Polar coordinate system: mga pangunahing konsepto at halimbawa. Hugis at sukat ng lupa. mga sistema ng coordinate. Heights. Presyon ng lupa sa mga istruktura
Kung magpapakilala tayo ng coordinate system sa isang eroplano o sa three-dimensional na espasyo, magagawa nating ilarawan mga geometric na numero at ang kanilang mga katangian gamit ang mga equation at inequalities, ibig sabihin, magagamit natin ang mga pamamaraan ng algebra. Samakatuwid, ang konsepto ng isang coordinate system ay napakahalaga.
Sa artikulong ito ipapakita namin kung paano tinukoy ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa isang eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo at alamin kung paano tinutukoy ang mga coordinate ng mga puntos. Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng mga graphic na ilustrasyon.
Pag-navigate sa pahina.
Rectangular Cartesian coordinate system sa isang eroplano.
Ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system sa eroplano.
Upang gawin ito, gumuhit ng dalawang magkaparehong patayo na linya sa eroplano at piliin ang bawat isa sa kanila positibong direksyon, na nagsasaad nito gamit ang isang arrow, at piliin ang bawat isa sa kanila sukat(yunit ng haba). Tukuyin natin ang punto ng intersection ng mga linyang ito sa pamamagitan ng letrang O at isaalang-alang ito panimulang punto. Kaya nakuha namin rectangular coordinate system sa ibabaw.
Ang bawat isa sa mga tuwid na linya na may napiling pinagmulan O, direksyon at sukat ay tinatawag linya ng coordinate o coordinate axis.
Ang isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay karaniwang tinutukoy ng Oxy, kung saan ang Ox at Oy ay ang mga coordinate axes nito. Ang Ox axis ay tinatawag x-axis, at ang Oy axis – y-axis.
Ngayon ay magkasundo tayo sa larawan ng isang rectangular coordinate system sa isang eroplano.
Karaniwan, ang yunit ng pagsukat ng haba sa Ox at Oy axes ay pinipili na pareho at naka-plot mula sa pinanggalingan sa bawat coordinate axis sa positibong direksyon (minarkahan ng gitling sa mga coordinate axes at ang unit ay nakasulat sa tabi ng ito), ang abscissa axis ay nakadirekta sa kanan, at ang ordinate axis ay nakadirekta paitaas. Ang lahat ng iba pang mga opsyon para sa direksyon ng mga coordinate axes ay binabawasan sa tininigan (Ox axis - sa kanan, Oy axis - pataas) sa pamamagitan ng pag-ikot ng coordinate system sa isang tiyak na anggulo na nauugnay sa pinagmulan at pagtingin dito mula sa kabilang panig. ng eroplano (kung kinakailangan).
Ang rectangular coordinate system ay madalas na tinatawag na Cartesian, dahil ito ay unang ipinakilala sa eroplano ni Rene Descartes. Kahit na mas karaniwan, ang isang rectangular coordinate system ay tinatawag na isang rectangular Cartesian coordinate system, na pinagsama ang lahat ng ito.
Parihabang coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo.
Ang rectangular coordinate system na Oxyz ay nakatakda sa katulad na paraan sa three-dimensional na Euclidean space, hindi lamang dalawa, ngunit tatlong magkaparehong patayo na linya ang kinuha. Sa madaling salita, ang isang coordinate axis Oz ay idinagdag sa coordinate axes na Ox at Oy, na tinatawag na ilapat ang axis.
Depende sa direksyon ng mga coordinate axes, ang kanan at kaliwang rectangular coordinate system sa three-dimensional na espasyo ay nakikilala.
Kung titingnan mula sa positibong direksyon ng Oz axis at ang pinakamaikling pag-ikot mula sa positibong direksyon ng Ox axis hanggang sa positibong direksyon ng Oy axis ay nangyayari sa counterclockwise, kung gayon ang coordinate system ay tinatawag tama.
Kung titingnan mula sa positibong direksyon ng Oz axis at ang pinakamaikling pag-ikot mula sa positibong direksyon ng Ox axis hanggang sa positibong direksyon ng Oy axis ay nangyayari sa clockwise, kung gayon ang coordinate system ay tinatawag na umalis.
Mga coordinate ng isang punto sa isang Cartesian coordinate system sa isang eroplano.
Una, isaalang-alang ang coordinate line Ox at kumuha ng ilang punto M dito.
Ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang punto M sa coordinate line na ito. Halimbawa, ang isang puntong matatagpuan sa isang linya ng coordinate sa layo mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon ay tumutugma sa numero , at ang numero -3 ay tumutugma sa isang puntong matatagpuan sa layo na 3 mula sa pinanggalingan sa negatibong direksyon. Ang numero 0 ay tumutugma sa panimulang punto.
