Продуманный интерфейс представления данных в традиционной математической форме и изумительная графика на всех этапах работы, включая ввод. Ввод с помощью выбора из панелей инструментов или из меню практически без использования клавиатуры. Мощный и исчерпывающий набор операторов и функций. Множество примеров, электронных книг и библиотек, готовых решений практических задач. Ядро символьных вычислений импортировано из СКМ Maple . Предоставление серверных услуг профессионального пакета. Легкость переноса документа в другие приложения	Достаточно примитивные средства программирования. Дороговизна электронных книг и библиотек, отсутствие русифицированных версий самого пакета и дополнительных библиотек (книг). Затруднена символьная обработка дифференциальных уравнений. Не создается итоговый исполняемый *.exe-файл; для запуска документа необходимо наличие пакета СКМ Mathcad . Затруднения при выполнении тригонометрических преобразований
Maple V R4/R5/R6	Университетское высшее образование и научные расчеты. Мощное ядро символьных вычислений – возможности аналогичны СКМ Mathcad , содержащее до 3000 функций. Мощнейшая графика. Удобная справочная система. Средства форматирования документов	Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Отсутствие синтеза звуков. Ориентация на опытных пользователей и специалистов по математике. Все недостатки аналитических действий аналогичны СКМ Mathcad
Mathematica 5/7	Высшее образование и научные расчеты. Наиболее развитая система символьной математики. Единственная СКМ, обеспечивающая символьное решение дифференциальных уравнений. Совместимость с разными компьютерными платформами. Уникальная трехмерная графика. Поддержка синтеза звука. Развитые средства форматирования документов. Программный синтез звуков.	Высокие требования к аппаратным ресурсам. Чрезмерная защита от копирования. Слабая защита от некорректных задач. Ориентация на опытных пользователей. Ввод задач на уникальном языке функционального программирования. Непривычная индикация функций запуска вычислений.
MATLAB 7.*	Образование (в том числе техническое), научные расчеты, численное моделирование, и расчеты, ориентированные на применение матричных методов, при этом скаляр рассматривается как матрица 1х1. Уникальные матричные средства, обилие численных методов, описательная (дескрипторная) графика, высокая скорость вычислений, легкость адаптации к задачам пользователя благодаря множеству пакетов расширения системы. Развитый язык программирования с возможностями объектно-ориентированного программирования (ООП), совместимость с алгоритмическим языком Java	Очень высокие требования к аппаратным ресурсам. Практически отсутствует возможность символьных вычислений. Относительно высокая стоимость. Ввод задач на уникальном языке программирования

Рассмотрим внутреннюю архитектуру СКМ на примере наиболее мощной, по мнению ряда авторитетных специалистов , СКМ Mathematica, обладающей наиболее развитой системой символьной математики. На рис.12.1 представлена ее программная архитектура .

Рис. 12.1.

Центральная часть – ядро ( Kernel ) системы СКМ реализует алгоритм функционирования СКМ, обеспечивает совместное функционирование всех ее частей, организует прием и интеллектуальную обработку запроса пользователя, а затем – вызов нужной процедуры решения. В ядре помещается большое количество встроенных функций и операторов системы. Их количество в современных СКМ может достигать многих тысяч. Например, ядро системы Mathematica 4 содержит данные более чем 5000 одних только интегралов, хотя для интегрирования используются только несколько встроенных функций.

Поиск и выполнение функций и процедур, встроенных в ядро СКМ, выполняется быстро, если их там не слишком много. Поэтому объем ядра ограничивают, но к нему добавляют встроенные в СКМ библиотеки процедур и функций, использующихся относительно редко. При этом общее число доступных пользователю математических функций ядра и этих встроенных библиотек достигает многих тысяч.

Кардинальное расширение возможностей СКМ и их приспособленность к нуждам конкретных пользователей для углубленного решения определенного круга задач (например, задач теоретической и прикладной статистики, векторного анализа) достигается за счет установки внешних пакетов расширения. Эти пакеты, приобретаемые отдельно, делают возможности СКМ практически безграничными.

Все эти библиотеки, пакеты расширений и справочная система современных СКМ (назовем их инструментами СКМ) содержат не только и не просто знания в области математики, накопленные за много веков ее развития (этим никого не удивишь: именно такие возможности характерны для широко распространенного класса ИПО – информационно-поисковых систем). Но восхищает, что эти инструменты удивительным образом автоматически и творчески используют такие знания для решения задач, где нужно выбрать и уметь применить один, единственный из многих десятков, неочевидный метод решения . Например, СКМ могут мгновенно найти неопределенный интеграл либо сразу же сообщить о невозможности его представления элементарными функциями – задача непростая, даже для профессионального математика . Не менее впечатляет и то, что если после получения искомой формулы перейти к началу документа и задать входящим в эту формулу параметрам конкретные числовые значения, мгновенно будет получен ее численный результат. В состав любой СКМ входит набор редакторов (на рис.12.1 они названы редакторами по направлениям): текстовый, формульный, графический редакторы, средства поддержки работы в сети и HTML ( XML )-средства, пакеты анимации и аудиосредства.

Благодаря всем этим возможностям СКМ могут быть отнесены к программным продуктам самого высокого на сегодняшний день уровня – интеллектуального. Такие программы в настоящее время объединяются термином "базы знаний". Современные СКМ, по мнению признанных авторитетов [ , ], предоставляет неискушенному пользователю возможности выпускника математического вуза в областях численных методов расчета, математического анализа, теории матриц и других общих разделах высшей математики, позволяющих получить конструктивные результаты.

Конечно, в абстрактных разделах математики, типа функционального анализа или вопросов "существования и единственности..." СКМ пока вряд ли могут быть полезны (кроме как для предоставления нужной справки, что очень даже немало), но в прикладных задачах, для которых СКМ и создавались, такие разделы математики обычно не задействованы.

12.2. Интегрированная Среда СКМ MathCad

Интегрированная Среда СКМ MathCad является системой СКМ универсального назначения и наиболее приспособлена для решения широкого спектра, а точнее –практически любых математических задач, в основном непрофессиональными математиками, а также для эффективного использования во всех областях сферы образования.

По сей день они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знакомых символов. Такой же вид имеют и результаты вычислений. СКМ MathCad не очень подходит для серьезной профессиональной научной деятельности математиков, она больше предназначена для решения не слишком изощренных математических задач, выполнения технических расчетов любой сложности, а главное – не имеет конкурентов в области образования. Благодаря высоким характеристикам, СКМ MathCad полностью оправдывает термин " CAD " в своем названии ( Computer Aided Design), подтверждающий принадлежность к классу наиболее сложных и совершенных систем автоматического проектирования – САПР . Система MathCad является типичной интегрированной системой, то есть объединяющей в своем составе несколько обособленных программных средств для решения определенного круга самостоятельных задач.. Первоначально она была предназначена для сугубо численных вычислений и ориентирована под MS-DOS , но, начиная с версии 3.0 (1990 г.), работает под ОС Windows и имеет достаточно широкий набор средств для символьных и графических вычислений.

Все действия в СКМ MathCad сразу оформляются в виде документа, состоящего из рабочих листов, на которых помещается описание алгоритма, рабочие формулы, комментарии, иллюстрации, графики, таблицы. Форма такого документа максимально приспособлена для печати, передачи по сети Internet и не требует дополнительного редактирования. С другой стороны, этот документ, имеющий расширение.mcd, содержит в скрытом виде всю программу вычислений. Он может быть импортирован как для целей издания, так и для продолжения и совершенствования программных вычислений. Весь документ или отдельные его части могут быть заблокированы для редактирования путем задания пароля.

На рис.12.2 приведена архитектура СКМ MathCad . Центральным блоком являются два ядра: собственно ядро СКМ и ядро символьных вычислений, аналогичное СКМ Maple , приобретенное у разработчика – фирмы Waterloo Maple .

Встроенные в среду MathCad электронные книги (e-Books) содержат примеры, справки и типовые расчеты из различных областей науки, техники, экономики. Любой фрагмент из этих книг можно скопировать на рабочий лист документа и выполнить.

