Maghanap ng mga eigenvalues at eigenvectors ng linear transformation online. Eigenvalues at eigenvectors ng isang linear operator
Ang mga diagonal na matrice ay may pinakasimpleng istraktura. Ang tanong arises kung ito ay posible na makahanap ng isang batayan kung saan ang matrix linear operator magkakaroon ng diagonal na anyo. Ang ganitong batayan ay umiiral.
Bigyan tayo ng linear space R n at linear operator A na kumikilos dito; sa kasong ito, kinukuha ng operator A ang R n sa sarili nito, iyon ay, A:R n → R n .
Kahulugan.
Ang isang non-zero vector x ay tinatawag na eigenvector ng operator A kung ang operator A ay nag-transform ng x sa isang collinear vector, ibig sabihin. Ang bilang na λ ay tinatawag na eigenvalue o eigenvalue ng operator A, na tumutugma sa eigenvector x.
Tandaan natin ang ilang mga katangian ng eigenvalues at eigenvectors.
1. Anumang linear na kumbinasyon ng eigenvectors operator Ang isang katumbas ng parehong eigenvalue λ ay isang eigenvector na may parehong eigenvalue.
2. Eigenvectors Ang operator A na may magkaibang mga eigenvalues na magkapares λ 1 , λ 2 , …, λ m ay linearly independent.
3. Kung ang eigenvalues λ 1 =λ 2 = λ m = λ, kung gayon ang eigenvalue λ ay tumutugma sa hindi hihigit sa m linearly independent eigenvectors.
Kaya, kung mayroong n linearly independent eigenvectors , na naaayon sa iba't ibang mga eigenvalues λ 1, λ 2, ..., λ n, pagkatapos sila ay linearly independyente, samakatuwid, maaari silang kunin bilang batayan ng espasyo R n. Hanapin natin ang anyo ng matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito, kung saan kikilos tayo kasama ang operator A sa mga batayang vectors:
Pagkatapos
.
Kaya, ang matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito ay may diagonal na anyo, at ang mga eigenvalues ng operator A ay nasa kahabaan ng dayagonal.
Mayroon bang ibang batayan kung saan ang matrix ay may diagonal na anyo? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng sumusunod na teorama.
Teorama. Ang matrix ng isang linear operator A sa batayan (i = 1..n) ay may diagonal na anyo kung at kung ang lahat ng mga vector ng batayan ay eigenvectors ng operator A.
Panuntunan para sa paghahanap ng mga eigenvalues at eigenvectors Hayaang magbigay ng vector![](https://i1.wp.com/semestr.ru/images/math/math/home_image010.gif)
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/math/home_image011.gif)
. (*)
Ang equation (*) ay maaaring ituring bilang isang equation para sa paghahanap ng x, at , ibig sabihin, interesado kami sa mga di-trivial na solusyon, dahil ang eigenvector ay hindi maaaring maging zero. Ito ay kilala na ang mga nontrivial na solusyon ng isang homogenous na sistema linear na equation umiiral kung at kung ang det(A - λE) = 0. Kaya, para ang λ ay isang eigenvalue ng operator A ito ay kinakailangan at sapat na ang det(A - λE) = 0.
Kung ang equation (*) ay nakasulat nang detalyado sa coordinate form, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema ng linear homogenous equation:
(1)
saan - linear operator matrix.
Ang system (1) ay may non-zero na solusyon kung ang determinant nito ay D katumbas ng zero
Nakatanggap kami ng equation para sa paghahanap ng mga eigenvalue.
Ang equation na ito ay tinatawag na characteristic equation, at ang kaliwang bahagi nito ay tinatawag na characteristic polynomial ng matrix (operator) A. Kung ang katangiang polynomial ay walang tunay na ugat, kung gayon ang matrix A ay walang eigenvectors at hindi maaaring bawasan sa diagonal form.
Hayaang ang λ 1, λ 2, …, λ n ang tunay na mga ugat ng katangiang equation, at kabilang sa mga ito ay maaaring mayroong multiple. Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa turn sa system (1), nakita namin ang eigenvectors.
Halimbawa 12.
Ang linear operator A ay kumikilos sa R 3 ayon sa batas, kung saan ang x 1, x 2, .., x n ay ang mga coordinate ng vector sa batayan ,
,
. Hanapin ang mga eigenvalues at eigenvectors ng operator na ito.