Sa kabilang banda, ang bawat punto M sa coordinate line Ox ay tumutugma sa isang tunay na numero. Ang tunay na numerong ito ay sero kung ang punto M ay tumutugma sa pinanggalingan (punto O). Ang tunay na numerong ito ay positibo at katumbas ng haba ng segment na OM sa isang naibigay na sukat kung ang punto M ay aalisin mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon. Ang tunay na numerong ito ay negatibo at katumbas ng haba ng segment na OM na may minus sign kung ang punto M ay aalisin mula sa pinanggalingan sa negatibong direksyon.
Tinatawag ang numero coordinate puntos M sa linya ng coordinate.
Ngayon isaalang-alang ang isang eroplano na may ipinakilala na rectangular Cartesian coordinate system. Markahan natin ang isang arbitrary point M sa eroplanong ito.
Hayaan ang projection ng point M sa line Ox, at maging projection ng point M sa coordinate line Oy (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Iyon ay, kung sa pamamagitan ng punto M gumuhit kami ng mga linya patayo sa coordinate axes Ox at Oy, kung gayon ang mga punto ng intersection ng mga linyang ito na may mga linya na Ox at Oy ay mga puntos at, ayon sa pagkakabanggit.
Hayaang tumugma ang numero sa isang punto sa Ox coordinate axis, at ang numero sa isang punto sa Oy axis.
Ang bawat punto M ng eroplano sa isang partikular na hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ay tumutugma sa isang natatanging nakaayos na pares ng mga tunay na numero, na tinatawag na mga coordinate ng point M sa ibabaw. Tinatawag ang coordinate abscissa ng point M, A - ordinate ng point M.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: ang bawat nakaayos na pares ng mga tunay na numero ay tumutugma sa isang punto M sa eroplano sa isang ibinigay na sistema ng coordinate.
Mga coordinate ng isang punto sa isang rectangular coordinate system sa three-dimensional na espasyo.
Ipakita natin kung paano tinutukoy ang mga coordinate ng point M sa isang rectangular coordinate system na tinukoy sa three-dimensional na espasyo.
Hayaan at maging projection ng point M papunta sa coordinate axes na Ox, Oy at Oz, ayon sa pagkakabanggit. Hayaang tumutugma ang mga puntong ito sa mga coordinate axes Ox, Oy at Oz sa mga tunay na numero at.
Ang mga projection ng point M papunta sa coordinate axes ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng pagbuo ng mga eroplano na patayo sa mga linyang Ox, Oy at Oz at pagdaan sa punto M. Ang mga eroplanong ito ay mag-intersect sa mga coordinate na linya na Ox, Oy at Oz sa mga punto at, ayon sa pagkakabanggit.
Ang bawat punto sa three-dimensional na espasyo sa isang ibinigay na Cartesian coordinate system ay tumutugma sa isang ordered triple ng mga tunay na numero, na tinatawag na mga coordinate ng point M, ang mga numero ay tinatawag abscissa, ordinate At mag-apply puntos M ayon sa pagkakabanggit. Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: ang bawat inayos na triple ng mga tunay na numero sa isang ibinigay na rectangular coordinate system ay tumutugma sa isang punto M sa tatlong-dimensional na espasyo.
Bibliograpiya.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometry. Baitang 7 – 9: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng sekondaryang paaralan.
- Mordkovich A.G. Algebra. ika-7 baitang. Bahagi 1: aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
Mga coordinate
- ito ay mga dami na tumutukoy sa posisyon ng anumang punto sa ibabaw o sa espasyo sa pinagtibay na sistema ng coordinate. Ang sistema ng coordinate ay nagtatatag ng paunang (pinagmulan) na mga punto, linya o eroplano para sa pagbibilang ng mga kinakailangang dami - ang pinagmulan ng mga coordinate at ang kanilang mga yunit. Sa topograpiya at geodesy, ang mga sistema ng geographic, rectangular, polar at bipolar na mga coordinate ang pinakamalawak na ginagamit.
Ang mga geographic na coordinate (Larawan 2.8) ay ginagamit upang matukoy ang posisyon ng mga punto sa ibabaw ng Earth sa isang ellipsoid (sphere). Sa coordinate system na ito, ang inisyal na eroplano ay ang prime meridian at ang equatorial plane. Ang meridian ay isang linya ng seksyon ng isang ellipsoid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto at ang axis ng pag-ikot ng Earth.
Ang parallel ay isang linya ng seksyon ng isang ellipsoid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa axis ng mundo. Ang isang parallel na ang eroplano ay dumadaan sa gitna ng ellipsoid ay tinatawag na ekwador. Sa bawat puntong nakahiga sa ibabaw ng globo, isang meridian at isang parallel lamang ang maaaring iguhit.
Mga heograpikal na coordinate
ay angular na dami: longitude l at latitude j.
Ang geographical longitude l ay ang dihedral na anggulo sa pagitan ng eroplano ng isang partikular na meridian (pagdaraan sa punto B) at ng eroplano ng prime meridian. Ang prime meridian ay itinuturing na meridian na dumadaan sa gitna ng pangunahing bulwagan ng Greenwich Observatory sa loob ng lungsod ng London. Para sa punto B, ang longitude ay tinutukoy ng anggulo l = WCD. Ang mga longitude ay binibilang mula sa prime meridian sa parehong direksyon - silangan at kanluran. Kaugnay nito, ang kanluran at silangang mga longitude ay nakikilala, na nag-iiba mula 0° hanggang 180°.
