Racionalių funkcijų pavyzdžių integravimas. Racionaliųjų trupmenų integravimas

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

studijuoti buhalterinės apskaitos fakulteto studentų temą „Kai kurių funkcijų integravimas“. korespondencijos forma išsilavinimas (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Kai kurių funkcijų integravimas

Racionalių funkcijų integravimas

Formos funkcija
paskambino racionalioji trupmena , jei jo skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Racionalioji trupmena paskambino teisinga , jei skaitiklio laipsnis mažesnis už vardiklio laipsnį. Jei skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, tada racionalioji trupmena paskambino negerai .

Kadangi bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario ir tinkamos trupmenos suma, tada integruojant netinkamą racionaliąją trupmeną, integruojama į daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integravimą.

Polinomus lengva integruoti. Panagrinėkime formos trupmenų integravimą
,
kurie vadinami paprastosios racionalios trupmenos .

.

.

Tegul vardiklis
trupmena turi realias šaknis ir gali būti pavaizduota formos veiksnių sandauga
. Tada kiekvienam tokiam veiksniui yra formos išplėtimas
. Taigi kiekviena tinkama racionali trupmena gali būti pavaizduota kaip baigtinio skaičiaus paprastųjų trupmenų suma. Tai atliekama neapibrėžtų koeficientų metodu.

1 pavyzdys . Integruoti trupmeną
.

Sprendimas .
Išskaidykime integrandą į paprastas trupmenas:

Sulyginkime koeficientus už ir nemokami nariai:
Išspręskime šią lygčių sistemą ir gaukime ,
. Tada

.

Kai kurių neracionalių funkcijų integravimas

Jei integralas yra neracionalus, tai pakeitus kintamąjį daugeliu atvejų jis gali būti perkeltas į racionalią formą arba į funkciją, kurios integralas yra lentelėse. Vadinama integracija naudojant kintamojo pakeitimą, kuris integrandą įveda į racionalią formą integracija racionalizuojant integrandą .

Formos integralai
redukuojami į argumento racionalių funkcijų integralus t naudojant pakaitalą
, Kur k– mažiausias bendrasis skaičių kartotinis
.

2 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas . Mažiausias bendras skaičių kartotinis
Ir
lygus 6. Todėl turime taikyti pakaitalą
. Tada

. Integrando funkciją išskaidykime į paprasčiausias: . Sulyginkime koeficientus už ir nemokami nariai:
Iš čia randame
Tada
. Taigi, =
. Nes
, Tai
. Pakeiskime gautą išraišką:

.

Formos integralai
naudojant pakaitalą redukuojami į racionalių funkcijų integralus
.

3 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas . Atlikime pakeitimą
:

.

Integruojant išraiškas, kuriose yra

trigonometrinės funkcijos

Panagrinėkime pagrindinius išraiškų, turinčių trigonometrines funkcijas, integravimo atvejus.

Kai randami formos integralai
,

,
integrando funkcijas iš produkto

įrašai konvertuojami į sumas naudojant formules:

Dėl to gaunami integralai randami naudojant integravimo metodus ir integralų lenteles. Tokiu atveju galite naudoti formules
Ir
.

4 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas . Naudokime pirmąją iš aukščiau pateiktų formulių:

Formos integralai
galima rasti gana paprastai šiais atvejais.

Jeigu m yra teigiamas nelyginis skaičius, tuomet galite atskirti pirmąją sinuso laipsnį ir pritaikyti pakaitalą
. Tada
o integrandas bus sumažintas iki laipsnio funkcijų naudojant trigonometrines formules. Jeigu n yra teigiamas nelyginis skaičius, tada galite atskirti pirmąjį kosinuso laipsnį ir atlikti pakeitimą
. Tada
o integrandas naudojant trigonometrines funkcijas taip pat bus sumažintas iki galios funkcijų.

5 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas .

.

6 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas .

Jeigu m Ir n yra neneigiami lyginiai skaičiai, tada integrandų transformacija gali būti atlikta naudojant laipsnio mažinimo formules
Ir
.

7 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas .

.

Integrando funkcija yra trupmena, kurios skaitiklis yra sinuso laipsnis, o vardiklis yra kosinuso laipsnis arba atvirkščiai. Šiuo atveju rodikliai yra arba abu lyginiai, arba abu nelyginiai, t.y. tas pats paritetas.

Šiuo atveju, jei skaitiklis yra sinusas, tai tinkamiausias pakaitalas
. Iš čia
,
,
,
.

Jei skaitiklis turi kosinusą, patogu naudoti pakaitalą
. Tada
,
,
,
.

8 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas .

.

Formos integralų radimas
sumažintas naudojant pakeitimą
rasti racionaliųjų funkcijų integralus. Pakeitimas
paskambino universalus trigonometrinis pakeitimas , kuris visada veda prie rezultato. Tokiu atveju
,
,
,
,
.

9 pavyzdys . Raskite integralą
.

Sprendimas .
.

Žinių savikontrolės klausimai

yra redukuoti į racionaliųjų funkcijų integralus?

,

Kaip vadinamas universalus trigonometrinis pakeitimas ir kada jis naudojamas?

Savarankiško darbo užduotys

Raskite racionaliųjų funkcijų integralus:

A)
; b)
; V)
.

2) Integruokite išraiškas, kuriose yra trigonometrinių funkcijų:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Pateikiame išsamius trijų toliau pateiktų integravimo pavyzdžių sprendimus racionalios trupmenos:
, , .

1 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia po integralo ženklu yra racionali funkcija, nes integrandas yra daugianario dalis. Vardiklio daugianario laipsnis ( 3 ) yra mažesnis už skaitiklio daugianario laipsnį ( 4 ). Todėl pirmiausia reikia pasirinkti visą trupmenos dalį.

1. Pasirinkime visą trupmenos dalį. Padalinkite x 4 pagal x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Iš čia
.

2. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti kubinę lygtį:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Pakeiskime x = 1 :
.

1 . Padalinti iš x - 1 :

Iš čia
.
Nuspręskime kvadratinė lygtis.
.
Lygties šaknys yra: , .
Tada
.

3. Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą.

.

Taigi mes radome:
.
Integruosime.

Atsakymas

2 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia trupmenos skaitiklis yra nulinio laipsnio daugianomas ( 1 = x 0). Vardiklis yra trečiojo laipsnio daugianario. Nes 0 < 3 , tada trupmena yra teisinga. Išskaidykime jį į paprastas trupmenas.

1. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 3 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 3, -1, -3 .
Pakeiskime x = 1 :
.

Taigi, mes radome vieną šaknį x = 1 . Padalinkite x 3 + 2 x - 3 ant x - 1 :

Taigi,
.

Kvadratinės lygties sprendimas:
x 2 + x + 3 = 0.
Raskite diskriminantą: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kadangi D< 0 , tada lygtis neturi realių šaknų. Taigi, mes gavome vardiklio faktorizaciją:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Pakeiskime x = 1 . Tada x - 1 = 0 ,
.

Pakeiskime (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Prilyginkime (2.1) koeficientai x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integruosime.
(2.2) .
Norėdami apskaičiuoti antrąjį integralą, skaitiklyje išskiriame vardiklio išvestinę ir sumažiname vardiklį iki kvadratų sumos.

;
;
.

Apskaičiuokite I 2 .


.
Kadangi lygtis x 2 + x + 3 = 0 neturi tikrų šaknų, tada x 2 + x + 3 > 0. Todėl modulio ženklą galima praleisti.

Pristatome į (2.2) :
.

Atsakymas

3 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia po integralo ženklu yra polinomų dalis. Todėl integrandas yra racionali funkcija. Dauginamo laipsnis skaitiklyje yra lygus 3 . Trupmenos vardiklio daugianario laipsnis lygus 4 . Nes 3 < 4 , tada trupmena yra teisinga. Todėl jis gali būti suskaidytas į paprastas trupmenas. Tačiau norint tai padaryti, vardiklį reikia koeficientuoti.

1. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskime x = -1 :
.

Taigi, mes radome vieną šaknį x = -1 . Padalinti iš x - (-1) = x + 1:


Taigi,
.

Dabar turime išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikojo skaičiaus šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskime x = -1 :
.

Taigi, mes radome kitą šaknį x = -1 . Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime:
.

Kadangi lygtis x 2 + 2 = 0 neturi realių šaknų, tada gauname vardiklio faktorizaciją:
.

2. Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą. Ieškome išplėtimo tokia forma:
.
Atsikratome trupmenos vardiklio, padauginame iš (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Pakeiskime x = -1 . Tada x + 1 = 0 ,
.

Atskirkime (3.1) :

;

.
Pakeiskime x = -1 ir atsižvelgti į tai, kad x + 1 = 0 :
;
; .

Pakeiskime (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Prilyginkime (3.1) koeficientai x 3 :
;
1 = B + C;
.

Taigi, mes radome skaidymą į paprastas trupmenas:
.

3. Integruosime.


.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Integraluose 1-3 as u priimti . Tada po n-daugkartinis (19) formulės pritaikymas gauname vieną iš lentelės integralų

,
,
.

Integraluose 4-6 diferencijuodami supaprastinkite transcendentinį veiksnį
,
arba
, kuris turėtų būti laikomas u.

Apskaičiuokite šiuos integralus.

7 pavyzdys.

8 pavyzdys.

Integralų redukavimas į save

Jei integrandas
turi formą:

,
,
ir taip toliau,

tada du kartus integravę dalimis gauname išraišką, kurioje yra pradinis integralas :

,

Kur
- kai kurie pastovūs.

Išspręskite gautą lygtį už , gauname pradinio integralo apskaičiavimo formulę:

.

Šis integravimo dalimis metodo taikymo atvejis vadinamas " atnešdamas integralą į save».

9 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Dešinėje pusėje yra originalus integralas . Perkeldami jį į kairę pusę, gauname:

.

10 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

4.5. Integruoti paprasčiausias tinkamas racionaliąsias trupmenas

Apibrėžimas.Paprasčiausios tinkamos trupmenos aš , II Ir III tipai Vadinamos šios trupmenos:

aš. ;

II.
; (
- teigiamas sveikasis skaičius);

III.
; (vardiklio šaknys yra sudėtingos, tai yra:
.

Panagrinėkime paprastųjų trupmenų integralus.

aš.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Trupmenos skaitiklį transformuojame taip, kad išskirtume terminą skaitiklyje
, lygus vardiklio išvestinei.

Panagrinėkime pirmąjį iš dviejų gautų integralų ir pakeiskime jį:

Antrajame integrale vardiklį pridedame prie tobulo kvadrato:

Galiausiai trečiojo tipo trupmenos integralas yra lygus:

=
+
. (22)

Taigi, paprasčiausių I tipo trupmenų integralas išreiškiamas logaritmais, II tipo - racionaliosiomis funkcijomis, III tipo - logaritmais ir arctangentais.

4.6.Trupmeninių-racionalių funkcijų integravimas

Viena iš funkcijų klasių, turinčių integralą, išreikštą elementariomis funkcijomis, yra algebrinių racionaliųjų funkcijų klasė, tai yra funkcijos, atsirandančios iš baigtinio skaičiaus algebrinių operacijų su argumentu.

Kiekviena racionali funkcija
gali būti pavaizduotas kaip dviejų daugianario santykis
Ir
:

. (23)

Darysime prielaidą, kad daugianariai neturi bendrų šaknų.

Formos (23) trupmena vadinama teisinga, jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, tai yra, m< n. Kitaip - negerai.