Solusyon.
Binubuo namin ang matrix ng operator na ito: .
Lumilikha kami ng isang sistema para sa pagtukoy ng mga coordinate ng eigenvectors:
Bumubuo kami ng isang katangian na equation at lutasin ito: .
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Ang pagpapalit ng λ = -1 sa system, mayroon tayong: o
kasi , pagkatapos ay mayroong dalawang umaasang variable at isang libreng variable.
Hayaan ang x 1 na maging isang libreng hindi kilala, kung gayon Niresolba namin ang sistemang ito sa anumang paraan at hinahanap karaniwang desisyon ng sistemang ito: Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng isang solusyon, dahil n - r = 3 - 2 = 1.
Ang set ng eigenvectors na tumutugma sa eigenvalue λ = -1 ay may anyo: , kung saan ang x 1 ay anumang numero maliban sa zero. Pumili tayo ng isang vector mula sa set na ito, halimbawa, paglalagay ng x 1 = 1: .
Sa katulad na pangangatwiran, nakita natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 3: .
Sa espasyo R 3, ang batayan ay binubuo ng tatlong linearly independent vectors, ngunit nakatanggap lamang kami ng dalawang linearly independent eigenvectors, kung saan ang batayan sa R 3 ay hindi maaaring binubuo. Dahil dito, hindi natin mababawasan ang matrix A ng isang linear operator sa diagonal na anyo.
Halimbawa 13.
Binigyan ng matrix .
1. Patunayan na ang vector ay isang eigenvector ng matrix A. Hanapin ang eigenvalue na katumbas ng eigenvector na ito.
2. Maghanap ng batayan kung saan ang matrix A ay may dayagonal na anyo.
Solusyon.
1. Kung , kung gayon ang x ay isang eigenvector .
Ang Vector (1, 8, -1) ay isang eigenvector. Eigenvalue λ = -1.
Ang matrix ay may dayagonal na anyo sa isang batayan na binubuo ng eigenvectors. Isa sa kanila ay sikat. Hanapin natin ang natitira.
Naghahanap kami ng mga eigenvector mula sa system:
Katangiang equation: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hanapin natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = -3:
Ang ranggo ng matrix ng system na ito ay dalawa at katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kaya ang sistemang ito ay mayroon lamang isang zero na solusyon x 1 = x 3 = 0. x 2 dito ay maaaring maging anumang bagay maliban sa zero, halimbawa, x 2 = 1. Kaya, ang vector (0 ,1,0) ay isang eigenvector na katumbas ng λ = -3. Suriin natin: .
Kung λ = 1, pagkatapos ay makuha namin ang system
Ang ranggo ng matrix ay dalawa. Tinatanggal namin ang huling equation.
Hayaan ang x 3 na maging isang libreng hindi kilala. Pagkatapos x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Ipagpalagay na x 3 = 1, mayroon tayong (-3,-9,1) - isang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 1. Suriin: .
Dahil ang mga eigenvalues ay totoo at naiiba, ang mga vector na nauugnay sa kanila ay linearly independent, kaya maaari silang kunin bilang batayan sa R 3 . Kaya, sa batayan ,
,
Ang matrix A ay may anyo:
.
Hindi lahat ng matrix ng isang linear operator A:R n → R n ay maaaring bawasan sa diagonal na anyo, dahil para sa ilang mga linear operator ay maaaring mas mababa sa n linear independent eigenvectors. Gayunpaman, kung ang matrix ay simetriko, kung gayon ang ugat ng katangian na equation ng multiplicity m ay tumutugma sa eksaktong m linearly independent vectors.
Kahulugan.
Ang simetriko matrix ay isang parisukat na matrix kung saan ang mga elementong simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal ay pantay, iyon ay, kung saan .
Mga Tala.
1. Ang lahat ng eigenvalues ng isang simetriko matrix ay totoo.
2. Ang mga eigenvector ng isang simetriko matrix na tumutugma sa magkaibang magkaibang mga eigenvalues ay orthogonal.
Bilang isa sa maraming mga aplikasyon ng pinag-aralan na kagamitan, isinasaalang-alang namin ang problema sa pagtukoy ng uri ng isang second-order curve.
Paano magpasok ng mga mathematical formula sa isang website?
Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong binuo ng Wolfram Alpha . Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at, sa palagay ko, gagana magpakailanman), ngunit luma na sa moral.
Kung regular kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, inirerekumenda kong gumamit ka ng MathJax - isang espesyal na library ng JavaScript na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX o ASCIIMathML markup.
Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na magiging sa tamang sandali awtomatikong naglo-load mula sa isang malayong server (listahan ng mga server); (2) i-download ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan - mas kumplikado at matagal - ay magpapabilis sa paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob lamang ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.
Maaari mong ikonekta ang script ng library ng MathJax mula sa isang malayong server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o sa pahina ng dokumentasyon:
Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon ng code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o kaagad pagkatapos ng tag. Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit ang pangalawang opsyon ay awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ang pinakabagong mga bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung ilalagay mo ang pangalawang code, mas mabagal ang paglo-load ng mga page, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.
Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng download code na ipinakita sa itaas, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon alamin ang markup syntax ng MathML, LaTeX, at ASCIIMathML, at handa ka nang magpasok ng mga mathematical formula sa mga web page ng iyong site.
Ang anumang fractal ay itinayo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.
Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may side 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ang resulta ay isang set na binubuo ng natitirang 20 mas maliliit na cube. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang hanggan, nakakakuha kami ng Menger sponge.
Sa matrix A, kung mayroong isang numero l tulad na AX = lX.
Sa kasong ito, ang numero l ay tinatawag na eigenvalue ng operator (matrix A), na tumutugma sa vector X.
Sa madaling salita, ang eigenvector ay isang vector na, sa ilalim ng pagkilos ng isang linear operator, ay nagiging isang collinear vector, i.e. multiply lang sa ilang numero. Sa kabaligtaran, ang mga hindi wastong vector ay mas kumplikadong baguhin.
Isulat natin ang kahulugan ng isang eigenvector sa anyo ng isang sistema ng mga equation:
Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:
Ang huling sistema ay maaaring isulat sa matrix form tulad ng sumusunod:
(A - lE)X = O
Ang resultang sistema ay laging may zero na solusyon X = O. Ang mga ganitong sistema kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag na homogenous. Kung ang matrix ng naturang sistema ay parisukat at ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paggamit ng mga formula ng Cramer ay palaging makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon - zero. Mapapatunayan na ang isang sistema ay may mga non-zero na solusyon kung at kung ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero, i.e.
|A - lE| = = 0
Ang equation na ito na may hindi kilalang l ay tinatawag na characteristic equation (characteristic polynomial) ng matrix A (linear operator).
Mapapatunayan na ang katangiang polynomial ng isang linear operator ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan.
Halimbawa, hanapin natin eigenvalues at eigenvectors ng linear operator na tinukoy ng matrix A = .
Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang katangiang equation |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.
Upang mahanap ang mga eigenvector, nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation
(A + 5E)X = O
(A - 7E)X = O
Para sa una sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo
,
kung saan ang x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ibig sabihin. X (1) = (-(2/3)s; s).
Para sa pangalawa sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo
,
mula sa kung saan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ibig sabihin. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).
Kaya, ang eigenvectors ng linear operator na ito ay lahat ng vectors ng form (-(2/3)с; с) na may eigenvalue (-5) at lahat ng vectors ng form ((2/3)с 1 ; с 1) na may eigenvalue 7 .
Mapapatunayan na ang matrix ng operator A sa batayan na binubuo ng mga eigenvector nito ay dayagonal at may anyo:
,
kung saan ako ang mga eigenvalues ng matrix na ito.
Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix A sa ilang batayan ay dayagonal, kung gayon ang lahat ng mga vector ng batayan na ito ay magiging eigenvectors ng matrix na ito.
Mapapatunayan din na kung ang isang linear na operator ay may n pairwise na natatanging eigenvalues, kung gayon ang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent, at ang matrix ng operator na ito sa kaukulang batayan ay may diagonal na anyo.
Ilarawan natin ito sa nakaraang halimbawa. Kunin natin ang mga di-zero na halaga c at c 1, ngunit ang mga vectors X (1) at X (2) ay linearly independent, i.e. magiging batayan. Halimbawa, hayaan ang c = c 1 = 3, pagkatapos X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).
I-verify natin ang linear na kalayaan ng mga vector na ito:
12 ≠ 0. Sa bagong batayan na ito, ang matrix A ay kukuha ng anyong A * = .
