Определение поверхностных интегралов 1 и 2 рода. Поверхностные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского. Теорема Стокса
Рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхностях, так называемые поверхностные интегралы.Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и
второго рода.
4.1. Поверхностные интегралы первого типа. Пусть функция f (x , y , z )
определена на кусочно-гладкой поверхностиS , ограниченной кусочногладким контуром (рис. 4.1). Разобьем
соответственно ∆ s 1 , ∆ s 2 ..., ∆ s n . Взяв в пределах каждой частиS i , i = 1, n произвольную точкуM i (x i , y i , z i ) , вычислим значение функции в ней и составим следующую сумму:
σ n= ∑ f (x i, y i, z i) ∆ s i | |||||
i= 1 | для функции f (x , y , z ) по |
||||
которая называется интегральной | |||||
поверхности S . | |||||
Конечный предел I этой | при стремлении | ||||
наибольшего λ из диаметров всех частичных поверхностейS i | |||||
1, n |
если он существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные, ни от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого типа (по площади поверхности) от функции
f (x , y , z ) по поверхностиS и обозначается символом | ∫∫ f(x, y, z) ds. |
|
Значит, по определению | ||
= ∫∫ f(x, y, z) ds. | ||
I = lim ∑ f(xi , yi , zi ) ∆ si | ||
λ → 0i = 1 |
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой обобщение двойного интеграла, поэтому условия существования двойного интеграла и его свойства легко переносятся на поверхностный интеграл первого типа.
Вычисление поверхностных интегралов первого типа сводится к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверхности S ,
подынтегральное выраражение преобразуется к двум переменным, областью изменения которых будет проекция поверхности S на соответствующую этим переменным координатную плоскость.
Пусть поверхность S задана уравнениемz = z (x , y ) иz (x , y ) непрерывна вместе со своими частными производнымиz ′ x , z ′ y в замкнутой областиS xy , являющейся проекцией поверхностиS на координатную плоскостьxOy , тогда
∫∫ f(x, y, z) ds= ∫∫ f(x, y, z(x, y)) 1 + (z′ x ) 2 + (z′ y ) dxdy. | ||
S xy |
Эта формула выражает поверхностный интеграл первого типа через двойной интеграл по проекции поверхности S на координатную плоскостьxOy .
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого типа по поверхности S через двойные интегралы по ее проекциям на
координатные плоскости xOz иyOz соответственно: | |||
∫∫ f (x ,y ,z )ds = ∫∫ f (x ,y (x ,z ),z ) | 1+ (y ′ x )2 + (y ′ z )dxdz , | ||
S xz | |||
∫∫ f (x, y,z)ds= ∫∫ f (x(y,z), y,z) | 1 + (x′ y )2 + (x′ z )dydz. | ||
S yz |
С помощью поверхностных интегралов первого типа можно вычислить площадь поверхности, а также массу, статические моменты, моменты инерции и координаты центра масс для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс.
Пример 4.1. Вычислить
∫∫ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ds , гдеS - часть парабо-
лоида вращения z = 1 − x 2 − y 2 , отсеченного плоскостьюz = 0 .
Решение. Спроектируем поверхность
S на плоскостьxOy .
Проекция S xy - есть круг, ограниченный окружностьюx 2 + y 2 = 1 (рис.
4.2). Заданный поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (4.2), для чего найдем z ′ x = − 2 x , z ′ y = − 2 y . Тогда, совершая в двойном
интеграле | к полярным | координатам, | S xy есть круг, |
||||||||
1 +4 x 2 +4 y 2 ds =∫∫ | 1+ 4x 2 + 4y 2 | 1 + 4 x2 + 4 y2 dxdy= |
|||||||||
S xy | |||||||||||
= ∫∫ (1 +4 x 2 +4 y 2 ) dxdy = | |||||||||||
S xy | |||||||||||
= ∫ d ϕ ∫ (1 +4 ρ 2 ) ρ d ρ =∫ | + ρ 4 ) | d ϕ= | ∫d ϕ . |
||||||||
4.2. Двусторонние поверхности. Поверхность S называется
двусторонней , если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхностиS и не пересекающему ее границ, при возвращении в исходную точку не меняет направление нормали к поверхности. В противном случае поверхность называется односторонней. Примеры двусторонних поверхностей: плоскость, сфера и любая поверхность, заданная уравнениемz = z (x , y ) , гдеz = z (x , y ) ,z ′ x (x , y ) ,z ′ y (x , y ) - непрерывны в некоторой областиG . Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.