Geographic na latitude
j ay ang anggulo na nabuo ng equatorial plane at ang plumb line na dumadaan sa isang partikular na punto. Kung ang Earth ay kinuha bilang isang sphere, pagkatapos ay para sa point B (Fig. 2.8) latitude j ay tinutukoy ng anggulo DCB. Ang mga latitude na sinusukat mula sa ekwador hanggang sa hilaga ay tinatawag na hilaga, at sa timog - timog, sila ay nag-iiba mula 0° sa ekwador hanggang 90° sa mga pole.
Ang mga geographic na coordinate ay maaaring makuha mula sa astronomical observation o geodetic measurements. Sa unang kaso sila ay tinatawag na astronomical, at sa pangalawa - geodetic (L - longitude, B - latitude). Sa panahon ng astronomical na mga obserbasyon, ang projection ng mga puntos sa ibabaw ng sanggunian ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga linya ng tubo, at sa panahon ng geodetic measurements - sa pamamagitan ng mga normal. Samakatuwid, ang mga halaga ng astronomical at geodetic na mga coordinate ay naiiba sa dami ng paglihis ng linya ng tubo.
Ang paggamit ng iba't ibang reference na ellipsoids ng iba't ibang mga estado ay humahantong sa mga pagkakaiba sa mga coordinate ng parehong mga punto na kinakalkula na may kaugnayan sa iba't ibang mga ibabaw ng sanggunian. Sa pagsasagawa, ito ay ipinahayag sa pangkalahatang displacement ng cartographic na imahe na may kaugnayan sa mga meridian at parallel sa mga mapa ng malaki at katamtamang mga kaliskis.
Mga parihabang coordinate
ay tinatawag na mga linear na dami - abscissa at ordinate, na tumutukoy sa posisyon ng isang punto sa eroplano na may kaugnayan sa orihinal na mga direksyon.
(Larawan 2.9)
Sa geodesy at topograpiya, ang kanang kamay na sistema ng mga parihaba na coordinate ay pinagtibay. Ito ay naiiba sa kaliwang kamay na coordinate system na ginagamit sa matematika. Ang mga unang direksyon ay dalawang magkaparehong patayo na linya na may panimulang punto sa kanilang intersection point O.
Ang tuwid na linya XX (abscissa axis) ay nakahanay sa direksyon ng meridian na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate, o sa isang direksyon na kahanay sa isang tiyak na meridian. Ang tuwid na linyang YY (ordinate axis) ay dumadaan sa punto O patayo sa abscissa axis. Sa ganoong sistema, ang posisyon ng isang punto sa eroplano ay tinutukoy ng pinakamaikling distansya dito mula sa mga coordinate axes. Ang posisyon ng point A ay tinutukoy ng haba ng perpendiculars Xa at Ya. Ang segment na Xa ay tinatawag na abscissa ng punto A, at ang Ya ay ang ordinate ng puntong ito. Ang mga parihabang coordinate ay karaniwang ipinahayag sa metro. Ang lugar ng terrain sa punto O ay nahahati sa apat na quarter ng abscissa at ordinate axes (Larawan 2.9). Ang pangalan ng quarters ay tinutukoy ng mga tinatanggap na pagtatalaga ng mga kardinal na puntos. Ang mga quarters ay binibilang sa isang clockwise na direksyon: I - NE; II - SE; III - TK; IV - NW.
Sa mesa Ang 2.3 ay nagpapakita ng X abscissa at Y ordinate na mga palatandaan para sa mga puntos na matatagpuan sa iba't ibang quarter at nagbibigay ng kanilang mga pangalan.
Talahanayan 2.3
Ang mga abscissas ng mga puntos na matatagpuan paitaas mula sa pinagmulan ng mga coordinate ay itinuturing na positibo, at pababa mula dito - negatibo, ang mga ordinate ng mga punto na matatagpuan sa kanan - positibo, sa kaliwa - negatibo. Ang sistema ng flat rectangular coordinate ay ginagamit sa mga limitadong lugar ng ibabaw ng mundo na maaaring mapagkamalang flat.
Ang mga coordinate na ang pinagmulan ay ilang punto sa lupa ay tinatawag na polar. Sa coordinate system na ito, sinusukat ang mga anggulo ng oryentasyon. Sa isang pahalang na eroplano (Larawan 2.10), sa pamamagitan ng isang arbitraryong napiling punto O, na tinatawag na isang poste, gumuhit ng isang tuwid na linya na OX - ang polar axis.