Библиотеки и пакеты расширений, ориентированные на решение различных прикладных задач, поставляются и устанавливаются разработчиком отдельно.

Мощный интерфейс СКМ MathCad не требует программирования при вводе заданий и индикации результатов – все это выполняется в традиционной форме на общепринятом языке математических символов и формул без применения каких-либо специальных команд или операторов. Показательно, что в каждом алгоритмическом языке простое возведение в степень, в меру фантазий разработчиков языка, выполняется при помощи уникальных собственных условных обозначений – всевозможных стрелочек, крышечек, двойных звездочек и Бог знает чего еще, а то и вовсе отсутствует и требует вызова специальных функций – как в языках семейства Си . В MathCad эта операция имеет привычный вид.

Интерфейс является визуальным – то есть практически любые действия в СКМ можно выполнять без помощи клавиатуры, просто выбирая нужные пункты меню или инструменты на панелях. В этом интерфейсе реализован принцип " WYSIWYG " – что видим на экране, то и получаем в работе и при выводе.

Интерфейс интеллектуален – конечно, здесь далеко до интеллекта Visual Studio-2010, но во многих случаях он не допустит ошибочных действий пользователя.

Упомянутый входной язык ввода является интерпретирующим, то есть промежуточные результаты появляются по мере ввода очередной формулы. Сама же СКМ MathCad написана на одном из самых мощных языков – С++. По мере того, как пользователь набирает на рабочем листе текст алгоритма вычислений, среда сама составляет скрытую программу на промежуточном языке связи, которая затем сохраняется в виде файла с расширением.mcd. К сожалению, исполняемого файла с расширением.ехе пакет MathCad не формирует – для работы с импортированным документом необходимо наличие установленного приложения MathCad . А вот вставить образ документа либо отдельный его фрагмент в текстовый редактор , например, MS WORD , через системный буфер никакого труда не представляет. Именно так и вставлялись все иллюстрации в этой главе. Рекомендую после такой вставки фрагмента вызвать на нем контекстное меню – пункт "Формат рисунка…/Размер" и установить в окне "Масштаб по высоте" 128% – для шрифта 12-го кегля наиболее подходящий.

Объектами рабочего листа могут быть формульные текстовые или графические блоки. Действия над блоками выполняются в строгом порядке слева направо, сверху вниз. Блоки, готовящие операции , должны предшествовать выполнению этих операций. При этом организована сквозная передача данных от одного объекта к другому. Изменение входных данных мгновенно обеспечивает пересчет результатов.

Контент (содержание) этой СКМ можно рассматривать в качестве исключительно мощного справочного средства по математике. Кроме того, в СКМ MathCad интегрированы формульный, текстовый и графический редакторы, позволяющие упростить ввод многоэтажных сложнейших формул и получить итоговый документ. Промежуточные действия в ходе символьных преобразований в СКМ MathCad скрыты от пользователя, но не следует забывать, что для получения конечного результата используются сложнейшие рекурсивные алгоритмы, мало знакомые широкому пользователю и зачастую не оптимальные на взгляд математика . При этом никто не запрещает пользователю пошаговое выполнение и индикацию знакомых из литературы алгоритмов, что значительно упрощает решение при известном конечном результате. В СКМ MathCad не создается итоговый исполняемый *.exe файл , значит, для просмотра готового (например, импортированного) документа требуется наличие установленного пакета СКМ MathCad .

Перечислим основные возможности Среды MathCad .

Общие возможности

1. Разработка и редактирование документов, содержащих как математические формулы любой сложности, так и все встроенные инструменты Среды MathCad . Подготовка этих документов к изданию или передаче по сети Internet.
2. Использование общепринятого расширяемого языка разметки XML как универсального способа организации обмена данными с другими приложениями. Это позволяет преобразовывать файлы MathCad в HTML-страницы и в формат PDF.
3. Возможность вставки в документ широкого спектра объектов (см. рис.12.3 .)
4. Разработка веб-документов и сетевые возможности по их пересылке, получению обновлений и поддержки.
5. Получение документов
6. Выполнение вычислений любой сложности – использование среды MathCad в качестве сверхмощного научного интеллектуального калькулятора с применением богатой библиотеки встроенных функций (более 680; для сравнения, в MS Excel их около 200), с точностью до 17 значащих цифр (а при использовании специальных операторов – и до 250) и с неограниченными возможностями запоминания промежуточных результатов. При этом имеется возможность вычислений как по введенной в документ формуле целиком, так и по отдельному, выделенному фрагменту формулы.
7. Использование графического редактора для построения двумерных и трехмерных графиков любой сложности, наглядных диаграмм и не только для простого построения, но и для связи графика с формулой, при которой изменение параметра сразу отражается на кривой графика. Имеется также возможность создание объектов движущейся анимации и просмотра импортированных файлов, например, видеофильмов в формате AVI при помощи встроенного в среду MathCad проигрывателя Playback .
8. Действия с размерностями.

Численные методы вычислений

• Решение уравнений и систем уравнений, как линейных, так и нелинейных. Нахождение корней многочлена.
• Решение неравенств.
• Вычисление определенного интеграла.
• Вычисление несобственных интегралов.
• Вычисление кратных интегралов.
• Численные методы дифференцирования.
• Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений – задача Коши.
• Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений – решение краевой задачи.
• Решение дифференциальных уравнений в частных производных.
• Вычисление определителя, размерности, ранга и следа матрицы, скалярное и векторное умножение векторов, вычисление якобиана, например, для перехода к другим системам координат в тройном интеграле. Вычисление собственных значений и собственных векторов , поиск максимального и минимального элемента матрицы.
• Матричные преобразования: скалярное и векторное умножение векторов, поиск обратной матрицы и решение системы алгебраических линейных уравнений, всевозможные разложения матрицы на произведение матриц специального вида: двух треугольных – верхней и нижней (LU-преобразование), треугольной и ее же транспонированной (разложение Холецкого), ортогональной и верхней треугольной (QR-разложение), сингулярное разложение.
• Интегрирование среды MathCad с матричной математической системой MATLAB и возможность использования ее аппарата открывает удивительные возможности эффективного решения матричных задач неограниченной сложности.

Решение дифференциальных уравнений

Программирование

Составление программ и выполнение расчетов на упрощенном процедурном алгоритмическом языке с возможностью использования всех процедурных конструкций: условных операторов, циклов, массивов, модуль-функций, модуль-процедур.

Комплексные числа

1. Представление комплексных чисел в традиционной форме, возможность выполнения основных арифметических действия с ними.
2. Возможность автоматического получения результатов многих вычислений в виде комплексного числа (например, всех корней многочлена).
3. Возможность задания комплексного аргумента для многих библиотечных функций и получение математически корректного результата.

Обработка данных и финансовые расчеты

Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое моделирование

Специальные возможности по прикладным инженерным и научным расчетам

1. Обработка электрических сигналов и расчет электронных устройств.
2. Виртуальная генерация электрических сигналов и их обработка.

Системы компьютерной математики (СКА) творят чудеса. Развитие математических пакетов достигло того уровня, когда невольно закрадывается мысль - а зачем нам теперь нужны классические методики преподавания математики (или физики, или механики) в школе или вузе, если большую часть «грязной» работы по преобразованию выражений можно переложить на плечи машины. А если нельзя, или трудно получить аналитическое решение задачи, то почему бы не «прощелкать» её численно в одном из популярных пакетов. Так что, давайте ограничим уровень понимания учеников составлением исходной системы уравнений, а решать учить не будем - всё легко и непринужденно сделает за них компьютер.

Не буду скрывать, что катализатором для написания данного поста послужила любительницах пеших прогулок, взятая из книги В. И. Арнольда. В связи с этим, появилась мысль рассмотреть простую математическую задачу, решение которой показывает, что возможности СКА часто упираются в, довольно закономерный, верхний предел, и для получения компактного решения, пригодного для дальнейшего анализа, необходимо таки немного напрячь извилины.