4.3. Поверхностный интеграл второго типа. Пусть S - гладкая поверхность, заданная уравнением z = z (x , y ) и функция f (x , y , z )
определена в точках поверхности S.
Выберем одну из сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (этим мы сориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с
осью Oz , то будем говорить о верхней стороне поверхности(о положительном направлении нормали), а если нормали составляют – тупые углыс осью Oz , то говорим о нижней стороне поверхности (об отрицательном направлении нормали).
Разобьем поверхность S произвольным образом наn частейS 1 , S 2 ..., S n , и через(S xy ) i обозначим проекцию i -ой части поверхности
на плоскость xOy . В пределах каждой частичной поверхностиS i , i = 1, n выберем произвольную точкуM i (x i , y i , z i ) , вычислим значение функции
в ней и составим сумму
σ n= ∑ f (x i, y i, z i) ∆ s i, i = 1
где ∆ s i - площадь(S xy ) i , взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхностиS и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона
поверхности S . Эта суммаσ n называетсяинтегральной суммой для функцииf (x , y , z ) .
Конечный предел I интегральной суммы, при стремлении к нулю наибольшегоλ из всех диаметров проекций(S xy ) i , если он существует и
не зависит ни от способа разбиения поверхности S , ни от выбора точек
M i (x i , y i , z i ) , то этот предел называетсяповерхностным интегралом второго типа от функции f (x , y , z ) по выбранной стороне поверхности по переменным x и y и обозначается∫∫ f (x , y , z ) dxdy . Таким образом, по
определению
поверхности S по переменнымx иy .
Аналогично можно определить поверхностные интегралы второго типа по выбранной стороне поверхности S по переменнымy иz , по переменнымx иz :
∫∫ f(x, y, z) dydz, | ∫∫ f(x, y, z) dxdz. |
Пусть P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) функции, интегрируемые по
поверхности S по переменнымy иz ,x иz , x иy соответственно. Сумма интегралов
∫∫ P(x, y, z) dydz, | ∫∫ Q(x, y, z) dxdz, | ∫∫ R(x, y, z) dxdy | |
называется общим интегралом второго типаи обозначается | |||
∫∫ P(x, y, z) dydz+ Q(x, y, z) dxdz+ R(x, y, z) dxdy. | |||
Так как поверхность S считаем двусторонней и интеграл распространяется на определенную ее сторону, топри изменении стороны поверхности интегрирования поверхностный интеграл второго типа меняет знак на противоположный – в этом его отличие от поверхностного интеграла первого типа.
Вычисление поверхностных интегралов второго типа сводится к вычислению двойных интегралов.
Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнениемz = z (x , y ) , гдеz (x , y ) непрерывна в
замкнутой области S xy - проекции поверхностиS на плоскостьxOy ; функцияf (x , y , z ) непрерывна наS . Тогда справедлива формула
∫∫ f(x, y, z) dxdy= ∫∫ f(x, y, z(x, y)) dxdy, | ||||
S xy | ||||
выражающая поверхностный интеграл второго типа по переменным x и | ||||
через двойной. Если выбрать нижнюю сторону поверхности S , то перед |
||||
интегралом в правой части появится знак минус. | ||||
Аналогично справедливы формулы | ||||
∫∫ f(x, y, z) dydz= ∫∫ f(x(y, z), y, z) dydz, | ||||
S yz | ||||
∫∫ f(x, y, z) dxdz= ∫∫ f(x, y(x, z), z) dxdz, | ||||
S xz | ||||
где поверхность S | соответственно уравнениями | x = x(y, z) | ||
y = y(x, z) а Syz | и S xz - | проекции поверхности S соответствено |
плоскости yOz иxOz .
Для вычисления интеграла общего вида (4.6) используются формулы (4.7)–(4.9), если поверхностьS однозначно проектируется на все
координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а общий интеграл представляют в виде интегралов по этим частям.
