Производная равна нулю то. Производная функции. Подробная теория с примерами. Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Сергей Никифоров
Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки присоединяются как к промежуткам возрастания, так и к промежуткам убывания, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.
Фарит Ямаев
26.10.2016 18:50
Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.
Служба поддержки
Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции - все они возрастают на отрезке
Владлен Писарев
02.11.2016 22:21
Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке . Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.
Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.
Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) - входят.
Учитывая, что первая часть ЕГЭ для "средней группы детского сада", то наверное такие нюансы- перебор.
Отдельно, большое спасибо за "Решу ЕГЭ" всем сотрудникам- отличное пособие.
Сергей Никифоров
Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.
Ирина Ишмакова
20.11.2017 11:46
Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.
Александр Иванов
В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.
В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.
Противоречия нет.
Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.
A Z
28.01.2019 19:09
Коллеги, есть понятие возрастания в точке
(см. Фихтенгольц например)
и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.
Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.
В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.
Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.
Александр Иванов
Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.
В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке .
x 0 x
Приведем без вывода несколько эквивалентных бесконечно малых, использование которых сильно упрощает вычисление пределов:
х sin x, x tg x, x arcsin x , x arctg x , x e x 1 .
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1. Определение производной и ее геометрический смысл
Предел отношения приращения функции y к, вызвавшему это приращение, приращению аргумента x , при x 0 , т.е.
f (x0 |
x) f (x0 ) |
||||
называется производной функции f (x ) по независимой переменной x .
Обозначается |
Операцию нахождения производной назы- |
|||||
dx . |
||||||
f (x), |
вают дифференцированием.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у =f (x ) в некоторой точке, равен значению производной функции в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной.
Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производ-
ной, т.е. если y cf (x ) , где с = const , то |
||||||
cf (x) . |
||||||
Теорема 3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых |
||||||
функций равна сумме производных этих функций, |
т.е. если y u (x ) v (x ) , |
|||||
u (x) v (x) . |
||||||
Теорема 4. Производная |
произведения |
двух дифференцируемых |
функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е. если y u v , то
y u v v u . |
Теорема 5 . Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и произ-
водной знаменателя на числитель, т.е. если |
||||||
3.3. Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция у=f (x ), т.е. такая, что ее можно представить в следующем виде: y=F (u ), u =φ (x ) или y=F (φ (x )). В выражении y=F (u ) переменную u называют промежуточным аргументом.
Теорема. Если u=φ (x ) имеет в некоторой точке x производную u x (x ) , |
|||||||
функция F (u ) имеет при |
соответствующем |
значении u |
производную |
||||
y u F (u ) , то сложная функция y=F (φ (x )) в указанной точке x также имеет |
|||||||
производную, которая равна |
где вместо u |
должно быть |
|||||
y x Fu |
(u ) x (x ) , |
подставлено выражение u=φ(x).
3.4. Таблица основных формул дифференцирования
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правила дифференцирования.
y const , |
y " 0 . |
|||||||||
y xn , |
y" nxn 1 . |
|||||||||
y x , |
y " 1 . |
|||||||||
y sin x , |
y " cos x . |
Непрерывность и дифференцируемость функции.
Теорема Дарбу. Интервалы монотонности.
Критические точки. Экстремум (минимум, максимум).
План исследования функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f (x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
Достаточные признаки монотонности функции.
Если f ’(x ) > 0 в каждой точке интервала (a, b ), то функция f (x ) возрастает на этом интервале.
Если f ’(x ) < 0 в каждой точке интервала (a, b ) , то функция f (x ) убывает на этом интервале.
Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.
Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.
Следовательно, функция возрастает на интервалах ( - , 0) и ( 1, + ) и убывает на интервале (0, 1 ). Точка x = 0 не входитвобластьопределенияфункции,нопомереприближения x к0 слагаемое x - 2 неограниченновозрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем пост роить график функции ( рис.4б ) .
Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а ,б ).
В точках x 1 , x 2 (рис.5 a ) и x 3 (рис.5 b ) производная равна 0; в точках x 1 , x 2 (рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f (x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ (x 0)= 0.
Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке (рис.6).
С другой стороны, функция y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке x = 0 , но в этой точке производной не существует.
Достаточные условия экстремума.
Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума.
Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
План исследования функции. Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек
И при больших значениях модуля x .
П р и м е р. Исследуйте функцию f (x ) = x 3 + 2 x 2 - x - 2 и постройте график.
Р е ш е н и е. Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1) областьопределения x R (x – любоедействительное число);
Область значений y R , так как f (x ) – многочлен нечётной
степени;
2) функция f (x ) не является ни чётной, ни нечётной
(поясните, пожалуйста);
3) f (x ) – непериодическая функция (докажите это сами);
4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2),
Так как f (0) = - 2 ; чтобы найти нули функции нужно
Решить уравнение: x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один из корней
Которого (x = 1) очевиден. Другие корни находятся
(если они есть! ) из решения квадратного уравнения:
x 2 + 3 x + 2 = 0, которое получено делением многочлена
x 3 + 2 x 2 - x - 2 на двучлен ( x – 1). Легко проверить,
Что два других корня: x 2 = - 2 и x 3 = - 1. Таким образом,
Нулями функции являются: - 2, - 1 и 1.
5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на
Четыре интервала знакопостоянства, внутри которых
Функция сохраняет свой знак:
Этот результат может быть получен разложением
многочлена на множители:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
И оценкой знака произведения .
6) Производная f’ (x ) = 3 x 2 + 4 x - 1 не имеет точек, в которых
Она не существует, поэтому её область определения R (все
Действительные числа); нули f’ (x ) – это корни уравнения:
3 x 2 + 4 x - 1 = 0 .
Полученные результаты сведены в таблицу:
В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:
- Значение производной в некоторой точке x 0 ,
- Точки максимума или минимума (точки экстремума),
- Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).
Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.
Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.
Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.
Вычисление значения производной. Метод двух точек
Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:
- Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
- Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
- Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.
Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.
Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.
Вычисление точек максимума и минимума
Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:
- Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
- Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).
Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:
- Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
- Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
- Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.
Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.
Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:
Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.
Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:
Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].
Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:
На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.
Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции
В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:
- Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
- Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:
- Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
- Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
- Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:
Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:
Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.
Задание B8 (ЕГЭ 2013)
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале от (-5;9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Решение
Первое, на что мы обращаем внимание - на рисунке дан график функции (а не производной функции). Далее, отмечаем, что производная функции f(x) равна 0 в точках максимума и минимума функции f(x), т.е. нам нужно найти количество экстремумов функции f(x) на заданном интервале. На языке графика это означает, что нам нужно посчитать количество "бугорков" функции, т.е.:
Получаем, что всего таких точек 9.
Задание B8 (ЕГЭ 2013)
На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .
Решение
Значение производной функции f(x) в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому нам надо составить уравнение данной касательной и графику и найти угловой коэффициент. В общем случае, уравнение касательной имеет вид: y = kx+b. В этом уравнении k и есть тот самый угловой коэффициент, который мы будет искать.
На рисунке жирными точками отмечены точки, через которые проходит наша касательная. Координаты этих точек: (-4; -2) и (-2; 5). Так как данная прямая проходит через эти точки, то подставим их координаты в уравнение касательной и найдем значение коэффициента k.
2 = -4k+b (подставили точку с координатами (-4;-2));
5 = -2k+b (подставили точку с координатами (-2;5)).
Теперь вычитаем из первого уравнения второе:
2 - 5 = -4k-(-2k);
Получаем искомое значение k=3,5, что то же самое, что значение производной функции f(x) в точке .
Ответ: 3,5.
Задание B8 (ЕГЭ 2013)
На рисунке изображен график y = f"(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка функция f(x) принимает наименьшее значение?