1. Система тригонометрических уравнений

Когда, в не слишком далеком 2003 году я начал работать над кандидатской диссертацией, я столкнулся с необходимостью решать систему тригонометрических уравнений вида

Параметры a, b, A, B - положительны. На корни уравнения накладываются условия

Где мы сталкиваемся с такими системами? При расчете кинематики замкнутых четырехзвенников, например. Такой замкнутый четырехзвенник был в моей работе, почти такой же попался мне около года назад, когда я взялся сделать «шабашку» (помог одному профессору в его работе).

Тогда, в 2003-м я только познакомился с системой Maple и был в восторге от её возможностей, естественно я поручил эту систему ей. И меня ждал «облом»… Посмотрим, какое решение дают Maple 18 и Mathematica 10 для этой задачи сегодня.

2. Решение задачи в СКА «в лоб»

В моем любимом Maple задаем систему уравнений

Restart; eq01:= a*cos(x) + b*cos(y) = A; eq02:= a*sin(x) - b*sin(y) = B;

И пробуем решить

Solv:= solve({eq01, eq02}, {x, y});

И получаем…

Эта бяка не влезла в онлайн-LaTeX, поэтому пришлось привести скриншот. Такой результат получается из-за того, что постановка задачи слишком общая. Необходимо указать системе, какое решение нас интересует, воспользовавшись условием (3)

Solv:= solve({eq1, eq2, x > 0 and x < Pi, y > 0 and y < Pi}, {x, y});

В этом случае результат выглядит получше

Ещё раз попрошу прощения у читателя за корявый скриншот и замечу, что мы получили два решения системы (1) - (3) и нам теперь ещё предстоит разобраться, какой ответ соответствует механическому смыслу задачи (он там есть, да), а учитывая, что за a, b, A и B могут таится довольно значительные выражения (не зависящие, естественно, от x и y) нам должно стать довольно грустно в этот момент.

У системы Mathematica 10 с этими уравнениями лучше дела обстоят в том смысле, что она получает конечную форму общего решения, часть которого на скрине

Если систему дополнить условием (3), то Вольфрам говорит нам, что Solve[...] не имеет метода решения для такого случая (был бы признателен читателю за подсказку по этому вопросу, ибо считаю что сам я вопрос изучил не полностью, а пока продолжу повествование).

Кроме того, обе СКА выдают в решении богомерзкий арктангенс, который не всегда удобен по разным причинам, о которых говорить не буду - в каждом случае причины свои.

Когда мой покойный ныне «шеф» увидел эти решения в 2003 году, он задумался и изрек, что «эти крокодилы надо причесать», чем заставил меня погрузится в дальнейшие раздумья. И я снова вооружился листком бумаги и карандашом…

3. СКА + головной мозг

Чтобы получить достаточно компактное решение, надо преобразовать систему (1) - (3) к линейной относительно неизвестных. Для этого надо воспользоваться школьными знаниями по тригонометрии.

Итак, возведем уравнения (1) и (2) в квадрат и сложим, перенеся всё, что не зависит от x и y в правую часть уравнения

Left1:= lhs(eq01): left2:= lhs(eq02): right1:= rhs(eq01): right2:= rhs(eq02): eq03:= simplify(left1^2 + left2^2)= right1^2 + right2^2; eq03:= eq03 - (a^2 + b^2); left3:= combine(lhs(eq03)); eq03_1:= left3 = rhs(eq03);

Используя формулу «косинус суммы», получим новое уравнение

Теперь, разрешая его относительно суммы неизвестных приходим к линейному уравнению

Линейное уравнение оно и в Африке линейное - найдя одну неизвестную, получим и другую. Займемся другой неизвестной, исключив x из одного их уравнений. Так как у нас есть условие (3), то очевидно, что

А это дает нам возможность воспользоваться основным тригонометрическим тождеством без неоднозначности «плюс-минус»

Косинус икса берем из первого уравнения

Получая, таким образом для синуса икс

Чтобы не пыхтеть над бумагой, поручим всё это Maple

Eq01_1:= subs(cos(x) = u, eq01); slv:= solve(eq01_1, u); eq02_1:= subs(sin(x) = sqrt(1-slv^2), eq02); eq02_1:= eq02_1 + b*sin(y);

Имея на выходе уравнение

Уравнение (7) надо возвести в квадрат и провести некоторые преобразования

Left:= expand(lhs(eq02_1)^2): right:= expand(rhs(eq02_1)^2): eq02_2:= collect(simplify(right - left), b); eq02_3:= subs(coeff(eq02_2, b) = tmp, eq02_2); slv2:= solve(eq02_3, tmp); eq02_4:= -2*A*cos(y) + 2*B*sin(y) = slv2; eq02_5:= eq02_4/(-2);

А теперь выполним, известный многим, «финт ушами»

Left2:= lhs(eq02_5); left3:= subs(A = O2A*cos(xi), B = O2A*sin(xi), left2); left4:= subs(O2A = sqrt(A^2 + B^2), combine(left3));

То есть, делим обе части уравнения на и сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы, справедливо полагая что

Получаем новое уравнение,

Которое успешно решаем относительно y

Eq02_6:= left4 = rhs(eq02_5); slv3:= subs(xi = arccos(A/sqrt(A^2 + B^2)), solve(eq02_6, y)):

Как видим, игрек вышел довольно компактным. Возвращаемся к уравнению (5) и находим икс

Компьютер – система очень сложная. Состоит он из разных компонент (Как устроен компьютер.) – центрального процессора, оперативной и внешней памяти, дисплеев, принтеров…

И все эти устройства должны работать согласованно, как один механизм.

Согласованность достигается с помощью операционной системы. Это не устройство, не узел. Операционная система компьютера – программа. Но программа не простая. Она обеспечивает работу всех устройств компьютера, следит за выполнением других, рабочих программ.

Особенно эти моменты важны, когда на одном компьютере работает много пользователей. А это для больших, средних и даже малых компьютеров дело привычное.

Например, система продажи железнодорожных билетов «Сирена» (Как работает «Сирена».) насчитывает десятки терминалов, которые должны работать одновременно. Причем если печатающие устройства у всех кассиров свои, то центральный процессор, лентопротяжные механизмы и дисководы у них общие.

Задача операционной системы организовать работу с общими устройствами так, чтобы они не мешали друг другу.

А то возможны довольно неприятные ситуации. Представь себе, что решаются две задачи, которые требуют использования лентопротяжного механизма и принтера.

И вот одна из них «захватила» лентопротяжный механизм и ждет, когда освободится принтер. Другая же успела оккупировать принтер и ждет лентопротяжный механизм. Так они могут ждать друг друга вечно. Недаром программисты подобные ситуации называют «смертельные объятия».

Или понадобилось одной задаче вывести результаты на печать, она напечатала строку. Потом то же сделала другая задача, потом третья. Разобраться в полученной печатной «каше» вряд ли кому-нибудь будет по силам.

Вот операционные системы и призваны следить, чтобы подобных ситуаций не было.

Существует несколько способов организации работы компьютеров при одновременном использовании его несколькими пользователями.

Можно решать задачи, поступающие с разных терминалов последовательно, одну за другой. Операционная система ставит их в очередь либо в порядке поступления, либо по уровню важности. Как только решение одной задачи заканчивается, загружается следующая и т. д.

При этом, пока очередная задача решается, можно выводить результаты решения предыдущей на печать.

Такой режим работы называется пакетным. Он наиболее удобен, когда решаются большие задачи, не требующие вмешательства человека.

Можно организовать работу в режиме реального времени. Это необходимо, когда компьютер используют для управления самолетом или работой электростанции.

Здесь важно немедленно обрабатывать информацию от объекта, которым управляют, получать ответ на изменение ситуации и передавать управляющие сигналы.

Существует еще режим разделения времени, при котором у каждого программиста, работающего на машине, создается впечатление, что он работает в одиночку.

Такой способ выбирают, когда работа идет в режиме диалога: вопрос человека – ответ компьютера. При этом ответ приходит почти мгновенно.

В общем, способов построения операционных систем существует много. На одном и том же компьютере могут работать разные операционные системы. Какую из них использовать – зависит от типов задач, решаемых на компьютере.

Комметирование закрыто now!

В этой статье вниманию наших читателей предлагается обзор самых популярных математических систем, представленных на российском рынке программного обеспечения.