Пример 4.2.Вычислить
∫∫ (y 2 + z 2 ) dxdy , гдеS верхняя сторона
поверхности z = | 1 − x 2 | Отсекаемая плос- |
||||||||
костями y = 0, y = 1. | ||||||||||
Решение. Уравнениемx 2 + z 2 = 1 - |
||||||||||
задается круговой цилиндр с образующей, |
||||||||||
параллельной оси Oy , а плоскостиy = 0 и |
||||||||||
y = 1 | параллельны | координатной |
||||||||
плоскости xOz (рис. | Проекцией |
|||||||||
поверхности S на плоскостьxOy является |
||||||||||
прямоугольник S xy , определяемый неравенствами− 1 ≤ x ≤ 1, | 0 ≤ y ≤ 1. |
|||||||||
Тогда по формуле (4.7) имеем | ||||||||||
∫∫ (y2 + z2 ) dxdy= ∫∫ (y2 + (1 − x2 )) dxdy= ∫ dx∫ (y2 − x2 + 1) dy= |
||||||||||
S xy | −1 | |||||||||
+ (1− x 2 )y ) | ||||||||||
= ∫ dx ( | ||||||||||
−1 | ||||||||||
− x2 ) dx | ||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ ( | ||||||||||||||||||||||||||||||
−1 | −1 | |||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.3. Вычислить | ||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy, где S– верхняя | ||||||||||||||||||||||||||||||
сторона части плоскости x + z − 1 = 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||
отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и | ||||||||||||||||||||||||||||||
расположенная в первом октанте (рис. 4.4). | ||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Проекция поверхностиS на | ||||||||||||||||||||||||||||||
плоскость xOy есть прямоугольникS xy , | ||||||||||||||||||||||||||||||
определяемый неравенствами 0 ≤ x ≤ 1, | ||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ y ≤ 4 . Проекция поверхностиS на | ||||||||||||||||||||||||||||||
плоскость yOz есть прямоугольник | S yz , определяемый неравенствами |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ z ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 4 . Так как плоскостьS перпендикулярна плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||
xOz , то∫∫ ydxdz = 0. Тогда по формулам (4.7) и (4.9) имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy= ∫∫ (1 − z) dydz+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
S yz | ||||||||||||||||||||||||||||||
+ ∫∫ (1 − x) dxdy= ∫ dy∫ (1 − z) dz+ ∫ dy∫ (1 − x) dx= |
||||||||||||||||||||||||||||||
S xy | ||||||||||||||||||||||||||||||
− z ) | (1− x ) | |||||||||||||||||||||||||||||
2 ∫ | dy = 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ dy − | + ∫ dy − | |||||||||||||||||||||||||||||
4.4. Формула Остроградского. Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью .
Пусть V - правильная замкнутая область, ограниченная поверхностьюS , и пусть функцииP (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z )
непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:
∫∫∫( | ∂P | ∂Q | ∂ R ) dxdydz= ∫∫ Pdydz+ Qdxdz+ Rdxdy, (4.10) |
|||
∂x | ∂y | ∂z | ||||
называемая формулой Остроградского1 .
С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.