Para ma-verify ito, gamitin natin ang formula A * = C -1 AC. Una, hanapin natin ang C -1.
C -1 = ;
Ang parisukat na anyo na f(x 1, x 2, x n) ng n mga variable ay isang kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o ang produkto ng dalawang magkaibang mga variable, na kinuha sa isang tiyak na koepisyent: f( x 1, x 2, x n ) = (a ij = a ji).
Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag na matrix ng quadratic form. Ito ay palaging isang simetriko matrix (ibig sabihin, isang matrix simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).
Sa matrix notation parisukat na anyo ay may anyong f(X) = X T AX, kung saan
Sa totoo lang
Halimbawa, sumulat tayo anyo ng matrix parisukat na anyo.
Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang
Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-singular matrix ng nth order. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.
Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * = C T AC.
Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.
Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical (may kanonikal na anyo) kung ang lahat ng mga coefficient nito ay a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .
Ang matrix nito ay dayagonal.
Theorem (hindi ibinigay dito ang patunay). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.
Halimbawa, bawasan natin ang quadratic form sa canonical form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.
Upang gawin ito, pumili muna ng kumpletong parisukat na may variable na x 1:
f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.
Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.
Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .
Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang natanggap iba't ibang paraan Ang mga canonical form ay may ilang pangkalahatang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang pag-aari na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.
I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang negatibong koepisyent -3 sa y 1 at dalawang positibong koepisyent 3 at 2 sa y 2 at y 3 (at gamit ang isa pang paraan nakakuha kami ng negatibong koepisyent (-5) sa y 2 at dalawang positibo: 2 sa y 1 at 1/20 sa y 3).
Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag na ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficients kanonikal na anyo at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.
Ang isang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag na positibo (negatibo) tiyak kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).
Halimbawa, ang parisukat na anyo f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positibong tiyak, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.
Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).
Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ng matrix nito ay positibo (negatibo).
Theorem (Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga nangungunang menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.
Ang pangunahing (angular) minor ng kth order ng nth order matrix A ay ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().
Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.
Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.
= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.
Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.
Sinusuri namin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.
Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Dahil dito, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, simula sa minus).
At bilang isa pang halimbawa, sinusuri natin ang quadratic form na tinutukoy ng sign f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41; .
Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ay iba. Dahil dito, ang parisukat na anyo ay maaaring hindi negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).
Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).
SISTEMA NG HOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS
Ang isang sistema ng homogenous linear equation ay isang sistema ng anyo
Ito ay malinaw na sa kasong ito , dahil lahat ng elemento ng isa sa mga column sa mga determinant na ito ay katumbas ng zero.
Dahil ang mga hindi alam ay matatagpuan ayon sa mga formula , pagkatapos ay sa kaso kapag Δ ≠ 0, ang sistema ay may natatanging zero na solusyon x = y = z= 0. Gayunpaman, sa maraming problema ang kawili-wiling tanong ay kung ang isang homogenous na sistema ay may mga solusyon maliban sa zero.
Teorama.
Upang magkaroon ng non-zero na solusyon ang isang sistema ng linear homogeneous equation, kinakailangan at sapat na Δ ≠ 0.
Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng mga linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
![](https://i2.wp.com/toehelp.ru/theory/math_new/lecture15/l15image008.gif)
Mga halimbawa.
Eigenvectors at eigenvalues ng isang matrix , Hayaang magbigay ng square matrix X – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix. .
A Hayaang magbigay ng square matrix
Sa maraming problema kailangan nating isaalang-alang ang equation para sa
kung saan ang λ ay isang tiyak na numero. Malinaw na para sa anumang λ ang equation na ito ay may zero na solusyon. eigenvalue matrice – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix, A Hayaang magbigay ng square matrix para sa gayong λ ay tinatawag eigenvector matrice – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix.
Hanapin natin ang eigenvector ng matrix – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix. Dahil ang E∙X = X, kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang o
. Sa pinalawak na anyo, ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang isang sistema ng mga linear na equation. Talaga
.
At samakatuwid
Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng homogenous na linear equation para sa pagtukoy ng mga coordinate x 1, x 2, x 3 vector Hayaang magbigay ng square matrix. Para sa isang sistema na magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang determinant ng system ay katumbas ng zero, i.e.
