Восстановление функции по ее мнимой части. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части
Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части
Пример. Найти аналитическую функцию f(z), если
u(x,y) = Re f(z) = и f(i) = 2.
Решение
1. Находим частные производные функции u(x,y)
2. Из 2 – го условия Коши - Римана (1)
Дифференцируя по y, получим
Для нахождения функции j(y) используем 1–е условие Коши ––Римана (1). Приравнивая = производной
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка
из которого определяем j(y)
j(y) = = – +C.
Таким образом, получаем функцию
3. Записываем искомую функцию f(z) в виде
Преобразуем полученное выражение к функции переменной z, используя равенства
z = x+iy и = = .
Получаем
f(z) = = +iC = или
f(z) = +C, где C - произвольная комплексная постоянная.
4. Находим значение постоянной C, используя условие f(i) = 2:
Получаем C = i и
f(z) = – 2iz+i
Ответ: f(z) = – 2iz + i.
Применение STEM Plus
Пусть задана функция u= (точка между переменными x и y обязательна).
1. "Запоминаем" u=(выделяем и нажимаем Alt+Enter )
2. Вычисляем производную ux, выделив и нажав Alt+= (или выделив заданное выражение и воспользовавшись меню Extra ® Функция ® Найти производную ).
Набираем vy и нажимаем Alt+Ins ,чтобы вставить результат вычисленияux.Получаем строку
Это условие Коши–Римана vy= ux.
3. Выделяем и с помощью меню Extra ® Функция ® Найти первообразную вычисляем первообразную по y. Набираем v и нажимаем Alt+Ins . Получаем
4. Открываем эту формулу (Shift+F9 ) и заменяем C на f(x). Получаем
5. Запоминаем f(x)= (тем самым мы даем понять, что f(x) – неизвестная функция).
6. Вычисляем производную vx и uy, и полученные результаты записываем в виде уравнения vx= uy (2-е условие Коши – Римана).
7. Упрощаем полученное уравнение (сократятся члены, содержащие y).
Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Выделяем -2 и с помощью меню DERIVE вычисляем первообразную по x.
Вставляем результат в выражение для v вместо f(x). Получаем
8. Получаем искомую функцию
f(z) = +i·(– 2x + C).
9. Находим C из начального условия f(i)=2. Для этого "запоминаем" x=0, y=1 и решаем уравнение
I·(– 2x + C)=2
относительно C (выделяем и нажимаем Alt+? ). Полученный результат C=1 вставляем вместо C в выражение для f(z). Получаем
f(z) = +i·(– 2x + 1).
В итоге искомая функция,выражена через x и y. 10. Чтобы найти выражение f(z) через z, “запомним”, что
Здесь w обозначает число, сопряженное к z.
Если теперь выделить правую часть равенства
f(z) = +i·(– 2x + 1)
и нажать Alt+= , то выражение упростится с учетом того, что
Так получится, что
Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке tи некоторой ее окрестности функцию действительной переменнойz(t).
Рассмотрим точку z, дадим приращениеz,=argz.
Тогда
При
угол наклона касательной к графику в точке
|
Наличие
ненулевой производной
означает наличие касательной к графику
функции с углом наклона к действительной
оси, равным
.
Рассмотрим
теперь комплекснозначную аналитическую
функцию комплексной переменной
.
Пусть
,
где
- действительное число. Тогда
- комплекснозначная функция действительной
переменнойz(t),
дифференцируемая в точкеtи некоторой ее окрестности.
Касательная к
графику функции, по рассмотренному
выше, имеет угол наклона к действительной
оси равный
.
По теореме о
сложной функции
,
поэтому
.Следовательно,
- аргумент производной аналитической
функции
.
имеет смысл угла поворота касательной
к кривой в точке
при
ее отображении посредством функции
.
Так как
,
,
то
-модуль производной аналитической
функции имеет смысл коэффициента
растяжения при отображении посредством
функции
.
Все это справедливо в тех точках, в
которыхпроизводная отлична от нуля
.
Если две кривые
отображаются посредством аналитической
функции
,
то угол наклона касательной к каждой
кривой изменяется в точкеzна один и тот же угол
,
поэтому углы между кривыми сохраняются
при отображении посредством аналитической
функции
(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля)
.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным . Поэтомуотображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное
отображение
(
),
как было показано выше, сводится к
повороту на угол
и растяжению в
раз.
Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
Пусть задана
функция
,
требуется определить, может ли она быть
действительной частью некоторой
аналитической функции
,
Та же задача
может быть поставлена относительно
мнимой части. Пусть задана функция
,
требуется определить, может ли она быть
мнимой частью некоторой аналитической
функции
,
а если может, то восстановить эту
функцию.
При решении
этих задач сначала надо проверить,
существует ли такая аналитическая
функция
.
Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).
Доказательство.
Если
-
функция аналитическая, то выполнены
условия Коши – Римана
.
Дифференцируем частным образом первое
равенство поx, второе поyи складываем. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая. Дифференцируем частным
образом первое равенство поy,
второе поxи вычитаем из
первого равенства второе. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая.