Pagkatapos ang posisyon ng anumang punto, halimbawa, M, ay matutukoy ng radius - vector r1 at ang anggulo ng direksyon a1, at ang punto N - r2 at a2, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga anggulo a1 at a2 ay sinusukat mula sa polar axis clockwise hanggang sa radius vector. Ang polar axis ay maaaring matatagpuan nang arbitraryo o nakahanay sa direksyon ng anumang meridian na dumadaan sa O pole.
Ang bipolar coordinate system (Larawan 2.11) ay kumakatawan sa dalawang napiling nakapirming pole O1 at O2, na konektado sa pamamagitan ng isang tuwid na linya - ang polar axis. Ang coordinate system na ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang posisyon ng point M na may kaugnayan sa polar axis sa eroplano gamit ang dalawang anggulo b1 at b2, dalawang radius vectors r1 at r2, o mga kumbinasyon nito. Kung ang mga parihaba na coordinate ng mga puntos na O1 at O2 ay kilala, kung gayon ang posisyon ng punto M ay maaaring kalkulahin nang analytical.
kanin. 2.11
kanin. 2.12
Taas ng mga punto sa ibabaw ng mundo. Upang matukoy ang posisyon ng mga punto sa pisikal na ibabaw ng Earth, hindi sapat na malaman lamang ang mga pahalang na coordinate X, Y o l, j ang kailangan ng ikatlong coordinate - ang taas ng punto H. Ang taas ng punto H (; Fig. 2.12) ay ang distansya sa patayong direksyon mula sa isang naibigay na punto (A´; B´ ´) hanggang sa tinatanggap na pangunahing antas ng ibabaw MN. Ang numerical value ng taas ng isang punto ay tinatawag na elevation. Ang mga taas na sinusukat mula sa pangunahing antas ng ibabaw na MN ay tinatawag na ganap na taas (AA´; BB´´), at ang mga tinutukoy na may kaugnayan sa isang arbitraryong piniling antas ng ibabaw ay tinatawag na may kondisyon na taas (В´В´´). Ang pagkakaiba sa taas ng dalawang punto o ang distansya sa patayong direksyon sa pagitan ng mga antas na ibabaw na dumadaan sa alinmang dalawang punto ng Earth ay tinatawag na relatibong taas (В´В´´) o ang elevation ng mga puntong ito h.
Ang sistema ng taas ng Baltic noong 1977 ay pinagtibay sa Republika ng Belarus Ang Heights ay kinakalkula mula sa antas ng ibabaw, na tumutugma sa average na antas ng tubig sa Gulpo ng Finland, mula sa zero ng Kronstadt water gauge.
Eto pa isa
Halimbawa 1. Kalkulahin natin sa geocentric celestial sphere ang anggulo ng oras H at ang declination ng isang katawan na may azimuth (sinusukat sa direksyong silangan mula sa hilagang punto) A at altitude a. Sa kasong ito, ipagpalagay natin na ang latitude ng observer ay katumbas ng
Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 2.11 ang kaukulang celestial sphere, kung saan ang X ay tumutukoy sa posisyon ng katawan, at ang natitirang mga simbolo ay may kanilang karaniwang kahulugan.
Ang cosine theorem na inilapat sa spherical triangle PZX ay nagbibigay
Mula dito maaari mong kalkulahin. Gamit ang cosine theorem muli, nakukuha natin
saan natin makikita ang H, dahil kilala na ang b.
Sa kabilang banda, gamit ang formula na nagkokonekta sa apat na dami (90° - a), (360° - A), at H, nakukuha natin
Halimbawa 2. Sa pag-aakalang pantay ang inclination ng ecliptic, binabago namin ang ecliptic coordinates (celestial longitude K at celestial latitude P) ng spacecraft sa geocentric equatorial coordinates (right ascension a at declination).
Gaya ng ipinapakita sa Fig. 2.12, ang spherical triangle na KRH (X ang posisyon ng spacecraft sa celestial sphere) ay naglalaman ng lahat ng kinakailangang impormasyon.
Gamit naman ang cosine theorem, ang sine theorem at isang analogue ng cosine theorem, nakukuha natin
saan makikita ang a at b.
Bilang pagsasanay, inaanyayahan ang mambabasa na isagawa ang kabaligtaran na pagbabago sa mga tinalakay sa Mga Halimbawa 1 at 2.
Halimbawa 3. Gamit ang kilalang heliocentric rectangular coordinate ng isang spacecraft na umiikot sa Araw, tinutukoy namin ang geocentric na distansya, right ascension a at declination nito.