Пример 4.4. С помощью формулы Остроградского вычислить
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy, | где S | ||||||||||||||||||||||||||
сторона пирамиды, | ограниченной | плоскостями | |||||||||||||||||||||||||
x + y+ z= 1, | x = 0,y = 0, | z = 0 (рис. 4.5). | |||||||||||||||||||||||||
Согласно | |||||||||||||||||||||||||||
Остроградского: | |||||||||||||||||||||||||||
P (x ,y ,z )= x ,Q (x ,y ,z )= y ,R (x ,y ,z )= z . | |||||||||||||||||||||||||||
Тогда: ∂ P + | ∂ Q + | ∂R | = 1+ 1+ 1= 3,и находим | ||||||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂z | |||||||||||||||||||||||||
1− x | 1 −x −y | ||||||||||||||||||||||||||
∫∫ xdydz+ ydxdz+ zdxdy= 3 ∫∫∫ dxdydz= 3 ∫ dx∫ dy | ∫ dz= | ||||||||||||||||||||||||||
1− x | 1 −x −y | 1− x | |||||||||||||||||||||||||
= 3 ∫ dx∫ dy∫ dz= 3 ∫ dx∫ (1 − x− y) dy= | |||||||||||||||||||||||||||
y2 | 1− x | ||||||||||||||||||||||||||
3 ∫ dx(y− xy− | |||||||||||||||||||||||||||
−2 x +1 | 3 (x − 1) | ||||||||||||||||||||||||||
= 3 ∫ (1 −x −x +x 2 − | ) dx= | ∫ (x− 1) 2 dx= | |||||||||||||||||||||||||
Замечание 4.1. Связь между поверхностными интегралами первого и второго типов аналогична связи криволинейных интегралов:
∫∫ f(x, y, z) dxdy= ∫∫ f(x, y, z) cos α ds,
∫∫ f(x, y, z) dydz= ∫∫ f(x, y, z) cos β ds,
∫∫ f(x, y, z) dxdz= ∫∫ f(x, y, z) cos γ ds,
где cos α ,cos β ,cos γ - направляющие косинусы нормали, отвечающей
выбранной стороне поверхности. ,y ) | непрерывные в области S xy – проекции поверхностиS |
||||||||||||||||||||||
на плоскость xOy ;L | – контур, | ограничивающий | поверхность | S; l– |
|||||||||||||||||||
проекция пространственной линии L на плоскость | xOy , | являющаяся |
|||||||||||||||||||||
конуром, ограничивающим область D . Выберем верхнюю сторону |
|||||||||||||||||||||||
поверхности S . Если функцииP (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) | непрерывны |
||||||||||||||||||||||
вместе со своими частными производными первого порядка на |
|||||||||||||||||||||||
поверхности S , то имеет место следующая формула: | |||||||||||||||||||||||
∫ Pdx+ Qdy+ Rdz= | |||||||||||||||||||||||
= ∫∫ | (∂ Q | ∂ P ) dxdy+ ( | ∂R | ∂ Q ) dydz+ (∂ P | ∂ R ) dxdz | ||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂y | ∂z | ∂z | ∂x | ||||||||||||||||||
(L – обходится в положительном направлении), | называемая формулой |
||||||||||||||||||||||
Если в качестве поверхности S взять областьD на плоскостиxOy |
|||||||||||||||||||||||
(z = 0 ), то из (4.11) получится формула Грина | ∂Q | ∂ P ) dxdy. | |||||||||||||||||||||
∫ P(x, y) dx+ Q(x, y) dy= ∫∫ ( | |||||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ||||||||||||||||||||||
Таким образом, формула Грина есть частный случай формулы Стокса. |
|||||||||||||||||||||||
Заметим, что поверхностный интеграл второго типа в формуле |
|||||||||||||||||||||||
Стокса (4.11) может быть заменен поверхностным интегралом первого |
|||||||||||||||||||||||
типа. Тогда эта формула примет вид | |||||||||||||||||||||||
∫ Pdx+ Qdy+ Rdz= | |||||||||||||||||||||||
∂Q | ∂P | ∂R | ∂Q | ∂P | ∂R | ||||||||||||||||||
= ∫∫ | ) cosα + ( | ) cos β + ( | ) cosγ | ||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂y | ∂z | ∂z | ∂x | ds , | |||||||||||||||||
где cosα , cosβ , cosγ , | означают | направляющие | косинусы | ||||||||||||||||||||
отвечающей выбранной стороне поверхности. | |||||||||||||||||||||||
помощью формулы | вычислить |
||||||||||||||||||||||
∫ x2 y3 dx+ dy+ zdz, | окружность, | заданная уравнениями |
|||||||||||||||||||||
x2 + y2 + 1, z= 0 . | Поверхностью S служит верхняя сторона полусферы |
||||||||||||||||||||||
x 2+ y 2+ z 2= 1, | z > 0 (L обходится в положительном направлении). |
Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противоречию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S1, S2,…, Sn. Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью Ti. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.
Определение 12.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей Ti при
Поверхностный интеграл первого рода.
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
. (12.2)
Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).
Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.
Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.
Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что
Si = , где Δσi - площадь проекции Si на плоскость Оху, а γi - угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке Mi. Известно, что
,
где (xi, yi, zi) - координаты точки Mi. Cледовательно,
Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что
,
где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).
При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла.