Последнее время в широких кругах пользователей вычислительных машин различного класса стал достаточно популярным и широко используемым термин «компьютерная математика». Данное понятие включает совокупность как теоретических и методических средств, так и современных программных и аппаратных средств, позволяющих производить все математические вычисления с высокой степенью точности и производительности, а также строить сложные цепочки вычислительных алгоритмов с широкими возможностями визуализации процессов и данных при их обработке.

Спрос на универсальные и специализированные программные пакеты для решения различных прикладных задач вызвал появление на рынке программных продуктов систем компьютерной математики, которые быстро стали популярными. На рынке современных математических систем в настоящее время присутствует целый ряд крупных фирм: Macsyma, Inc., Waterloo Maple Software, Inc., Wolfram Research, Inc., MathWorks, Inc., MathSoft, Inc., SciFace GmbH и др. К разработке каждой такой математической системы привлекаются сотни профессионалов из известных университетов и крупных научных центров, а также высококвалифицированные программисты и эксперты в области проектирования сложных программных систем. В результате мы имеем весьма совершенные, гибкие и одновременно универсальные продукты, включающие существенные математические понятия и обладающие богатым набором методов для решения общих математических и научно-технических задач. Именно обзору и краткому анализу таких программных продуктов и посвящена данная статья.

MATLAB

MATLAB - продукт компании MathWorks, Inc.(http://www.mathwork.com/), представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB - математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач - от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Мультиплатформенность MATLAB сделала его одним из самых распространенных продуктов - он фактически стал принятым во всем мире стандартом технических вычислений. MATLAB имеет широкий спектр применений, в том числе цифровую обработку сигналов и изображений, проектирование систем управления, естественные науки, финансы, экономику, приборостроение и т.п. Цена - 2940 долл.

Maple

Данный продукт компании Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/) часто называют системой символьных вычислений или системой компьютерной алгебры. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладающий интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом, этот продукт уже завоевал популярность у российских математиков и инженеров. Цена Maple 7 - 1695 долл.

Mathematica

Система Mathematica - компании Wolfram Research, Inc. (http://www.wolfram.com/) имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования. Цена - 1460 долл.

Macsyma

Macsyma от компании Macsyma, Inc. (http://www.macsyma.com/) - это одна из первых математических программ, оперирующих символьной математикой. Сильные стороны Macsyma - развитой аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Система ориентирована на прикладные расчеты и не предназначена для теоретических исследований в области математики. В связи с этим в программе отсутствуют или сокращены разделы, связанные с теоретическими методами (теория чисел, теория групп, и др.). Пожалуй, главным преимуществом Macsyma перед другими универсальными математическими пакетами является то, что пользователь может аналитически и численно решать большое количество различных типов уравнений в частных производных. Macsyma имеет очень удобный интерфейс. Рабочим документом программы является научная тетрадь, в которой содержатся доступные для редактирования поля текста, команд, формул и графиков. Отличительной особенностью пакета является совместимость с текстовым редактором Microsoft Word. Почти все команды Macsyma в библиотечных файлах загружаются автоматически; очень удобно и окно просмотра (браузер) математических функций. Macsyma генерирует коды FORTRANа и C, включая управляющие операторы. Система работает на платформе Intel под управлением OS Windows.

MuPAD

В сравнении с другими математическими пакетами MuPAD - продукт компании SciFace GmbH (http://www.sciface.com/) - является относительно молодым продуктом, однако это не мешает ему уверенно конкурировать с ними. MuPAD является программным пакетом компьютерной алгебры, предназначенным для решения математических задач различного уровня сложности. Основные качественные отличия MuPAD - невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач. Пакет поддерживает большой набор математических объектов и алгоритмов для самого широкого круга задач. Работа пользователя проходит в окне блокнота, позволяющего перемежать текст с математическими формулами, форматированным текстом и выводом решений, включая двух- и трехмерную графику. Для разработки собственных алгоритмов и функций на базе библиотеки функций MuPAD в системе предусмотрены специальный паскалеподобный язык программирования и интерактивный пошаговый отладчик. Созданные пользователем алгоритмы могут объединяться в отдельные библиотеки. Цена MuPAD 2.0 - 700 долл.

S-PLUS

S-PLUS - продукт компании Insightful Corporation (http://www.insightful.com/), ранее известной как подразделение MathSoft, а теперь являющейся одним из мировых лидеров в области статистического анализа данных, визуализации и прогнозирования. S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык. Гибкая система S-PLUS может использоваться для исследовательского анализа данных, статистического анализа и математических вычислений, а также для удобного графического представления анализируемых данных. К основным достоинствам S-PLUS относятся непревзойденная функциональность, возможность интерактивного визуального анализа данных, интуитивно понятные интерфейс пользователя и методы подготовки анализируемых данных, простота использования самых современных статистических методов, мощные вычислительные возможности, расширяемый набор статистических методов, гибкий интерфейс пользователя. Цена - 2865 долл.

КомпьютерПресс 12"2001

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Курсовая работа

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Mathcad

1.1 Переменные и константы

1.2 Векторы и матрицы

1.3 Операторы

1.4 Встроенные функции

1.5 Программирование

1.6 Решение уравнений

1.7 Символьные вычисления

1.8 Графики

1.9 Полярные графики

1.10 Графики поверхностей

ГЛАВА 2. Matlab

2.1 Операционная среда системы MATLAB

2.2 Массивы, матрицы и операции с ними

2.3 Математические функции и операции

2.4 Линейная алгебра

2.5 Анализ и обработка данных

2.6 Графические команды и функции

2.7 Программирование в среде MATLAB

ГЛАВА 3. Mathematica

3.1 Mathematica как калькулятор

3.2 Палитры и кнопки

3.3 Вычислительная мощь системы Mathematica

3.4 Математические возможности системы Mathematica

3.5 Построение вычислений

3.6 Визуализация в системе Mathematica

3.7 Основной подход к описанию объектов

3.8 Mathematica как язык программирования

ГЛАВА 4. Сравнительный анализ. Вывод

ГЛАВА 5. Практическая часть

Список использованных источников

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Введение

В наше время в связи с развитием информационных технологий появились так называемые системы компьютерной математики, или их ещё называют математические пакеты, которые облегчают выполнение различных математических задач, помогают проверить решение задачи с помощью компьютерной программы. Намного сокращается время выполнения задач различной сложности. Для сотен тысяч специалистов в различных отраслях промышленности, занятых инженерными и научными исследованиями, системы компьютерной математики обеспечили превосходную среду для организации вычислений. Поэтому знакомство с основами организации математических пакетов может быть полезно как специалистам, приступающим к освоению этой системы, так и студентам вузов по самым различным специальностям.Они имеют чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы, так называемые элементарные функции и огромное количество неэлементарных, алгебраические и логические операции.Большинство упражнений из курса высшей математики может быть решено с помощью всего лишь одной команды. Можно вычислять интегралы, решать дифференциальные уравнения, обыкновенные уравнения и системы линейных уравнений. Предоставлен широкий выбор работы с матрицами, векторами. Возможно построение двумерных и трёхмерных графиков. Существует несколько математических пакетов, таких как Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple, Statistica и другие. Но на примере рассмотрим три из них: Mathcad, MATLAB и Mathematica; каждый в отдельности - его особенности и интерфейс, а потом проведём сравнительный анализ между ними.

Глава 1. Mathcad

Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности. Меню в Mathcad не представляет собой ничего необычного: как и во многих других программах имеются различные панели инструментов, панель форматирования. Кроме того есть панель "Математика", которая включает в себя такие панели как "Калькулятор", "Графика", "Матрицы", "Вычисления", "Исчисление", "Логический", "Программирование", "Греческий" и "Символьный". Эти панели содержат различные символы, не набираемые с клавиатуры, а также функции.

1.1 Переменные и константы

Здесь описаны допустимые имена переменных и функций Mathcad, предопределенные переменные подобные, а также представления чисел. Mathcad оперирует комплексными числами так же легко, как и вещественными. Переменные Mathcad могут принимать комплексные значения, и большинство встроеннных функций определено для комплексных аргументов.

Имена

Mathcad различает греческие и римские буквы.