Ang halimbawang ito ay maglalarawan ng ilang mahahalagang prinsipyo. Upang obserbahan ang isang spacecraft mula sa Earth o makipag-ugnayan dito sa isang partikular na punto ng oras, kailangan mong malaman ang geocentric right ascension, declination at offset ng device. Sa kabilang banda, interplanetary
ang isang planetary spacecraft ay gumagalaw sa isang orbit sa paligid ng Araw, at ang mga elemento ng naturang orbit ay tinutukoy sa heliocentric system. Ang pag-alam sa mga elemento at oras, posibleng matukoy ang mga parihaba na coordinate sa isang sistema na may pinagmulan sa gitna ng Araw. Sa ibaba ay makikita natin kung paano ito ginagawa (tingnan ang Kabanata 4). Sa halimbawang ito, ipagpalagay natin na ang batayan ng rectangular coordinate system ay ang ecliptic at ang direksyon sa Earth at ipakita kung paano ang mga rectangular coordinate na ito ay maaaring ma-convert sa geocentric na distansya, tamang pag-akyat at declination. Sa astronomiya, ang naturang conversion ay isang karaniwang pamamaraan. Ang kabaligtaran na problema ng pagtukoy ng mga elemento ng orbital mula sa mga sukat ng tamang pag-akyat at pagbabawas ng isang katawan ay isang karaniwang pamamaraan din.
Gayunpaman, ito ay mas kumplikado at tatalakayin sa ibang pagkakataon.
Ang problema ay nalutas sa maraming yugto:
1) mayroong paglipat mula sa heliocentric ecliptic rectangular coordinate system patungo sa heliocentric equatorial rectangular system;
2) mula sa heliocentric equatorial rectangular system lumipat tayo sa geocentric equatorial rectangular system;
3) ang geocentric equatorial rectangular coordinate ay binago sa geocentric distance, right ascension at declination.
Ang mga pagbabagong ito ay isinasagawa bilang mga sumusunod:
1) Sa Fig. Ang 2.13 V ay nagsasaad ng posisyon ng apparatus na may kaugnayan sa Sun S. Sa paggalang sa mga axes (na bumubuo ng isang hugis-parihaba na sistema), ang apparatus ay may mga coordinate upang ang kaugnayan ay wasto
Ang SA (A - perihelion) ay bumalandra sa globo sa punto , at SV sa puntong Q. Pagkatapos ay mayroon tayong
Sa bisa ng cosine theorem na inilapat sa isang spherical triangle QTN, kung saan ang anggulo ay 180° - i, nakukuha namin
kaya naman,
Katulad nito, ang paglalapat ng cosine theorem sa tatsulok na QNB at pag-alala na
nakukuha namin
Sa wakas, ang paglalapat ng cosine theorem sa tatsulok na QKN ay nagbibigay
Upang lumipat sa heliocentric equatorial rectangular coordinates, tandaan na ang mga bagong axes ST, SC at SP ay may mga sumusunod na katangian: ang SC axis ay nasa equatorial plane sa isang anggulo na 90° hanggang ST, at ang SP axis ay patayo sa eroplanong ito at ay nakadirekta upang ang tatlong axes ay bumuo ng isang tamang tatlo. Pagkatapos ang mga bagong axes SC at SP ay nakuha mula sa lumang axes SB at SK sa pamamagitan ng pag-ikot sa huli sa paligid ng isang anggulo. Kung heliocentric
tukuyin ang equatorial rectangular coordinates ng apparatus, pagkatapos
Gamit ang mga equation (2.4), (2.5) at (2.6), nakukuha natin
Ipakilala natin ang isang bilang ng mga pantulong na anggulo upang masiyahan nila ang mga relasyon
Pagkatapos ang mga equation (2.7), (2.8) at (2.9) ay kunin ang anyo
Maginhawang gamitin ang mga formula na ito kung kailangan mong kalkulahin ang mga rectangular coordinates ng device sa ilang posisyon. Ang mga pantulong na dami a, A, D, B, c, C ay mga function ng mga elemento lamang; samakatuwid maaari silang kalkulahin nang isang beses para sa lahat ng mga posisyon. Ang mga variable at f ay dapat kalkulahin para sa bawat posisyon (ang paraan para sa pagkalkula ng mga ito ay ilalarawan sa ibang pagkakataon - tingnan ang Kabanata 4). Dapat, gayunpaman, tandaan na ang mga ito ay pare-pareho lamang sa kaso kapag walang mga kaguluhan na kumikilos sa apparatus. Sa katunayan, ang sitwasyong ito ay sinusunod sa karamihan ng mga interplanetary flight sa mga passive na seksyon ng tilapon.
2) Ngayon ang pinagmulan ng mga coordinate ay inilipat mula sa gitna ng Araw hanggang sa gitna ng Earth. Sa Fig. 2.14 E - Earth, S - Sun, at SP - axes ng heliocentric equatorial coordinate system,
At - mga palakol ng geocentric equatorial rectangular coordinate system, eroplano - ang eroplano ng ekwador ng lupa. Hayaang ang mga coordinate ng sasakyan V ay may kaugnayan sa mga geocentric axes, nang sa gayon
Heliocentric equatorial coordinate ng Earth. Pagkatapos
Kung tinutukoy natin ang geocentric equatorial coordinates ng Araw sa pamamagitan ng (X, Y, Z), kung gayon
Polar coordinate system tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang tiyak na punto O, tinatawag na poste, na nagmumula sa puntong ito ng sinag O.A.(tinutukoy din bilang baka), na tinatawag na polar axis, at isang sukat para sa pagbabago ng mga haba. Bilang karagdagan, kapag tinukoy ang isang polar coordinate system, dapat itong matukoy kung aling mga pag-ikot sa paligid ng punto O ay itinuturing na positibo (sa mga guhit, ang mga pagliko ng pakaliwa ay karaniwang itinuturing na positibo).