Jei trupmena neteisinga, tada skaitiklį padalijus iš vardiklio (pagal daugianario dalybos taisyklę), trupmeną pateikiame kaip daugianario ir tinkamos trupmenos sumą:

, (24)

Kur
- daugianaris, - tinkama trupmena ir daugianario laipsnis
- ne aukštesnis nei laipsnis ( n-1).

Pavyzdys.

Kadangi daugianario integravimas sumažinamas iki lentelių integralų sumos galios funkcija, tada pagrindinis sunkumas integruojant racionaliąsias trupmenas yra tinkamų racionaliųjų trupmenų integravimas.

Algebroje įrodyta, kad kiekviena tinkama trupmena suyra į aukščiau nurodytų dalykų sumą pirmuonys trupmenos, kurių forma nustatoma pagal vardiklio šaknis
.

Panagrinėkime tris ypatingus atvejus. Čia ir toliau manysime, kad koeficientas aukščiausiu vardiklio laipsniu
lygus vienam =1, tai yraredukuotas daugianario .

1 atvejis. Vardiklio šaknys, tai yra šaknys
lygtys
=0, galioja ir skiriasi. Tada vardiklį pavaizduojame kaip tiesinių veiksnių sandaugą:

ir tinkama frakcija suskaidoma į paprasčiausias I-gotipo trupmenas:

, (26)

Kur
– kai kurie pastovūs skaičiai, kurie randami neapibrėžtųjų koeficientų metodu.

Norėdami tai padaryti, jums reikia:

1. Suveskite dešinę plėtimosi pusę (26) į bendrą vardiklį.

2. Kairiosios ir dešiniosios kraštinių skaitiklyje sulyginkite vienodų daugianario identiškų laipsnių koeficientus. Gauname tiesinių lygčių sistemą nustatyti
.

3. Išspręskite gautą sistemą ir raskite neapibrėžtus koeficientus
.

Tada trupmeninės-racionalios funkcijos integralas (26) bus lygus paprasčiausių I tipo trupmenų integralų sumai, apskaičiuotai pagal (20) formulę.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas. Išskaidykime vardiklį naudodami Vietos teoremą:

Tada integrando funkcija išskaidoma į paprastų trupmenų sumą:

.

X:

Parašykime trijų lygčių sistemą, kurią rastume
X kairėje ir dešinėje pusėse:

.

Nurodykime paprastesnį neapibrėžtųjų koeficientų radimo būdą, vadinamą dalinės vertės metodas.

Darant prielaidą lygybėje (27)
mes gauname
, kur
. Tikėdamas
mes gauname
. Pagaliau tikėjimas
mes gauname
.

.

2 atvejis. Vardiklio šaknis
galioja, tačiau tarp jų yra kelios (vienodos) šaknys. Tada vardiklį pavaizduojame kaip tiesinių veiksnių, įtrauktų į sandaugą, sandaugą tiek, kiek atitinkamos šaknies dauginys yra:

Kur
.

Tinkama trupmena I ir II tipų trupmenų suma bus išskaidyta. Tegu pvz. - dauginio vardiklio šaknis k ir visi kiti ( n- k) šaknys yra skirtingos.

Tada išplėtimas atrodys taip:

Panašiai, jei yra ir kitų kelių šaknų. Jei šaknys nėra kelios, išplėtimas (28) apima paprasčiausias pirmojo tipo frakcijas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas.Įsivaizduokime trupmeną kaip paprasčiausių pirmosios ir antrosios rūšies trupmenų su neapibrėžtais koeficientais sumą:

.

Suveskime dešinę pusę į bendrą vardiklį ir sulyginkime kairiosios ir dešinės pusių skaitikliuose esančius daugianario:

Dešinėje pusėje pateikiame panašius su tais pačiais laipsniais X:

Parašykime keturių lygčių sistemą, kurią rastume
Ir . Norėdami tai padaryti, sulyginame koeficientus esant tokioms pat galioms X kairėje ir dešinėje pusėje

.