Следовательно,
если функция
или функция
не являются гармоническими, то
аналитическую функцию построить нельзя.
Пусть функция
и функция
- гармонические функции. Покажем, как
можно восстановить аналитическую
функцию по известной действительной
части
.
Восстановление
функции по
аналогично.
1 способ.
Сравнивая оба выражения, определяем
.
Теперь.
Замечание. При
восстановлении по
функция восстанавливается с точностью
до действительной постоянной, а не
мнимой.
2 способ.
(как в первом способе). Если при
интегрировании второго условия Коши –
Римана возникают проблемы, то можно
продифференцировать полученное
соотношение поxи приравнять
известной функции.
.
Решая это дифференциальное уравнение,
получим
,
+С,.
3 способ.
В
первых двух способах функция
восстанавливается как функцияx,y. Гораздо приятнее получить
ее в видеf(z).
В третьем способе используется формула
для производной.
Так как функция
известна, то
определяется как функция (x,y). Функцию определяем по
формуле
.
Пример.
Задана функция=
.
Проверить, можно ли восстановить
аналитическую функцию с такой
действительной частью. Если возможно,
то восстановить.
Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.
Сравнивая эти выражения, имеем ,
.
Поэтому+
Сi=
.
.,
Поэтому
+
Сi =
.
Здесь С – комплексное число.
Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке tи некоторой ее окрестности функцию действительной переменнойz(t).
Рассмотрим точку z, дадим приращениеz,=argz.
Тогда
При
угол наклона касательной к графику в точке
|
Наличие
ненулевой производной
означает наличие касательной к графику
функции с углом наклона к действительной
оси, равным
.
Рассмотрим
теперь комплекснозначную аналитическую
функцию комплексной переменной
.
Пусть
,
где
- действительное число. Тогда
- комплекснозначная функция действительной
переменнойz(t),
дифференцируемая в точкеtи некоторой ее окрестности.
Касательная к
графику функции, по рассмотренному
выше, имеет угол наклона к действительной
оси равный
.
По теореме о
сложной функции
,
поэтому
.Следовательно,
- аргумент производной аналитической
функции
.
имеет смысл угла поворота касательной
к кривой в точке
при
ее отображении посредством функции
.
Так как
,
,
то
-модуль производной аналитической
функции имеет смысл коэффициента
растяжения при отображении посредством
функции
.
Все это справедливо в тех точках, в
которыхпроизводная отлична от нуля
.
Если две кривые
отображаются посредством аналитической
функции
,
то угол наклона касательной к каждой
кривой изменяется в точкеzна один и тот же угол
,
поэтому углы между кривыми сохраняются
при отображении посредством аналитической
функции
(в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля)
.
Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным . Поэтомуотображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых еепроизводная отлична от нуля) является конформным.
Пример. Линейное
отображение
(
),
как было показано выше, сводится к
повороту на угол
и растяжению в
раз.
Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
Пусть задана
функция
,
требуется определить, может ли она быть
действительной частью некоторой
аналитической функции
,
Та же задача
может быть поставлена относительно
мнимой части. Пусть задана функция
,
требуется определить, может ли она быть
мнимой частью некоторой аналитической
функции
,
а если может, то восстановить эту
функцию.
При решении
этих задач сначала надо проверить,
существует ли такая аналитическая
функция
.
Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).
Доказательство.
Если
-
функция аналитическая, то выполнены
условия Коши – Римана
.
Дифференцируем частным образом первое
равенство поx, второе поyи складываем. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая. Дифференцируем частным
образом первое равенство поy,
второе поxи вычитаем из
первого равенства второе. Получим
,
поэтому функция
- гармоническая.
Следовательно,
если функция
или функция
не являются гармоническими, то
аналитическую функцию построить нельзя.
Пусть функция
и функция
- гармонические функции. Покажем, как
можно восстановить аналитическую
функцию по известной действительной
части
.
Восстановление
функции по
аналогично.
1 способ.
Сравнивая оба выражения, определяем
.
Теперь.
Замечание. При
восстановлении по
функция восстанавливается с точностью
до действительной постоянной, а не
мнимой.
2 способ.
(как в первом способе). Если при
интегрировании второго условия Коши –
Римана возникают проблемы, то можно
продифференцировать полученное
соотношение поxи приравнять
известной функции.
.
Решая это дифференциальное уравнение,
получим
,
+С,.
3 способ.
В
первых двух способах функция
восстанавливается как функцияx,y. Гораздо приятнее получить
ее в видеf(z).
В третьем способе используется формула
для производной.
Так как функция
известна, то
определяется как функция (x,y). Функцию определяем по
формуле
.
Пример.
Задана функция=
.
Проверить, можно ли восстановить
аналитическую функцию с такой
действительной частью. Если возможно,
то восстановить.
Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.
Сравнивая эти выражения, имеем ,
.
Поэтому+
Сi=
.
.,
Поэтому
+
Сi =
.
Здесь С – комплексное число.