Ito ay isang 3rd degree na equation para sa λ. Ang tawag dito katangian equation matrice – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix at nagsisilbi upang matukoy ang mga eigenvalues ng λ.
Ang bawat eigenvalue λ ay tumutugma sa isang eigenvector Hayaang magbigay ng square matrix, na ang mga coordinate ay tinutukoy mula sa system sa katumbas na halaga ng λ.
Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng mga linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
VECTOR ALGEBRA. ANG KONSEPTO NG VECTOR
Kapag nag-aaral ng iba't ibang sangay ng pisika, may mga dami na ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa kanilang mga numerical na halaga, halimbawa, haba, lugar, masa, temperatura, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na scalar. Gayunpaman, bilang karagdagan sa kanila, mayroon ding mga dami, upang matukoy kung alin, bilang karagdagan sa numerical na halaga, kinakailangan ding malaman ang kanilang direksyon sa espasyo, halimbawa, ang puwersa na kumikilos sa katawan, ang bilis at pagbilis ng katawan kapag gumagalaw ito sa kalawakan, tensyon magnetic field sa isang partikular na punto sa espasyo, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na mga dami ng vector.
Ipakilala natin ang isang mahigpit na kahulugan.
Direktang segment Tawagan natin ang isang segment, na nauugnay sa mga dulo kung saan alam kung alin sa kanila ang una at alin ang pangalawa.
Vector tinatawag na nakadirekta na segment na may tiyak na haba, i.e. Ito ay isang segment ng isang tiyak na haba, kung saan ang isa sa mga puntong naglilimita dito ay kinuha bilang simula, at ang pangalawa bilang dulo. Kung – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix- ang simula ng vector, B ay ang katapusan nito, kung gayon ang vector ay tinutukoy ng simbolo bilang karagdagan, ang vector ay madalas na tinutukoy ng isang solong titik. Sa figure, ang vector ay ipinahiwatig ng isang segment, at ang direksyon nito sa pamamagitan ng isang arrow.
Module o haba Ang isang vector ay tinatawag na haba ng nakadirekta na segment na tumutukoy dito. Tinutukoy ng || o ||.
Isasama rin natin ang tinatawag na zero vector, na ang simula at pagtatapos ay nag-tutugma, bilang mga vector. Ito ay itinalaga. Ang zero vector ay walang partikular na direksyon at ang modulus nito ay zero ||=0.
Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya. Bukod dito, kung ang mga vector at nasa parehong direksyon, isusulat namin ang , kabaligtaran.
Ang mga vector na matatagpuan sa mga tuwid na linya na parallel sa parehong eroplano ay tinatawag coplanar.
Ang dalawang vector ay tinatawag pantay, kung ang mga ito ay collinear, may parehong direksyon at pantay ang haba. Sa kasong ito sila ay nagsusulat.
Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector, sumusunod na ang isang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito, na inilalagay ang pinagmulan nito sa anumang punto sa espasyo.
Halimbawa .
MGA LINEAR NA OPERASYON SA MGA VECTOR
Ang produkto ng isang vector at ang numerong λ ay isang bagong vector tulad na:
Ang produkto ng isang vector at isang numerong λ ay tinutukoy ng .
Halimbawa, mayroong isang vector na nakadirekta sa parehong direksyon ng vector at may haba na kalahating kasing laki ng vector.
Ang ipinakilala na operasyon ay may mga sumusunod na katangian:
Hayaan at maging dalawang arbitrary na vector. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto O at bumuo ng isang vector. Pagkatapos noon mula sa punto – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix isantabi natin ang vector. Ang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng pangalawa ay tinatawag halaga ng mga vector na ito at ipinapahiwatig .
Tinatawag ang formulated definition ng vector addition tuntunin ng paralelogram, dahil ang parehong kabuuan ng mga vector ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Ipagpaliban natin mula sa punto O mga vector at . Bumuo tayo ng paralelogram sa mga vector na ito OABC. Dahil ang mga vector, pagkatapos ay ang vector, na isang dayagonal ng isang paralelogram na iginuhit mula sa vertex O, ay malinaw na isang kabuuan ng mga vector.
Madaling suriin ang mga sumusunod na katangian ng pagdaragdag ng vector.