3 atvejis. Tarp vardiklio šaknų
yra sudėtingos vienos šaknys. Tai yra, vardiklio išplėtimas apima antrojo laipsnio veiksnius
, neskaidomi į tikrus tiesinius veiksnius, ir jie nesikartoja.

Tada, skaidant trupmeną, kiekvienas toks veiksnys atitiks paprasčiausią III tipo trupmeną. Tiesiniai koeficientai atitinka paprasčiausias I ir II tipų trupmenas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas.
.

.

.

„Matematikas, kaip ir menininkas ar poetas, kuria raštus. O jei jo raštai stabilesni, tai tik todėl, kad jie susideda iš idėjų... Matematiko raštai, kaip ir menininko ar poeto raštai, turi būti gražūs; Idėjos, kaip ir spalvos ar žodžiai, turi atitikti viena kitą. Grožis yra pirmasis reikalavimas: bjauriai matematikai nėra vietos pasaulyje».

G.H.Hardy

Pirmajame skyriuje buvo pažymėta, kad yra gana primityvų paprastos funkcijos, kurios nebegali būti išreikštos elementariomis funkcijomis. Šiuo atžvilgiu tos funkcijų klasės, apie kurias galime tiksliai pasakyti, kad jų antidariniai yra elementarios funkcijos, įgyja didžiulę praktinę reikšmę. Ši funkcijų klasė apima racionalios funkcijos, vaizduojantis dviejų algebrinių daugianarių santykį. Daugelis problemų lemia racionaliųjų trupmenų integravimą. Todėl labai svarbu mokėti integruoti tokias funkcijas.

2.1.1. Trupmeninės racionalios funkcijos

Racionalioji trupmena(arba trupmeninė racionali funkcija) yra dviejų algebrinių daugianarių ryšys:

kur ir yra daugianariai.

Prisiminkime tai daugianario (daugianario, visa racionali funkcija) nlaipsnis vadinama formos funkcija

Kur – realūs skaičiai. Pavyzdžiui,

– pirmojo laipsnio daugianario;

– ketvirtojo laipsnio daugianario ir kt.

Racionalioji trupmena (2.1.1) vadinama teisinga, jeigu laipsnis žemesnis už laipsnį , t.y. n<m, kitaip trupmena vadinama negerai.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario (visos dalies) ir tinkamos trupmenos (trupmeninės dalies) suma. Netinkamos trupmenos sveikos ir trupmeninės dalys gali būti atskirtos pagal daugianario padalijimo „kampu“ taisyklę.

2.1.1 pavyzdys. Nustatykite šių netinkamų racionalių trupmenų visas ir trupmenines dalis:

A) , b) .

Sprendimas . a) Naudodami „kampo“ padalijimo algoritmą, gauname

Taigi, mes gauname

.

b) Čia taip pat naudojame „kampo“ padalijimo algoritmą:

Kaip rezultatas, mes gauname

.

Apibendrinkime. Bendruoju atveju neapibrėžtasis racionaliosios trupmenos integralas gali būti pavaizduotas kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integralų suma. Rasti polinomų antidarinius nėra sunku. Todėl toliau daugiausia svarstysime tinkamas racionaliąsias trupmenas.

2.1.2. Paprasčiausios racionalios trupmenos ir jų integravimas

Tarp tinkamų racionaliųjų trupmenų yra keturi tipai, kurie klasifikuojami kaip paprasčiausios (elementariosios) racionalios trupmenos:

kur yra sveikasis skaičius, , t.y. kvadratinis trinaris neturi tikrų šaknų.

1 ir 2 tipų paprastųjų trupmenų integravimas nesukelia didelių sunkumų:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Dabar panagrinėkime paprastųjų 3 tipo trupmenų integravimą, bet nenagrinėsime 4 tipo trupmenų.

Pradėkime nuo formos integralų

.

Šis integralas paprastai apskaičiuojamas išskiriant tobuląjį vardiklio kvadratą. Rezultatas yra šios formos lentelės integralas

arba .