Если использовать греческий символ вместо соответствующего римского в имени переменной или функции, Mathcad воспримет его как другое имя.

Буквенные индексы

Если поместить точку в имени переменной, Mathcad отобразит всё следующее за ней как нижний индекс. Можно использовать эти буквенные нижние индексы для создания переменных с именами подобными vel init и u air .

Предопределённые переменные

Mathcad содержит восемь переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Эти переменные называются предопределенными или встроенными переменными. Предопределенные переменные или имеют общепринятое значение, подобно p и e , или используются как внутренние переменные, управляющие работой Mathcad, подобно ORIGIN и TOL.

Можно управлять значениями TOL, ORIGIN, PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH без необходимости явно определять их в рабочем документе.

Полный список предопределенных переменных Mathcad и их значений по умолчанию приведён ниже. См. «Таблица 1» («Приложение 1»).

Числа

Этот раздел описывает различные типы чисел, используемых Mathcad, и способы их записи в формулы.

Используемые числа

Mathcad интерпретирует всё, начинающееся цифрой, как число. Цифра может сопровождаться:

· другими цифрами,

· десятичной точкой,

· цифрами после десятичной точки,

· одной из букв h или o, для шестнадцатеричных и восьмеричных чисел, i или j для комплексных чисел.

В Mathcad для отделения дробной части десятичной дроби используется точка, а запятая используется для отделения чисел друг от друга, например, значений дискретного аргумента или чисел в таблице ввода.

Мнимые числа

Для ввода мнимого числа нужно вслед за его модулем ввести символ мнимой единицы i или j , например, 1i или 2.5j . Нельзя использовать i или j сами по себе для обозначения мнимой единицы.

1.2 Векторы и матрицы

Здесь описаны массивы в Mathcad. В то время как обычные переменные (скаляры) хранят одиночное значение, массивы хранят много значений. Как обычно принято в линейной алгебре, массивы, имеющие только один столбец, будут часто называться векторами, все прочие - матрицами.

Вычисления с массивами

Переменные могут представлять массивы так же, как скаляры. Определение переменной как массива во многом схоже с определением скаляра.

Например, если мы определили вектор v , Можно теперь использовать имя v вместо самого вектора в любом выражении.

Нижние индексы и верхние индексы

Можно обращаться к отдельным элементам массива, используя нижние индексы. Можно также обращаться к отдельному столбцу массива, используя верхний индекс. Чтобы напечатать нижний индекс, используйте кнопки на панели инструментов.

Вектор и элементы матрицы обычно нумеруются, начиная с нулевой строки и нулевого столбца.

Векторные и матричные операторы

Некоторые из операторов Mathcad имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения означает просто умножение, когда применяется к двум числам, но он же означает скалярное произведение, когда применяется к векторам, и умножение матриц -- когда применяется к матрицам. Список векторных и матричных операторов приведён ниже. См. «Таблица 2» («Приложение 2»).

Векторные и матричные функции

Mathcad содержит функции для обычных в линейной алгебре действий с массивами. Эти функции предназначены для использования с векторами и матрицами. Если явно не указано, что функция определена для векторного или матричного аргумента, не следует в ней использовать массивы как аргумент.

Размеры и диапазон значений массива

В Mathcad есть несколько функций, которые возвращают информацию относительно размеров массива и диапазона его элементов: rows(A) - число строк в массиве A , cols(A) - число столбцов в массиве A , length(v) - число элементов в векторе v, max(A) - самый большой элемент в массиве A.

Специальные типы матриц

Можно использовать следующие функции, чтобы произвести от массива или скаляра матрицу специального типа или формы. Это функции diag (возвращает диагональную матрицу), rref (Ступенчатая форма матрицы) identity (n ) (единичная матрица n x n) и другие функции.

Специальные характеристики матрицы

Можно также находить ранг матрицы: rank (A ) и норму: norm 1(А) .

Формирование новых матриц из существующих

В Mathcad есть функции для объединения матриц вместе -- бок о бок, или одна над другой. Одна из них: stack (А, В ) - массив, сформированный расположением A над B . В Mathcad также есть функция для извлечения подматрицы: submatrix (А , ir , jr , ic , jc ) - Субматрица, состоящая из всех элементов, содержащихся в строках с ir по jc и столбцах с ic по jc .

1.3 Операторы

В Mathcad используются обычные операторы, подобные + и /, а также операторы, определенные для матриц, например, операторы транспонирования и нахождения детерминанта, и специальные операторы типа вычисления интегралов и производных.

Список операторов

Неполный список операторов Mathcad приведён ниже. См. «Таблица 3» («Приложение 3»). Большинство операторов можно ввести в рабочий документ, используя палитры операторов. Чтобы открыть палитру операторов, нажмите на нужную кнопку на полосе кнопок непосредственно под командами меню.

Все перечисленные в таблице операторы можно набирать с клавиатуры, можно найти на панели инструментов в меню Математика . Это панели Арифметика, Матанализ, Булево.

1.4 Встроенные функции

Здесь перечислены и описаны многие из встроенных функций Mathcad.

Функции, используемые для работы с векторами и матрицами, описаны в Пункте “Векторы и матрицы”.

Вставка встроенных функций

Чтобы вставить функцию в Mathcad, можно кликнуть на панели инструментов Вставить ->Функция.

Трансцендентные функции

Этот раздел описывает тригонометрические, гиперболические и показательные функции Mathcad вместе с обратными им.

Тригонометрические функции и обратные им. Тригонометрические функции Mathcad и обратные им определены для любого комплексного аргумента. Они также возвращают комплексные значения везде, где необходимо.

Вот некоторые из них: sin(z) - возвращает синус z, asin(z) - возвращает угол в радианах, чей синус z, sec(z) - возвращает 1/cos(z), секанс z. Остальные тригонометрические функции определяются аналогично.

Гиперболические функции

Эти функции также могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями.

Одна из них - sinh (z) - возвращает гиперболический синус z.

Логарифмические и показательные функции

Логарифмические и показательные функции Mathcad могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения: exp(z) -возвращает e в степени z, ln(z) - возвращает натуральный логарифм z,

log(z) - возвращает логарифм z по основанию 10.

Усечение и функции округления

Все эти функции извлекают какую-либо часть своего аргумента.

Функции Re, Im и arg извлекают соответствующую часть комплексного числа (вещественная, мнимая, и когда z представлен в форме re i q). Функции ceil и floor возвращают ближайшее целое число большее и меньшее аргумента соответственно. Эти функции могут быть использованы для создания функции, возвращающей дробную часть числа.

Функции сортировки

Mathcad содержит три функции для сортировки массивов и одну для обращения порядка их элементов:

sort(v) - возвращает элементы вектора v , отсортированные в порядке возрастания.

1.5 Программирование

Mathcad позволяет писать программы. Программа в Mathcad есть выражение, в свою очередь, состоящее из других выражений. Программы Mathcad содержат конструкции, во многом подобные программным конструкциям языков программирования: условные передачи управления, операторы циклов, области видимости переменных, использование подпрограмм и рекурсии. Написание программ в Mathcad позволяет решить такие задачи, которые невозможно или очень трудно решить другим способом.

Создание программ

Программа Mathcad есть частный случай выражения Mathcad. Подобно любому выражению, программа возвращает значение, если за ней следует знак равенства. Точно так же, как переменную или функцию можно определить через выражение, их можно определить и с помощью программы.

Главным различием между программой и выражением является способ задания вычислений. При использовании выражения алгоритм получения ответа должен быть описан одним оператором. В программе может быть использовано столько операторов, сколько нужно.

Условные операторы

Обычно Mathcad выполняет операторы программы в порядке сверху вниз. Могут встретиться случаи, в которых какой-нибудь оператор нужно выполнить только в случае выполнения некоего условия. Этого можно добиться с помощью оператора “if ”.

Циклы

Одним из величайших преимуществ программирования является возможность многократного выполнения некоторой последовательности операторов в цикле. Mathcad предлагает два вида циклов, отличающихся по способу определения условия завершения цикла.

· Если заранее точно известно необходимое число выполнений цикла, то целесообразно использовать цикл типа for .