Ang isang vector collinear sa isang naibigay na vector, katumbas ng haba at magkasalungat na direksyon, ay tinatawag kabaligtaran vector para sa isang vector at tinutukoy ng . Ang kabaligtaran na vector ay maaaring isaalang-alang bilang resulta ng pagpaparami ng vector sa bilang na λ = –1: .
Binibigyang-daan ka ng www.site na mahanap. Ginagawa ng site ang pagkalkula. Sa ilang segundo ay maglalabas ang server tamang solusyon . Ang katangian na equation para sa matrix ay isang algebraic expression na matatagpuan ayon sa panuntunan para sa pagkalkula ng determinant ng matrix matrix, habang ang pangunahing dayagonal ay ang pagkakaiba sa mga halaga ng mga elemento ng dayagonal at variable. Kapag kinakalkula ang characteristic equation para sa isang matrix online, ang bawat elemento ng matrix ay i-multiply sa mga katumbas na elemento ng matrix. Mahahanap mo ito online para lamang sa isang square matrix. Ang operasyon ng paghahanap ng characteristic equation para sa isang online na matrix ay ibinaba sa pagkalkula ng algebraic sum ng produkto ng mga elemento ng matrix bilang resulta ng paghahanap ng determinant ng matrix, para lamang sa layunin ng pagtukoy ng characteristic equation para sa online. matris. Ang operasyong ito ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa teorya ng matrix na nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng mga eigenvalues at vectors gamit ang mga ugat. Ang gawain ng paghahanap ng katangian na equation para sa isang matrix online ay binubuo ng pagpaparami ng mga elemento ng matrix at pagkatapos ay pagbubuod ng mga produktong ito ayon sa isang tiyak na panuntunan. Hinahanap ng www.site ang katangiang equation para sa isang matrix ng isang partikular na dimensyon online. Ang pagkalkula ng katangian na equation para sa isang matrix online para sa isang partikular na dimensyon ay ang paghahanap ng isang polynomial na may mga numerical o simbolikong coefficient, na matatagpuan ayon sa panuntunan para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix - bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga kaukulang elemento ng matrix, para lamang sa ang layunin ng pagtukoy ng katangian na equation para sa matrix online. Ang paghahanap ng polynomial na may kinalaman sa isang variable para sa isang square matrix, bilang isang kahulugan ng katangian ng equation para sa isang matrix, ay karaniwan sa teorya ng matrix. Ang halaga ng mga ugat ng polynomial ng katangian na equation para sa isang online na matrix ay ginagamit upang matukoy ang mga eigenvector at eigenvalues para sa matrix. Bukod dito, kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero, kung gayon ang katangian na equation ng matrix ay mananatili pa rin, hindi katulad ng inverse matrix. Upang makalkula ang katangian na equation para sa isang matrix o makahanap ng mga katangian na equation para sa ilang mga matrice nang sabay-sabay, kailangan mong gumastos ng maraming oras at pagsisikap, habang ang aming server ay makakahanap ng katangian na equation para sa isang matrix online sa loob ng ilang segundo. Sa kasong ito, ang sagot sa paghahanap ng katangian na equation para sa isang online na matrix ay magiging tama at may sapat na katumpakan, kahit na ang mga numero kapag naghahanap ng katangian na equation para sa isang online na matrix ay magiging hindi makatwiran. Sa website na www.site, pinapayagan ang mga simbolikong entry sa mga elemento ng matrix, iyon ay, ang katangiang equation para sa isang online na matrix ay maaaring katawanin sa pangkalahatang simbolikong anyo kapag kinakalkula ang katangian na equation ng isang online na matrix. Kapaki-pakinabang na suriin ang sagot na nakuha kapag nilulutas ang problema sa paghahanap ng katangian na equation para sa isang matrix online gamit ang website na www.site. Kapag nagsasagawa ng operasyon ng pagkalkula ng isang polynomial - ang katangian na equation ng isang matrix, dapat kang maging maingat at lubos na nakatuon kapag nilutas ang problemang ito. Sa turn, tutulungan ka ng aming site na suriin ang iyong solusyon sa paksa ng katangian na equation ng isang matrix online. Kung wala kang oras para sa mahabang pagsusuri ng mga nalutas na problema, ang www.site ay tiyak na magiging isang maginhawang tool para sa pagsuri kapag hinahanap at kinakalkula ang katangian na equation para sa isang matrix online.