2.1.2 pavyzdys. Raskite integralus:

A) , b) .

Sprendimas . a) Iš kvadratinio trinalio pasirinkite visą kvadratą:

Iš čia randame

b) Išskirdami visą kvadratą nuo kvadratinio trinalio, gauname:

Taigi,

.

Norėdami rasti integralą

Jūs galite išskirti vardiklio išvestinę skaitiklyje ir išplėsti integralą į dviejų integralų sumą: pirmasis iš jų pakeičiant priklauso nuo išvaizdos

,

o antrasis – į aukščiau aptartą.

2.1.3 pavyzdys. Raskite integralus:

.

Sprendimas . pastebėti, kad . Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje:

Pirmasis integralas apskaičiuojamas naudojant pakaitalą :

Antrajame integrale vardiklyje pasirenkame tobulą kvadratą

Pagaliau gauname

2.1.3. Tinkamas racionalus trupmenos plėtimas
paprastųjų trupmenų sumai

Bet kuri tinkama racionali trupmena gali būti pavaizduota unikaliu būdu kaip paprastųjų trupmenų suma. Norėdami tai padaryti, vardiklis turi būti koeficientas. Iš aukštesnės algebros žinoma, kad kiekvienas daugianomas su realiais koeficientais

Racionalioji funkcija yra formos trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai arba daugianario sandauga.

1 pavyzdys. 2 žingsnis.

.

Neapibrėžtus koeficientus padauginame iš daugianarių, kurie nėra šioje atskiroje trupmenoje, bet yra kitose gautose trupmenose:

Atidarome skliaustus ir prilyginame pradinio integrando skaitiklį gautai išraiškai:

Abiejose lygybės pusėse ieškome terminų su vienodomis x galiomis ir iš jų sudarome lygčių sistemą:

.

Atšaukiame visus x ir gauname lygiavertę lygčių sistemą:

.

Taigi galutinis integrando išplėtimas į paprastųjų trupmenų sumą yra:

.

2 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Dabar pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Dabar reikia sukurti ir išspręsti lygčių sistemą. Norėdami tai padaryti, kintamojo koeficientus prilyginame atitinkamam laipsniui pradinės funkcijos išraiškos skaitiklyje ir panašius koeficientus išraiškoje, gautoje ankstesniame žingsnyje:

Mes išsprendžiame gautą sistemą:

Taigi, iš čia

.

3 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, sudarome lygčių sistemą:

Sumažiname x ir gauname lygiavertę lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

4 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Iš ankstesnių pavyzdžių jau žinome, kaip prilyginti pradinės trupmenos skaitiklį su išraiška skaitiklyje, gauta išskaidžius trupmeną į paprastųjų trupmenų sumą ir suvedus šią sumą į bendrą vardiklį. Todėl tik valdymo tikslais pateikiame gautą lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

5 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Šią sumą nepriklausomai sumažiname iki bendro vardiklio, prilygindami šios išraiškos skaitiklį pradinės trupmenos skaitikliui. Rezultatas turėtų būti tokia lygčių sistema:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

.

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

6 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Su šia suma atliekame tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose. Rezultatas turėtų būti tokia lygčių sistema:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

.

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

7 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Atlikus tam tikrus veiksmus su gauta suma, reikia gauti tokią lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtųjų koeficientų reikšmes:

Gauname galutinį integrando išskaidymą į paprastųjų trupmenų sumą:

.

8 pavyzdys. 2 žingsnis. 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išskaidymą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Pakeiskime veiksmus, kurie jau buvo automatizuoti, kad gautume lygčių sistemą. Yra dirbtinė technika, kuri kai kuriais atvejais padeda išvengti nereikalingų skaičiavimų. Suvedę trupmenų sumą į bendrą vardiklį, gauname ir prilyginę šios išraiškos skaitiklį pradinės trupmenos skaitikliui, gauname.