· Если цикл должен завершиться по выполнении некоторого условия, причем момент выполнения этого условия заранее не известен, то целесообразно использовать цикл типа while .

Программы в программах

Одной из черт, определяющих гибкость методов программирования, является возможность использовать одни программные структуры внутри других. В Mathcad это можно сделать тремя путями:

· Один из операторов программы можно сделать, в свою очередь, программой.

· Можно определить программу где-нибудь в другом месте и вызывать ее из других программ так, как если бы она была подпрограммой.

· Можно определить функцию рекурсивным образом.

1.6 Решение уравнений

Здесь описано, как при помощи Mathcad решать уравнения и системы уравнений. Можно решать как одно уравнение с одним неизвестным, так и системы уравнений с несколькими неизвестными. Максимальное число уравнений и неизвестных в системе равно пятидесяти.

Решение одного уравнения

Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция roo t (f (z ), z ) - возвращает значение z, при котором выражение или функция f (z ) обращается в 0.

Функция root предназначена для решения одного уравнения с одним неизвестным.

Системы уравнений

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня. Для символьного решения уравнений необходимо использовать блоки символьного решения уравнений. При символьном решении уравнений искомый корень выражается через другие переменные и константы.

Find (z 1, z 2, z 3, . . .) - возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given , стоящее вначале определения уравнения, сами уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называются блоком решения уравнений .

1.7 Символьные вычисления

Здесь описываются символьные преобразования в Mathcad. Символьные преобразования описаны ниже. См. «Таблица 4» («Приложение 4»).

1.8 Графики

Графики в Mathcad являются и универсальными, и легкими в использовании. Чтобы создать график, щёлкните в месте, где нужно вставить график, выберите Декартов график из меню Графика и заполните пустые поля. Можно всячески форматировать графики, изменяя вид осей и начертания кривых и испольуя различные метки.

Вставка графика

Чтобы вставить график в Mathcad, можно кликнуть на панели инструментов «Графика».

Вообще графики строятся на основе имеющихся шаблонов. Первоначально необходимо задать функцию графика.

Редактируются нижние, верхние, левые и правые границы графика. Если нажать двойным щелчком левой кнопкой мыши на графике, то появится настройка графика: осей координат, цвет, стиль вывода линий. Также можно задать диапазон с шагом. Для параметрического задания функции диапазон обязателен.

1.9 Полярные графики

В ряде случаев при построении графиков удобнее пользоваться полярными, а не декартовыми координатами. Mathcad позволяет строить полярные графики.

Здесь также возможно редактирование графика и размещение нескольких графиков в одной области.

1.10 Графики поверхностей

В рабочие документы Mathcad можно включать наряду с двумерными и трехмерные графики. В отличие от двумерных графиков, которые используют дискретные аргументы и функции, трехмерные графики требуют матрицы значений. Здесь показано, как можно матрицу представить в виде поверхности в трехмерном пространстве. Также рассматривается создание, использование и форматирование поверхностей в трехмерном пространстве.

Глава 2. MATLAB

MATLAB - это интерактивная система, основным объектом которой является массив, для которого не требуется указывать размерность явно. Это позволяет решать многие вычислительные задачи, связанные с векторно-матричными формулировками, существенно сокращая время, которое понадобилось бы для программирования на скалярных языках типа C или FORTRAN.

Система MATLAB - это одновременно и операционная среда и язык программирования. Одна из наиболее сильных сторон системы состоит в том, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов.

2.1 Оп ерационная среда системы MATLAB

Операционная среда системы MATLAB - это множество интерфейсов, которые поддерживают связь этой системы с внешним миром. Это - диалог с пользователем через командную строку или графический интерфейс, просмотр рабочей области и путей доступа, редактор и отладчик М-файлов, работа с файлами и оболочкой DOS, экспорт и импорт данных, интерактивный доступ к справочной информации, динамическое взаимодействие с внешними системами Microsoft Word, Excel Microsoft Word, Excel и др.. Реализуются эти интерфейсы через командное окно, инструментальную панель, системы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов, специальные меню и т.п.

Командное окно

Командное окно системы MATLAB содержит опции, которые можно посмотреть в «Таблице 5» («Приложение 5»).

Инструментальная панель

Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами.

Эти операции включают:

· создание нового М-файла (New File);

· открытие существующего М-файла (Open File);

· копирование фрагмента (Copy);

· вставка фрагмента (Paste);

· просмотр рабочей области (Workspace Browser);

· текущая помощь (Help).

Редактор/отладчик М-файлов

В состав системы MATLAB входит редактор/отладчик М-файлов M-file Editor/Debugger, который может быть вызван из командной строки командой edit или edit <имя М-файла>.

2.2 Массивы, матрицы и операции с ними

Массивы являются основными объектами в системе MATLAB. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы.

Формирование массивов специального вида

· ZEROS - формирование массива нулей

· ONES - формирование массива единиц

· EYE - формирование единичной матрицы

· CROSS - векторное произведение

Операции над матрицами

· DIAG - формирование или извлечение диагоналей матрицы

· TRIU - формирование верхнетреугольной матрицы (массива)

· FLIPUD - поворот матрицы относительно горизонтальной оси и другие.

Специальные матрицы

· MAGIC - магический квадрат

2.3 Ма тематические функции и операции

В системе MATLAB имеется обширная библиотека математических функций. Каждой функции соответствует определенное имя. Функция ставит в соответствие значениям своих аргументов значение результата.

Аргументы функции всегда указываются в круглых скобках после имени функции и, если их больше одного, разделяются запятыми.

Математические операции

· a+b - сложение

· a=b - оператор присваивания

· a.*b - поэлементное умножение

· a*b - матричное умножение

· a.^b - поэлементное возведение в степень

· a^b - матричное возведение в степень

· a>b - больше

· a>=b - больше или равно

· a~=b - неравно

· a==b - равно

· a&b - логическое И

· a|b - логическое ИЛИ

· ~a - логическое НЕ

· a." - транспонирование

· a" - комплексно-сопряженное транспонирование

· b(a) - индексирование

Базовые функции

· ABS - абсолютное значение

· ANGLE - аргумент комплексного числа

· REAL, IMAG - действительная и мнимая части комплексного числа

· CEIL, FIX, FLOOR, ROUND - функции округления

Трансцендентные функции

· SQRT - квадратный корень

· EXP - экспоненциальная функция

· LOG - функция натурального логарифма

· LOG10 - функции логарифма

Тригонометрические функции

· SIN, SINH - функции синуса

· COS, COSH - функции косинуса

· TAN, TANH - функции тангенса

· COT, COTH - функции котангенса

2.4 Линейная алгебра

Матрица как математический объект возникает при решении конкретных вычислительных задач, и в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения. Прикладные задачи, которые порождают матрицы, определяют для них специальную совокупность допустимых операций, среди которых особое место занимает операция умножения.

Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами.

Характеристики матриц

· NORM - нормы векторов и матриц

· RANK - ранг матрицы

· DET - определитель матрицы

· RREF - треугольная форма матрицы

2.5 Анализ и обработка данных

В этой главе описаны функции системы MATLAB, которые предназначены для анализа и обработки данных, заданных в виде числовых массивов. Здесь рассмотрены функции вычисления среднего, медианы, конечных разностей, градиента. Представлены функции численного интегрирования, решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основные операции

· SUM, CUMSUM - суммирование элементов массива

· PROD, CUMPROD - произведение элементов массива

· SORT - сортировка элементов массива по возрастанию

· MAX - определение максимальных элементов массива

· MIN - определение минимальных элементов массива

Численное интегрирование

· TRAPZ - интегрирование методом трапеций

· QUAD, QUAD8 - вычисление интегралов методом квадратур

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений

· ODE23, ODE45 - решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Вычисление минимумов и нулей функции

· FMIN, FORTIONS - минимизация функции одной переменной

· FMINS - минимизация функции нескольких переменных

· FZERO - нахождение нулей функции одной переменной

· FPLOT - построение графиков функции одной переменной

2.6 Графические команды и функции

Начиная с версии 4.0, в состав системы MATLAB входит мощная графическая подсистема, которая поддерживает как средства визуализации двумерной и трехмерной графики на экран терминала, так и средства презентационной графики.