Kaya, pumili tayo ng isang tiyak na punto sa eroplano (larawan sa itaas) O(pol) at ilang sinag na umuusbong mula rito baka. Bilang karagdagan, ipinapahiwatig namin ang yunit ng sukat. Mga polar na coordinate ng isang punto M dalawang numero na ρ at φ ang tinatawag, ang una nito (ang polar radius ρ) ay katumbas ng distansya ng punto M mula sa poste O, at ang pangalawa (polar angle φ, na tinatawag ding amplitude) ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang beam nang counterclockwise baka bago ihanay sa sinag OM.
Lubusang paghinto M na may mga polar coordinate na ρ at φ ay itinalaga ng simbolo M(ρ, φ) .
Relasyon sa pagitan ng mga polar coordinate at Cartesian coordinate
Mag-install tayo relasyon sa pagitan ng mga polar coordinate ng isang punto at ng Cartesian coordinate nito . Ipagpalagay namin na ang pinagmulan ng Cartesian rectangular coordinate system ay nasa poste, at ang positibong semi-axis ng abscissa ay tumutugma sa polar axis. Hayaan ang punto M may mga coordinate ng Cartesian x At y at polar coordinate ρ at φ Pagkatapos
x= ρ cos φ)
y= ρ kasalanan φ) .
Polar coordinate ρ at φ ng isang punto M ay tinutukoy ng mga coordinate ng Cartesian nito tulad ng sumusunod:
Upang mahanap ang halaga ng anggulo φ, kailangan mong gamitin ang mga palatandaan x At y, tukuyin ang kuwadrante kung saan matatagpuan ang punto M, at, bilang karagdagan, samantalahin ang katotohanan na ang padaplis ng anggulo φ ay katumbas ng .
Ang mga formula sa itaas ay tinatawag na mga formula para sa paglipat mula sa Cartesian patungo sa mga polar na coordinate.
Mga problema tungkol sa mga punto sa polar coordinate system
Halimbawa 1.
A(3; π /4) ;
B(2; -π /2) ;
C(3; -π /3) .
Hanapin ang mga polar coordinates ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito tungkol sa polar axis.
Solusyon. Sa simetrya, ang haba ng sinag ay hindi nagbabago. Dahil dito, ang unang coordinate - ang haba ng ray - para sa isang puntong simetriko na may kaugnayan sa polar axis ay magiging kapareho ng para sa ibinigay na punto. Tulad ng makikita mula sa pigura sa simula ng aralin, kapag gumagawa ng isang puntong simetriko na may kaugnayan sa polar axis, ang puntong ito ay dapat na paikutin sa paligid ng polar axis ng parehong anggulo φ. Dahil dito, sa polar coordinate system, ang pangalawang coordinate ng simetriko na punto ay ang anggulo para sa orihinal na punto, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, iyon ay, -φ. Kaya, ang mga polar coordinate ng isang puntong simetriko sa ibinigay na isang kamag-anak sa polar axis ay mag-iiba lamang sa pangalawang coordinate, at ang coordinate na ito ay magkakaroon ng kabaligtaran na tanda. Ang mga polar coordinate ng mga kinakailangang simetriko na punto ay ang mga sumusunod:
A"(3; -π /4) ;
B"(2; π /2) ;
C"(3; π /3) .
Halimbawa 2. Sa polar coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(1; π /4) ;
B(5; π /2) ;
C(2; -π /3) .
Hanapin ang mga polar coordinates ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na may kaugnayan sa pole.
Solusyon. Sa simetrya, ang haba ng sinag ay hindi nagbabago. Dahil dito, ang unang coordinate - ang haba ng ray - para sa isang puntong simetriko na may kaugnayan sa poste ay magiging kapareho ng para sa ibinigay na punto. Ang isang puntong simetriko na may kaugnayan sa poste ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto ng 180 degrees counterclockwise, iyon ay, sa pamamagitan ng anggulo π . Dahil dito, ang pangalawang coordinate ng isang puntong simetriko sa ibinigay na isang kamag-anak sa poste ay kinakalkula bilang φ + π (kung ang resulta ay isang numerator na mas malaki kaysa sa denominator, pagkatapos ay ibawas ang isang buong rebolusyon mula sa resultang numero, iyon ay, 2 π ). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa poste:
A"(1; 3π /4) ;
B"(5; -π /2) ;
C"(2; 2π /3) .
Halimbawa 3. Ang pole ng polar coordinate system ay tumutugma sa pinagmulan ng Cartesian rectangular coordinates, at ang polar axis ay tumutugma sa positibong semi-axis ng abscissa. Ang mga puntos ay ibinibigay sa polar coordinate system
A(6; π /2) ;
B(5; 0) ;
C(2; π /4) .