Пример 3.3. Вычислить работу векторного поля
a = 2x 2 yi – xy 2 j
от начала координат O до точки A(1;1), если движение происходит вдоль: а) отрезка прямой ; б) дуги параболы ; в) ломаной OBA, где B(1;0) (см. рис. 3.1).
Решение . а) Уравнение прямой OA имеет вид y=x . Пусть x=t , тогда уравнение прямой в параметрическом виде примет вид:
x=t, y=t,
причем при движении от A до B параметр t будет меняться от 0 до 1. Тогда совершенная работа будет равна
б) Пусть x=t 2 , y=t , тогда
x=t 2 , y=t, 0£t £1.
.
в) Уравнение прямой (OB) имеет вид y =0 (0£x £1); уравнение прямой (BA) имеет вид x =1 (0£y £1). Тогда
,
.
В результате, получаем,
.
Замечание . Если в случае двухмерных полей уравнение линии описывается уравнением y =y (x ), а переменная x изменяется от a до b , то криволинейный интеграл 2-го будет вычисляться по формуле:
. (3.9)
Предыдущий пример можно было бы решить и при помощи этой формулы, не вводя параметр t .
Пример 3.4. Вычислить интеграл
,
где L – дуга параболы y=x 2 +1 от точки A(0;1) до точки B(2;5).
Решение . Сделаем чертеж (см. рис.3.2). Из уравнения параболы получаем y"=2x . Поскольку на дуге параболы AB переменная x изменяется от 0 до 2, то криволинейный интеграл, в соответствии с формулой (3.9), примет вид
4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностный интеграл 1-го рода является обобщением двойного интеграла и вводится аналогичным образом. Рассмотрим некоторую поверхность S , гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция f(x,y,z ) определена и ограничена на этой поверхности. Разобьем эту поверхность на n произвольных частей. Площадь каждого участка обозначим через Ds i . На каждом участке выберем какую-либо точку с координатами (x i ,y i ,z i ) и вычислим значение функции в каждой такой точке. После этого составим интегральную сумму:
.
Если существует предел интегральных сумм при n ®¥ (при этом max Ds i ®0), т.е. такой предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора средних точек, то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода :
. (4.1)
Если функция f(x,y,z ) непрерывна на поверхности S , то предел (4.1) существует.
Если подынтегральная функция f(x,y,z )º1, то поверхностный интеграл 1-го рода равен площади поверхности S :
. (4.2)
Допустим, что введена декартова система координат, и любая прямая, параллельная оси Oz, может пересекать поверхность S лишь в одной точке. Тогда уравнение поверхности S можно записать в виде
z = z (x,y )
и она однозначно проецируется на плоскость xOy . В результате поверхностный интеграл 1-го рода можно выразить через двойной интеграл
.
(4.3)
Пример 4.1. Вычислить интеграл
,
где S – часть конической поверхности z 2 =x 2 +y 2 , 0£z £1.
Решение. Имеем
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл
где S xy – круг x 2 +y 2 £1. Поэтому
.
4.2. Поверхностные интегралы второго рода
Пусть в некоторой области задано векторное поле
a = a x i + a y j + a z k
и какая-либо двухсторонняя поверхность S . Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки DS i . На каждой площадке выберем произвольную точку P i и составим интегральную сумму:
, (4.4)
где n (P i ) – вектор нормали к заданной поверхности в точке P i . Если существует предел такой суммы при DS i ®0, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода (или потоком векторного поля a через поверхность S ) и обозначается символом
или ,
где ds =n ds .
Поскольку единичный вектор нормали имеет своими координатами направляющиеся косинусы n ={cosa, cosb, cosg}. то
Таким образом, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода можно свести к вычислению поверхностных интегралов 1-го рода. Однако, что в отличие от поверхностных интегралов 1-го рода интегралы 2-го рода зависят от выбора стороны поверхности. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а соответственно и знак интеграла .
Рассмотрим интеграл
.
Пусть уравнение поверхности имеет вид z =j(x,y ) и положительной стороной этой поверхности будем считать ту, нормаль которой образует с осью Oz острый угол. Тогда
cosgds = dxdy.
Поэтому рассматриваемый интеграл можно записать в виде
.
Заменяя z на j(x,y ), придем к двойному интегралу
,
где S xy – проекция поверхности S на плоскость xOy .