Элементарные графические функции системы MATLAB позволяют построить на экране следующие типы графиков: линейный, логарифмический, полярный.

Для каждого графика можно задать заголовок, нанести обозначение осей и масштабную сетку.

Двумерные графики

· PLOT - график в линейном масштабе

· LOGLOG - график в логарифмическом масштабе

· SEMILOGX, SEMILOGY - график в полулогарифмическом масштабе

· POLAR - график в полярных координатах

Трехмерные графики

В системе MATLAB предусмотрено несколько команд и функций для построения трехмерных графиков.

Значения элементов числового массива рассматриваются как z-координаты точек над плоскостью, определяемой координатами x и y. Возможно несколько способов соединения этих точек. Первый из них - это соединение точек в сечении (функция plot3), второй - построение сетчатых поверхностей (функции mesh и surf).

· PLOT3 - построение линий и точек в трехмерном пространстве

· MESH, MESHC, MESHZ - трехмерная сетчатая поверхность

· SURF, SURFC - затененная сетчатая поверхность

· ZOOM - управление масштабом графика

· COLORMAP - палитра цветов

Надписи и пояснения к графикам

· TITLE - заголовки для двух- и трехмерных графиков

· XLABEL, YLABEL, ZLABEL - обозначение осей

· TEXT - добавление к текущему графику текста

Специальная графика

Раздел специальной графики включает графические команды и функции для построения столбцовых диаграмм, гистограмм, средств отображения векторов и комплексных элементов, вывода дискретных последовательностей данных, а также движущихся траекторий, как для двумерной, так и для трехмерной графики.

· BAR - столбцовые диаграммы

· HIST - построение гистограммы

· STEM - дискретные графики

· STAIRS - ступенчатый график

· WATERFALL - трехмерная поверхность

2.7 Программирование в среде MATLAB

Программирование

Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результатом является значение выходной переменной. Таким образом, вся процедура включает две операции:

· Создать M-файл, используя текстовый редактор.

· Вызвать M-файл из командной строки или из другого M-файла:

Типы M-файлов. Существует два типа M-файлов: М-сценарии и М-функции с характеристиками, указанными в «Таблице 6» («Приложение 6»).

Структура M-файла.

М-файл, оформленный в виде функции, состоит из следующих компонентов:

· Строка определения функции

· Первая строка комментария

· Комментарий

· Тело функции

Создание М-файлов. M-сценарии. M-функции

M-файлы являются обычными текстовыми файлами, которые создаются с помощью текстового редактора. Для операционной среды персонального компьютера система MATLAB поддерживает специальный встроенный редактор/отладчик, хотя можно использовать и любой другой текстовый редактор с ASCII-кодами.

М-сценарии

Сценарии являются самым простым типом M-файла - у них нет входных и выходных аргументов. Они используются для автоматизации многократно выполняемых вычислений. Сценарии оперируют данными из рабочей области и могут генерировать новые данные для последующей обработки в этом же файле. Данные, которые используются в сценарии, сохраняются в рабочей области после завершения сценария и могут быть использованы для дальнейших вычислений.

М-функции

М-функции являются M-файлами, которые допускают наличие входных и выходных аргументов. Они работают с переменными в пределах собственной рабочей области, отличной от рабочей области системы MATLAB.

Структура М-функции. M-функция состоит из:

· строки определения функции;

· первой строки комментария;

· собственно комментария;

· тела функции;

· строчных комментариев;

Каждая функция в системе MATLAB содержит строку определения функции, подобную приведенной.

Если функция имеет более одного выходного аргумента, список выходных аргументов помещается в квадратные скобки. Входные аргументы, если они присутствуют, помещаются в круглые скобки. Для отделения аргументов во входном и выходном списках применяются запятые.

Имена входных переменных могут, но не обязаны совпадать с именами, указанными в строке определения функции.

Комментарий . Для M-файлов можно создать online-подсказку, вводя текст в одной или более строках комментария.

Тело функции . Тело функции содержит код языка MATLAB, который выполняет вычисления и присваивает значения выходным аргументам. Операторы в теле функции могут состоять из вызовов функций, программных конструкций для управления потоком команд, интерактивного ввода/вывода, вычислений, присваиваний, комментариев и пустых строк.

Глава 3. Mathematica

Система Mathematica, созданная лет десять тому назад, имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. Все так называемые элементарные функции и огромное количество неэлементарных; алгебраические и логические операции. Система Mathematica очень широко распространена в мире, ею захвачены огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в системе образования.

3 .1 Mathematica как калькулятор

Можно использовать программу Mathematica просто как калькулятор: вводятся данные и Mathematica выводит результат.

Mathematica автоматически обрабатывает числа любого размера.

Можно работать в стандартной математической форме записи, используя палитры или специальные сочетания клавиш.

Важной особенностью системы Mathematica является ее способность оперировать с символьными выражениями так же легко, как и с числами.

Решение уравнения в системе Mathematica. Корни уравнения находятся с помощью функции Solve . Корни уравнения есть функции, зависящие от параметра.

Вычисление интеграла происходит аналогично вычислениям в других

математических пакетах.

Можно использовать систему Mathematica для построения двумерных и трехмерных графиков функций.

График этой функции показан в «Рисунке 1» («Приложение 7»).

Можно воспользоваться большим количеством вычислительных возможностей системы Mathematica простым нажатием одной из кнопок в стандартных палитрах.

3.2 Палитры и кнопки

Палитры и кнопки реализуют простой и полностью настраиваемый "мышиный" (point-and-click) интерфейс системы Mathematica.

Mathematica поставляется с несколькими стандартными палитрами.

Часть палитры Basic Calculations показана в «Таблице 7» («Приложение 8»).

Палитры являются расширением представленной клавиатуры.

В палитре символ означает позицию, в которую нужно вставить какое-либо выражение: Log , 2 , Exp, и т. д.

Создать свою собственную палитру очень легко.

С помощью команды Create Table/Matrix/Palette в меню Input можно сделать свою палитру.

Можно создавать свои палитры для ввода любой функции или оператора, например Expand, Factor, Simplify.

3.3 Вычислит ельная мощь системы Mathematica

Система Mathematica предоставляет большие вычислительные возможности, оставаясь при этом такой же простой в использовании, как и калькулятор.

Эта команда создает матрицу случайных чисел размера 100х100.

На большинстве компьютеров система Mathematica затрачивает меньше секунды на вычисление всех собственных значений этой матрицы и представление их модулей в виде графика, который показан на «Рисунке 2» («Приложение 9»).

Mathematica может оперировать с числами любого размера. На большинстве компьютеров вычисление точного значения 1000! в системе Mathematica занимает менее секунды. Mathematica легко справляется с алгебраическими преобразованиями, например разложение полинома на множители: команда Factor () .

Система Mathematica использует изощренные алгоритмы для упрощения выражений: команда Simplify () .

Во многих видах вычислений система Mathematica является мировым рекордсменом по скорости вычислений и объему обрабатываемой информации.

3.4 Математические возможности системы Mathematica

Система Mathematica объединяет в себе большой запас математических знаний и использует свои собственные алгоритмы.

В системе Mathematica реализованы сотни специальных функций, используемых в чистой и прикладной математике.

Система Mathematica может вычислять значения специальных функций с любыми параметрами и с любой точностью.

Mathematica может вычислять очень много разных типов интегралов.

Также система Mathematica умеет вычислять конечные и бесконечные суммы и произведения.

Mathematica может решать широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Встроенные алгоритмы системы Mathematica способны справиться с широким спектром математических задач.

3.5 Построение вычислений

Возможность работать с формулами позволит легко объединять вместе все части расчета.

Вычисление собственных чисел матрицы: команда Eigenvalues [{{},{}}].

Система Mathematica может вычислять собственные значения,даже если в матрице присутствуют символьные параметры.

Встроенные функции системы Mathematica разработаны так, что результат вычисления одной функции можно легко использовать в качестве входных данных другой функции.

3.6 Виз уализация в системе Mathematica

Mathematica легко позволяет создавать великолепные изображения.