Hanapin ang mga coordinate ng Cartesian ng mga puntong ito.
Solusyon. Gumagamit kami ng mga formula para sa paglipat mula sa mga polar coordinates patungo sa Cartesian:
x= ρ cos φ)
y= ρ kasalanan φ) .
Nakukuha namin ang sumusunod na mga coordinate ng Cartesian ng mga puntong ito:
A(0; 6) ;
B(5; 0) ;
C"(√2; √2) .
Halimbawa 4. Ang pole ng polar coordinate system ay tumutugma sa pinagmulan ng Cartesian rectangular coordinates, at ang polar axis ay tumutugma sa positibong semi-axis ng abscissa. Ang mga puntos ay ibinibigay sa isang Cartesian rectangular coordinate system
A(0; 5) ;
B(-3; 0) ;
C(√3; 1) .
Hanapin ang mga polar coordinates ng mga puntong ito.
Dumaan tayo sa isang direktang lohikal na landas, nang hindi ginagambala ng maraming modernong internasyonal at domestic mga terminong pang-agham. Ang isang sistema ng coordinate ay maaaring ilarawan bilang isang tiyak na sistema ng sanggunian na nakatuon sa dalawang direksyon sa isang eroplano, at sa espasyo sa tatlong direksyon. Kung iyong natatandaan sistema ng matematika, pagkatapos ito ay kinakatawan ng dalawang magkaparehong patayong direksyon, na tinatawag na abscissa (X) at ordinate (Y) axes. Ang mga ito ay nakatuon sa pahalang at patayong direksyon, ayon sa pagkakabanggit. Ang intersection ng mga linyang ito ay ang pinagmulan ng mga coordinate na may mga zero na halaga sa ganap na halaga. At ang lokasyon ng mga punto sa isang eroplano ay tinutukoy gamit ang dalawang coordinate X at Y. Sa geodesy, ang oryentasyon ng mga axes sa isang eroplano ay naiiba sa matematika. Ang isang planar na hugis-parihaba na sistema ay tinutukoy ng X axis sa patayong direksyon (patungo sa hilaga) at ang Y axis sa pahalang na posisyon (patungo sa silangan).
Pag-uuri ng mga sistema ng coordinate
Kasama sa mga polar system ang geographic, astronomical at geodetic, geocentric at topocentric system.
Geographic na coordinate system
Ang saradong ibabaw ng panlabas na tabas ng Earth ay kinakatawan ng isang spheroid geometric na hugis. Ang mga arko sa ibabaw ng bola ay maaaring kunin bilang pangunahing direksyon ng oryentasyon dito. Sa isang pinasimple na pinaliit na modelo ng ating planeta sa anyo ng isang globo (figure ng lupa), makikita mo ang mga tinatanggap na linya ng sanggunian sa anyo ng Greenwich meridian at ang equatorial line.
Ang halimbawang ito ay nagpapahayag ng spatial system ng mga geographic na coordinate na karaniwang tinatanggap sa buong mundo. Ipinakilala nito ang mga konsepto ng longitude at latitude. Ang pagkakaroon ng mga yunit ng degree, kinakatawan nila ang angular magnitude. Maraming tao ang pamilyar sa kanilang mga kahulugan. Dapat alalahanin na ang geographic longitude ng isang partikular na punto ay kumakatawan sa anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano na dumadaan sa prime (Greenwich) meridian at meridian sa tinukoy na punto ng lokasyon. Ang geographic na latitude ng isang punto ay ang anggulo na nabuo sa pagitan ng plumb line (o normal) dito at ng eroplano ng ekwador.
Mga konsepto ng astronomical at geodetic coordinate system at ang kanilang mga pagkakaiba
Ang sistemang heograpikal ay kumbensiyonal na pinagsasama ang astronomical at geodetic system. Upang gawing malinaw kung anong mga pagkakaiba ang umiiral, bigyang-pansin ang mga kahulugan ng geodetic at astronomical coordinates (longitude, latitude, altitude). Sa astronomical system, ang latitude ay itinuturing na anggulo sa pagitan ng equatorial plane at ng plumb line sa punto ng pagpapasiya. At ang mismong hugis ng Earth ay itinuturing dito bilang isang maginoo na geoid, sa matematika na humigit-kumulang na katumbas sa isang globo. Sa geodetic system, ang latitude ay nabuo sa pamamagitan ng normal sa ibabaw ng ellipsoid ng mundo sa isang tiyak na punto at ang eroplano ng ekwador. Ang ikatlong coordinate sa mga system na ito ay nagbibigay ng panghuling pananaw sa kanilang mga pagkakaiba. Ang Astronomical (orthometric) na taas ay ang elevation sa kahabaan ng isang plumb line sa pagitan ng aktwal at isang punto sa ibabaw ng level geoid. Ang geodetic na taas ay ang normal na distansya mula sa ibabaw ng ellipsoid hanggang sa punto ng pagkalkula.