Эта команда рисует трехмерный параметрический график с автоматическим выбором большинства опций.

Сам график представлен на «Рисунке 3» («Приложение 10»).

Mathematica содержит графические примитивы, с помощью которых можно строить двумерные и трехмерные графики любой сложности.

Список примитивов, изображающих точку.

3.7 Основной подход к описанию объектов системы Mathematica

В основе системы Mathematica лежит идея, что все можно представить как символьное выражение.

Все символьные выражения записываются в единой форме: head.

Список элементов:

Алгебраическое выражение:

Уравнение:

Логическое выражение:

Команда:

График:

3.8 Mathem atica как язык программирования

В систему Mathematica встроен очень гибкий и интуитивно понятный язык программирования.

Язык Mathematica поддерживает все основные современные методы программирования, а также предоставляет некоторые новые возможности.

Процедурное программирование

Многие операции автоматически распространяются на списки.

Эта команда объединяет вложенные списки.

Функциональное программирование

Команда является "чистой функцией" ("pure function"). Вместо символа подставляется аргумент.

Глава 4. Сравнительный анализ. Вывод

Сравнительный анализ систем компьютерной математики проведём в виде таблицы.

Критерий сравнения
Интерфейс	Типа "wysiwyg". Набор выражений происходит от позиции курсора. Выражений с клавиатуры приходится вводить относительно немного, так как в командном окне имеются различные палитры инструментов.	Три окна: командное окно, все переменные и их типы и окно подсказок. Есть строка приглашения, обозначается знаком ">>". В отличие от Mathcad все функции приходится вводить с клавиатуры.	Строка приглашения в отличие от MATLAB разделена на две области: ввода и вывода, которые составляют вместе область всего выражения. Область ввода можно редактировать. Также имеется палитра с греческими буквами, различными символами и панель матанализа.
Работа с массивами и матрицами	Предоставлен достаточный набор функций для проведения различных операций с матрицами и векторами. Некоторые операции можно брать с соответствующей палитры, другие - вводить с клавиатуры или вставлять из меню Вставка->Функции .	Аналогично Mathematica матрицы и вектора формируются при помощи списка элементов. Функции вводятся с клавиатуры.	Многомерный набор данных создается с помощью списка, который вводится с клавиатуры. Также с клавиатуры вводятся и функции для работы с матрицами и векторами.
Решение уравнений	Различает решение уравнений и систем уравнений. Команды можно набирать с клавиатуры, можно вставлять из меню.	Решает уравнения и системы уравнений функцией с различными параметрами.	Содержит несколько функций для решения уравнений и систем уравнений. Функции могут находить корни уравнений с параметром. Также имеется функция для особых решений.
Математические операторы	Приведен в таблице целый ряд операторов, как простых типа сложения, так и вычисления суммы, произведения, интегралов и производных и т.д., которые можно вводить с клавиатуры или вставлять из соответствующей палитры.	Здесь в отличие от Mathcad все операторы вводятся с клавиатуры в виде отдельных символов и функций. Дан относительно подробный список операторов.	Также, как и в MATLAB операторы приходится вводить с клавиатуры, но некоторые можно найти и на палитре инструментов.
Встроенные функции	Построены по принципу всех функций: название функции и параметры в скобках. Можно выделить функции упрощения выражения, раскрытия скобок, тригонометрические и целый ряд других.	Здесь в основном используются только функции, которые вводятся с клавиатуры.	Приведено множество функций различного назначения с различным числом параметров. Помогают пользователю в решении различного характера задач.
Программирование	Предоставлены шаблоны для создания программ и подпрограмм. В качестве выходного значения указывается последнее значение, вычисленное программой. Также внутри программы можно использовать функции, описанные ранее. Программы пишутся в том же файле, что и все вычисления.	Здесь программы создаются в виде отдельных М - файлов. Если написать программу какой-нибудь функции, то эту функцию можно будет использовать как стандартную. Также в программу можно вставлять комментарии.	Можно создавать различные функции и оперировать с ними. Позволяет внутри одного блока ввода создавать программы. Результатом будет последнее вычисленное значение. В отличие от Mathcad, где программы пишутся "в столбик", здесь пишутся в строку.
Графические возможности	Графики строятся на основе имеющихся шаблонов. Основные виды: график в декартовой плоскости, в полярной системе координат, трёхмерный в виде гладкой поверхности, в виде контурных кривых и т.д. Сначала задаётся функция графика, диапазон, затем строится сам график, который можно редактировать.	Функция графика создаётся из командной строки. Графики создаются на формах в определённой системе координат. В команде построения можно указывать свойства графика.	Функция, которая рисует график, заканчивается на "PLOT" в двухмерном случае, и "PLOT 3D" в трёхмерном случае. Чтобы построить график, нужно сначала задать функцию. Также можно и редактировать график.

Вывод

Как видно из сравнительного анализа, все математические пакеты сходны между собой. У них похожие принципы построения вычислений, графиков функций. И в Mathcad, и в MATLAB, и в Mathematica есть списки встроенных функций и операторов. Но имеются и отличия, например в интерфейсе, методах программирования. На данном уровне развития образования, я думаю, что без систем компьютерной математики обойтись нельзя. Иначе - зачем они тогда появились?

Глава 5. Практическая часть

Требовалось создать сайт с одноименным названием курсовой работы, а именно «Сравнительный анализ систем компьютерной математики».

Сайт создан с целью доведения информации о назначении систем компьютерной математики до всех желающих.

Сайт содержит следующие html страницы: 1 - Главная страница; 2 - Mathcad; 3 - MATLAB; 4 - Mathematica; 5 - Сравнительный анализ. Вывод.

Страницы Mathcad, MATLAB, Mathematica содержат в свою очередь тоже по несколько страниц.

Структура папок для хранения структуры сайта такова: создана папка «sweta», в которой содержатся все страницы и всё содержимое сайта. В данной папке помещена главная страница ind.htm и все страницы сайта.

Также в этой папке находится папка ind.files, в которой содержится таблица стилей mystyle.css, графические файлы, подключаемые к страницам сайта, и несколько папок, в которых в свою очередь также содержатся графические файлы, подключаемые к страницам сайта.

Файл ind. htm, как говорилось ранее, является главной страницей.

На этой странице в верхнем левом углу размещён лейбл, который непосредственно связан с названием сайта и иллюстрирует его в какой - то мере. Лейбл является необходимым звеном главной страницы сайта.

Рядом с лейблом находится собственно название сайта. В центре страницы расположена таблица, состоящая из двух столбцов: в первом находится меню, также оформленное в виде таблицы; в правом - часть повествования, то есть введение.

Внизу главной страницы идёт бегущая строка с электронным адресом создателя сайта.

Из главной страницы с помощью гиперссылок можно попасть на четыре страницы - это файлы ind1.htm - общее о Mathcad, ind2.htm - общее о MATLAB, ind3.htm - общее о Mathematica и ind4.htm - сравнительный анализ математических пакетов и вывод.

На этих страницах вверху расположено меню, далее следует общая информация о конкретном пакете и гиперссылки на отдельные страницы сайта, предназначенные для Mathcad, MATLAB и Mathematica соответственно. Вернуться обратно в главное меню можно при помощи гиперссылок, расположенных вверху этих страниц. Большинство страниц включает в себя рисунки, иллюстрирующие выложенную на сайте теорию.

Все html - файлы, нумерующиеся с единицы, относятся к системе Mathcad, нумерующиеся с двойки - к MATLAB, с тройки - к системе Mathematica.

Общий фон сайта - светло-сиреневый, что облегчает чтение текста и благоразумно, если пользователь станет распечатывать web-страницу.

Шрифт - 13,5 размера, следовательно, читается хорошо.

Все страницы сайта создаются с использованием таблицы стилей, которая называется mystyle.css. Она включает в себя заголовки 1-4 уровней, пункты меню 1-4 уровней, гиперссылки, таблицы и ячейки таблиц, основной текст.

Таблица стилей подключается как внешний файл, ссылка на неё внедряется в документ при помощи тега .

Для создания сайта были использованы теги, указанные ниже.

- является контейнером, который заключает в себе всё содержимое web-страницы.

- заголовок документа.