Gauss-Kruger flat rectangular coordinate system
Ang bawat coordinate system ay may sariling teoretikal na pang-agham at praktikal na pang-ekonomiyang aplikasyon, kapwa sa pandaigdigan at panrehiyong saklaw. Sa ilang partikular na kaso, posibleng gumamit ng reference, lokal at conventional coordinate system, ngunit sa pamamagitan ng mathematical calculations at calculations ay maaari pa ring pagsamahin sa isa't isa.
Ang geodetic rectangular plane coordinate system ay isang projection ng mga indibidwal na anim na degree na zone ng ellipsoid. Ang pagkakaroon ng inscribed figure na ito sa loob ng isang pahalang na matatagpuan cylinder, ang bawat zone ay hiwalay na inaasahang papunta sa panloob na cylindrical na ibabaw. Ang mga zone ng naturang spheroid ay limitado ng mga meridian sa mga pagtaas ng anim na degree. Kapag nabuksan sa isang eroplano, ang isang projection ay nakuha, na ipinangalan sa mga Aleman na siyentipiko na bumuo nito, Gauss-Kruger. Sa ganitong paraan ng projection, ang mga anggulo sa pagitan ng anumang direksyon ay nagpapanatili ng kanilang mga halaga. Samakatuwid, kung minsan ito ay tinatawag ding equiangular. Ang abscissa axis sa zone ay dumadaan sa gitna, sa pamamagitan ng conventional axial meridian (X-axis), at ang ordinate axis sa kahabaan ng equator line (Y-axis). Ang haba ng mga linya sa kahabaan ng axial meridian ay ipinapadala nang walang pagbaluktot, at kasama ang linya ng ekwador na may pagbaluktot sa mga gilid ng zone.
Polar coordinate system
Bilang karagdagan sa inilarawan sa itaas na rectangular coordinate system, dapat tandaan ang pagkakaroon at paggamit ng flat polar coordinate system sa paglutas ng mga geodetic na problema. Ginagamit nito ang axis ng direksyon sa hilaga (polar) bilang unang direksyon ng sanggunian, kaya ang pangalan. Upang matukoy ang lokasyon ng mga punto sa eroplano, gamitin ang polar (directional) na anggulo at ang radius vector (horizontal distance) sa punto. Alalahanin natin na ang direksyong anggulo ay itinuturing na anggulong sinusukat mula sa orihinal (hilagang) direksyon hanggang sa tinutukoy. Ang radius vector ay ipinahayag sa pagtukoy ng pahalang na distansya. Ang mga geodetic na sukat ng vertical angle at slant na distansya ay idinaragdag sa spatial polar system upang matukoy ang 3D na posisyon ng mga puntos. Ang pamamaraang ito ay ginagamit halos araw-araw sa trigonometric leveling, topographic surveying at para sa pagbuo ng geodetic network.
Geocentric at topocentric coordinate system
Ang mga satellite geocentric at topocentric coordinate system ay bahagyang binuo gamit ang parehong polar method, na ang pagkakaiba lang ay ang mga pangunahing axes ng three-dimensional na espasyo (X, Y, Z) ay may iba't ibang pinagmulan at direksyon. Sa isang geocentric system, ang pinagmulan ng mga coordinate ay ang sentro ng masa ng Earth. Ang X axis ay nakadirekta sa kahabaan ng Greenwich meridian patungo sa ekwador. Ang Y axis ay inilalagay sa isang hugis-parihaba na posisyon sa silangan ng X. Ang Z axis sa una ay may polar na direksyon kasama ang menor na axis ng ellipsoid. Ang mga coordinate sa loob nito ay:
- sa equatorial plane, geocentric right ascension ng satellite
- sa meridian plane, ang geocentric declination ng satellite
- geocentric radius vector ay ang distansya mula sa sentro ng grabidad ng Earth hanggang sa satellite.
Kapag pinagmamasdan ang paggalaw ng mga satellite mula sa isang punto sa ibabaw ng lupa, ginagamit ang isang topocentric system, ang mga coordinate axes na kung saan ay matatagpuan parallel sa mga axes ng geocentric system, at ang pinagmulan nito ay itinuturing na observation point. Mga coordinate sa sistemang ito:
- topocentric right ascension ng satellite
- satellite topocentric declination
- topocentric radius vector ng satellite
- geocentric radius vector sa observation point.
Sa modernong satellite mga pandaigdigang sistema Kasama sa mga sanggunian ng WGS-84, PZ-90 hindi lamang ang mga coordinate, kundi pati na rin ang iba pang mga parameter at katangian na mahalaga para sa mga geodetic na sukat, obserbasyon at nabigasyon. Kabilang dito ang geodetic at iba pang mga constants:
- orihinal na geodetic na mga petsa
- data ng earth ellipsoid
- modelo ng geoid
- modelo ng gravitational field
- mga halaga ng gravitational constant
- ang halaga ng bilis ng liwanag at iba pa.